資源簡介

(共47張PPT)
北師大版 數學 選擇性必修第一冊
課程標準 1.掌握直線方程的點斜式和斜截式,并會用它們求直線的方程.
2.了解直線方程的斜截式與一次函數的關系.
3.會用直線方程的點斜式與斜截式解決直線的平行與垂直問題.
基礎落實·必備知識一遍過
知識點1　直線方程的點斜式
1.直線的方程
一般地,如果一條直線l上的每一點的坐標都是一個方程的解,并且以這個方程的解為坐標的點都在直線l上,那么這個方程稱為　　　　　　　.
2.直線方程的點斜式
已知直線l經過點P(x0,y0),且斜率為k,設Q(x,y)是直線l上不同于點P的任意一點,因為點P,Q都在直線l上,所以 ,即　　　　　　　,稱為直線方程的點斜式.
直線l的方程
y-y0=k(x-x0)
名師點睛
1.點斜式應用的前提是直線的斜率存在,若斜率不存在,則不能應用此式.
2.點斜式方程中的點只要是這條直線上的點,哪一個都可以.
3.當直線與x軸平行或重合時,方程可簡寫為y=y0.特別地,x軸所在直線方程是y=0;當直線與y軸平行或重合時,不能應用點斜式方程.此時可將方程寫成x=x0.特別地,y軸所在直線方程是x=0.
思考辨析
已知直線l經過點P(0,3),且斜率k=2,Q(x,y)為直線l上的任一點,試推導x,y滿足的關系式.
提示 當點Q與點P不重合時,有 =2,即y=2x+3;當點Q與點P重合時,把P(0,3)代入y=2x+3,式子成立,故x,y滿足的關系式為y=2x+3.
自主診斷
1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)
(1)y軸所在直線方程為y=0.(　　)
(2)直線y-10=k(x+6)恒過定點(-6,10).(　　)
(3)經過點P0(x0,y0)的所有直線都能用直線方程的點斜式來表示.(　　)
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√
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2.[2024四川綿陽期末]已知直線l過點(1,1),且傾斜角為90°,則直線l的方程為(　　)　　　　　　　　　　　　　
A.x+y=1 B.x-y=1
C.y=1 D.x=1
D
解析 因為直線l的傾斜角為90°,所以該直線斜率不存在,與x軸垂直,又因為直線l過點(1,1),所以直線l的方程為x=1.故選D.
3.[人教A版教材習題]寫出下列直線的點斜式方程.
(3)y-3=0.
知識點2　直線方程的斜截式
若直線l經過點(0,b)且斜率為k,則點斜式中的點P(x0,y0)就可以為點(0,b),所以該直線方程的點斜式為y-b=k(x-0),即y=kx+b.該方程中的k為直線l的斜率,b為直線l在y軸上的　　　　.稱y=kx+b為直線方程的斜截式.
注意與一次函數的區別
名師點睛
1.直線方程的斜截式是直線方程的點斜式的特殊情況.
2.截距是一個實數,它是直線與坐標軸交點的橫坐標或縱坐標,可以為正數、負數和0.當直線過原點時,它在x軸上的截距和在y軸上的截距都為0.
3.由直線的斜截式方程可直接得到直線的斜率和在y軸上的截距,如直線y=2x-1的斜率k=2,在y軸上的截距為-1.
截距
思考辨析
直線l過點P(0,b)且斜率為k,如何表示直線l的方程
提示 根據直線方程的點斜式有y-b=k(x-0),即y=kx+b.
自主診斷
1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)
(1)直線在y軸上的截距是直線與y軸交點到原點的距離.(　　)
(2)直線y=kx-b在y軸上的截距為b.(　　)
(3)斜率相等,在y軸上的截距相等的兩直線重合.(　　)
×
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2.[人教B版教材習題改編]根據下列直線方程,分別求出直線的斜率及在y軸上的截距.
(1)y-2=x+1;
(2)y+4= (x-2);
(3)4x+y-3=0.
3.[人教B版教材習題]寫出下列直線的斜截式方程.
(1)斜率是 ,在y軸上的截距是-2;
(2)斜率是-2,在y軸上的截距是4.
(2)y=-2x+4.
重難探究·能力素養速提升
探究點一　　直線方程的點斜式
【例1】 寫出下列直線方程的點斜式.
(1)經過點(2,5),傾斜角為45°;
(2)直線l經過點(1,1),且l的一個方向向量為(1,2);
(3)經過點C(-1,-1),且與x軸平行;
(4)經過點D(1,1),且與x軸垂直.
解 (1)因為傾斜角為45°,所以斜率k=tan 45°=1,且過點(2,5),所以直線的方程為y-5=x-2.
(2)由題意,得直線l的斜率為2,又l過點(1,1),所以直線l的點斜式方程為 y-1=2(x-1).
(3)由題意知,直線的斜率k=tan 0°=0,
所以直線方程的點斜式為y-(-1)=0,即y+1=0.
(4)由題意可知直線的斜率不存在,所以直線的方程為x=1,該直線方程沒有點斜式.
規律方法　求直線的點斜式方程的步驟
[注意]當斜率不存在時,過點P(x0,y0)的直線與x軸垂直,直線上所有點的橫坐標相等,都為x0,故直線方程為x=x0.
變式訓練1求滿足下列條件的直線方程的點斜式.
(1)過點P(-4,3),斜率k=-3;
(2)過點P(3,-4),且與x軸平行;
(3)過P(-2,3),Q(5,-4)兩點.
解 (1)∵直線過點P(-4,3),斜率k=-3,由直線方程的點斜式得直線方程為
y-3=-3(x+4).
(2)與x軸平行的直線,其斜率k=0,由直線方程的點斜式可得直線方程為
y-(-4)=0×(x-3),即y+4=0.
(3)過點P(-2,3),Q(5,-4)的直線的斜率
又直線過點P(-2,3),
∴直線方程的點斜式為y-3=-(x+2).
探究點二　　直線方程的斜截式
【例2】 已知直線l的斜率為2,在y軸上的截距為m.
(1)求直線l的方程;
(2)當m為何值時,直線過點(1,1)
解 (1)利用直線方程的斜截式,可得方程為y=2x+m.
(2)將點(1,1)代入直線y=2x+m,有1=2×1+m,所以m=-1.
變式探究1將本例的條件“在y軸上的截距為m”改為“在x軸上的截距為m”,如何求直線的方程
解 直線在x軸上的截距為m,即直線過點(m,0),又已知直線的斜率為2,則由直線方程的點斜式,可得所求直線方程為y-0=2(x-m),即y=2x-2m.
變式探究2本例的條件不變,試問m為何值時,直線與坐標軸所圍成的三角形的面積為1
規律方法　求直線的斜截式方程的策略
(1)直線方程的斜截式是點斜式的特殊情況,其適用前提是直線的斜率存在,只要點斜式中的點在y軸上,就可以直接用斜截式表示.
(2)直線方程的斜截式y=kx+b中只有兩個參數,因此要確定直線方程,只需知道參數k,b的值即可.
(3)利用直線的斜截式求方程務必靈活,如果已知斜率k,只需引入參數b;同理如果已知截距b,只需引入參數k.
變式訓練2求滿足下列條件的直線方程的斜截式.
(1)在y軸上的截距為-6,且與y軸的夾角為30°;
(2)過點(2,3),(0,2).

學以致用·隨堂檢測促達標
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A 級 必備知識基礎練
1.[探究點一·2024河南開封月考]直線l經過點(2,5),斜率為-2,則直線l的方程的點斜式為(　　)
A.y+5=-2(x+2) B.y-5=-2(x-2)
C.y-5=2(x+2) D.y-5=-2(x+2)
B
解析 經過點(2,5),斜率為-2的直線,其方程的點斜式為y-5=-2(x-2).故選B.
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2. [探究點一]已知直線的方程是y+7=-x-3,則(　　)
A.直線經過點(-3,7),斜率為-1
B.直線經過點(7,-1),斜率為-1
C.直線經過點(-3,-7),斜率為-1
D.直線經過點(-7,-3),斜率為1
C
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3. [探究點二]已知直線的傾斜角為60°,在y軸上的截距為-2,則此直線的方程為(　　)
D
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4. [探究點一]斜率為2的直線經過(3,5),(a,7)兩點,則a=　　　　.
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5. [探究點二]將直線y= (x-2)繞點(2,0)按逆時針方向旋轉60°后所得直線方程的斜截式是　　　 　　　　.
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6.[探究點二·2024北京海淀質檢]直線y=-x-2的傾斜角是　　　　　,在y軸上的截距為　　　　　.
-2
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7. [探究點一]根據下列條件,分別畫出經過點P,且斜率為k的直線,并寫出傾斜角α:
(1)P(1,2),k=1;
(2)P(-1,3),k=0;
(3)P(0,-2),k=- ;
(4)P(1,2),斜率不存在.
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B 級 關鍵能力提升練
8.(多選題)[2024四川樂清質檢]方程y=ax+ 對應的直線可能是(　　)
AB
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10.在等腰三角形AOB中,|AO|=|AB|,點O(0,0),A(1,3),點B在x軸的正半軸上,則直線AB的方程為(　　)
A.y-1=3(x-3)
B.y-1=-3(x-3)
C.y-3=3(x-1)
D.y-3=-3(x-1)
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11.直線l1:y=ax+b與直線l2:y=bx+a(ab≠0,a≠b)在同一平面直角坐標系內的圖象只可能是(　　)
D
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12.(多選題)下列四個結論,其中正確的為(　　)
BC
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解析 對于A,方程 ,表示的直線不含點(-1,2),方程y-2=k(x+1)表示的直線過點(-1,2),故這兩個方程表示不同的直線,A錯誤;對于B,直線l過點P(x1,y1),傾斜角為 ,直線垂直于x軸,則其斜率不存在,其方程為x=x1,B正確;對于C,因為斜率為0,故方程為y=y1,顯然正確;對于D,斜率不存在的直線就沒有點斜式方程.故D錯誤.
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13.直線y+2=- (x+1)的傾斜角為　　　　,其在y軸上的截距為　　　　.
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14.在x軸上的截距為-2,傾斜角的正弦值為 的直線的方程為　　 　　　　.
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15.[2024海南儋州質檢]已知直線l的斜率為- ,且與兩坐標軸圍成的三角形的面積為6,求直線l的方程.
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C 級 學科素養創新練
16.已知點A(1,3),B(-2,-1).若直線l:y=k(x-2)+1與線段AB相交,且包括線段AB的端點,則k的取值范圍是　　　　　.
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17.已知直線l:y=kx+2k+1.
(1)求證:直線l恒過一個定點;
(2)當-31
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(1)證明 由y=kx+2k+1,得y-1=k(x+2).
由直線方程的點斜式可知,直線l恒過定點(-2,1).

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