資源簡介

(共50張PPT)
北師大版 數學 選擇性必修第一冊
課程標準 1.了解直線方程的一般式的形式特征,理解直線方程的一般式與二元一次方程的關系.
2.能正確地進行直線方程的一般式與特殊形式的方程的轉化.
3.能運用直線方程的一般式解決有關問題.
4.了解直線方程的點法式,會利用方向向量推導出直線的一般方程.
基礎落實·必備知識一遍過
知識點1　直線方程的一般式
1.定義
在平面直角坐標系中,對于任何一條直線,都有一個表示這條直線的關于x,y的　　　　　　 ;任何關于x,y的二元一次方程都表示　　　　　.方程　　 　　　　　　　　　　稱為直線方程的一般式.
結構特征:
①方程是關于x,y的二元一次方程.
②方程中等號的左側自左向右一般按x,y,常數的先后順序排列.
③x的系數一般不為分數和負數.
二元一次方程
一條直線
Ax+By+C=0(其中A,B不全為0)
2.直線方程的一般式與其他形式的互化
思考辨析
在方程Ax+By+C=0中,A,B,C滿足什么條件時,(1)方程表示直線 (2)方程表示過原點的直線
提示 (1)A,B不全為0.(2)A,B不全為0,C為0.
自主診斷
1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)
(1)在平面上任何直線的方程都能表示為一般式.(　　)
(2)在平面上任何一條直線的方程的一般式都能與直線方程的點斜式、斜截式、兩點式、截距式互化.(　　)
(3)對于二元一次方程Ax+By+C=0,當A=0,B≠0時,方程表示斜率不存在的直線.(　　)
√
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×
×
×
2.[人教A版教材習題]根據下列條件,寫出直線的方程,并把它化為一般式.
(1)經過點A(8,-2),斜率是- ;
(2)經過點B(4,2),平行于x軸;
(3)經過點P1(3,-2),P2(5,-4);
(4)在x軸、y軸上的截距分別是 ,-3.
解 (1)y+2=- (x-8),一般式為x+2y-4=0.
(2)y-2=0.
3.[人教B版教材例題]已知直線l的一般式方程為2x-3y+6=0,求直線l的斜率以及在x軸和y軸上的截距.
在方程中令y=0,可得x=-3,
因此l在x軸上的截距為-3.
知識點2　直線方程的點法式
1.法向量
與直線的方向向量　　　　的向量稱為直線的法向量,直線的法向量和方向向量都反映了直線的方向.若直線l經過點P,且一個法向量為n,則直線l上不同于點P的任意一點M都滿足　　　　　　.反之,滿足n· =0的任意一點M一定在直線l上.
垂直
2.直線方程的點法式
在平面直角坐標系中,已知直線l經過點P(x0,y0),且它的一個法向量為n=(A,B),直線l上的任意一點M的坐標為(x,y),則方程　　　 　　　　稱為直線方程的點法式.
名師點睛
確定直線方程的點法式需要知道直線的法向量和一個確定的點,這個點可以是直線上任意一點;如果已知直線上兩點也可以用點法式確定直線的方程,首先求出直線的方向向量,然后求出直線的法向量代入點法式即可.
A(x-x0)+B(y-y0)=0
自主診斷
1.[人教B版教材習題](1)如果直線l過點P(-1,-2),且直線l的方向向量為a=(1,-2),求直線l的方程;
(2)如果直線l過點P(x0,y0),且直線l的方向向量為a=(u,v),求直線l的方程.
解 (1)k=-2,∴l:y+2=-2(x+1),即l:y=-2x-4.
2.[人教B版教材習題](1)如果直線l過點P(1,3),且直線l的法向量為a=(-3,1),求直線l的方程;
(2)如果直線l過點P(x0,y0),且直線l的法向量為a=(u,v),求直線l的方程.
解 (1)k=3,∴l:y-3=3(x-1),即l:y=3x.
重難探究·能力素養速提升
探究點一　　直線方程的一般式
【例1】 (1)根據下列條件分別寫出直線的方程,并化為一般式.
①斜率是 ,且經過點A(5,3);
②經過點A(-1,5),B(2,-1)兩點.
★(2)求適合下列條件的直線的方程的一般式:
①經過點A(2,-3),并且其傾斜角等于直線x- y+1=0的傾斜角的2倍的直線方程;
②求經過點A(-2,2)并且和兩條坐標軸圍成的三角形的面積是1的直線方程.
規律方法　1.
2.當求直線方程時,設一般式有時并不簡單,常用的還是根據給定條件選擇四種特殊形式之一求方程,然后再轉化為一般式.
變式訓練1(1)直線2x-y-2=0繞它與y軸的交點A按逆時針方向旋轉90°所得的直線方程是(　　)
A.x-2y+4=0 B.x+2y-4=0
C.x-2y-4=0 D.x+2y+4=0
D
★(2)[2024浙江杭州模擬]數學家歐拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上,這條直線稱之為三角形的歐拉線.已知△ABC的頂點A(0,0),B(0,2),C(-6,0),則其歐拉線方程的一般式為(　　)
A.3x+y=1 B.3x-y=1
C.x+3y=0 D.x-3y=0
C
探究點二　　直線方程的點法式
【例2】 已知直線l經過點A(3,2),而且v=(3,-4)是直線l的一個法向量,求直線l方程的一般式.
變式探究將本例中的“v=(3,-4)是直線l的一個法向量”改為“v=(3,-4)是直線l的一個方向向量”,求直線方程的一般式.
解 設直線的法向量為n=(a,b),
則n·v=3a-4b=0,令a=4,得b=3,∴n=(4,3).
∴直線方程的點法式為4(x-3)+3(y-2)=0,
化簡,得直線的一般式為4x+3y-18=0.
變式訓練2已知P是直線l上一點,且v是直線l的一個法向量,根據下列條件分別求直線l的方程.
(1)P(1,2),v=(3,-4);
(2)P(-1,2),v=(3,4).
解 (1)∵直線l過點P(1,2),其法向量是v=(3,-4),
∴直線l的方程是3(x-1)+(-4)(y-2)=0,整理,得3x-4y+5=0.
(2)∵直線l過點P(-1,2),其法向量是v=(3,4),
∴直線l的方程是3(x+1)+4(y-2)=0,
整理,得3x+4y-5=0.
學以致用·隨堂檢測促達標
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A 級 必備知識基礎練
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1.[探究點一]過點(2,1),斜率k=-2的直線方程為(　　)
A.x-1=-2(y-2)
B.2x+y-1=0
C.y-2=-2(x-1)
D.2x+y-5=0
D
解析 根據直線方程的點斜式可得,y-1=-2(x-2),即2x+y-5=0.
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2. [探究點一、二]已知直線l經過點(-1,4),且它的一個方向向量為n=(-2,4),則(　　)
D.直線l的一般式方程為x+2y-7=0
C
解析 因為直線l的一個方向向量為n=(-2,4),所以直線l的斜率k= =-2.因為直線l經過點(-1,4),所以直線l的點斜式方程為y-4=-2(x+1),斜截式方程為y=-2x+2,截距式方程為x+ =1,一般式方程為2x+y-2=0.
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3.[探究點一]點M(x0,y0)是直線Ax+By+C=0上的點,則直線方程可表示為(　)
A.A(x-x0)+B(y-y0)=0
B.A(x-x0)-B(y-y0)=0
C.B(x-x0)+A(y-y0)=0
D.B(x-x0)-A(y-y0)=0
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4.[探究點二]若直線l的一個方向向量是n=( ,1),則直線l的傾斜角是(　　)
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6. [探究點二]寫出直線l:2x-y-1=0的一個法向量a=　　　 　.
(2,-1)(答案不唯一)
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7. [探究點一]已知直線(a+2)x+(a2-2a-3)y-2a=0在x軸上的截距為3,則該直線在y軸上的截距為　　　　　.
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8. [探究點一]若直線mx-y+(2m+1)=0恒過定點,則此定點是　　　　.
(-2,1)　
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9. [探究點一]在y軸上的截距為-6,且傾斜角為45°的直線的一般式方程為　　　　　　　　　　.
x-y-6=0
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10. [探究點一]根據下列條件分別寫出直線方程,并化成一般式:
(1)斜率是 ,經過點A(8,-2);
(2)經過點B(-2,0),且與x軸垂直;
(3)斜率為-4,在y軸上的截距為7;
(4)經過點A(-1,8),B(4,-2).
(2)直線方程為x=-2,即x+2=0.
(3)由斜截式,得y=-4x+7,化成一般式為4x+y-7=0.
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11. [探究點一]設直線l的方程為(a+1)x+y+2-a=0(a∈R).
(1)若l在兩坐標軸上的截距相等,求l的方程;
(2)若l不經過第二象限,求實數a的取值范圍.
解 (1)當直線l過原點時,直線l在x軸和y軸上的截距都為零,顯然相等,所以a=2,方程為3x+y=0.當直線l不過原點時,由截距存在且均不為0,得
解得a=0,所以直線l的方程為x+y+2=0.
綜上所述,所求直線l的方程為3x+y=0或x+y+2=0.
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12.已知兩直線的方程分別為l1:x+ay+b=0,l2:x+cy+d=0,它們在平面直角坐標系中的位置如圖所示,則(　　)
A.b>0,d<0,aB.b>0,d<0,a>c
C.b<0,d>0,a>c
D.b<0,d>0,aC
B 級 關鍵能力提升練
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14. 已知直線l:(2m+1)x+(m+1)y+m=0經過定點P,直線l'經過點P,且l'的方向向量a=(3,2),則直線l'的方程為(　　)
A.2x-3y+5=0 B.2x-3y-5=0
C.3x-2y+5=0 D.3x-2y-5=0
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15.直線x+(a2+1)y+1=0的傾斜角的取值范圍是(　　)
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16.(多選題)若直線l:ax+y-2-a=0在x軸和y軸上的截距相等,則直線l的斜率為(　　)
A.1 B.-1 C.-2 D.2
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17.如圖所示,在平面直角坐標系xOy中,已知點A(0,2),B(-2,0),C(1,0),分別以AB,AC為邊向外作正方形ABEF與ACGH,則直線FH方程的一般式為　　　　　　　　　　.
x+4y-14=0　
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解析 過點H,F分別作y軸的垂線,垂足分別為M,N(圖略).∵四邊形ACGH為正方形,∴Rt△AMH≌Rt△COA,∴AM=OC=1,MH=OA=2, ∴OM=OA+AM=3,∴點H的坐標為(2,3),同理得到F(-2,4),∴直線FH的方程
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18.已知直線a1x+b1y+1=0和直線a2x+b2y+1=0都過點A(2,1),則過點P1(a1,b1)和點P2(a2,b2)的直線方程是　　　　　　　　.
2x+y+1=0
解析 ∵點A(2,1)在直線a1x+b1y+1=0上,∴2a1+b1+1=0.由此可知點P1(a1,b1)在直線2x+y+1=0上.∵點A(2,1)在直線a2x+b2y+1=0上,∴2a2+b2+1=0.由此可知點P2(a2,b2)也在直線2x+y+1=0上,∴過點P1(a1,b1)和點P2(a2,b2)的直線方程是2x+y+1=0.
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19.已知在△ABC中,點A的坐標為(1,3),AB,AC邊上的中線所在直線的方程分別為x-2y+1=0和y-1=0,求△ABC各邊所在直線的方程.
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20.已知直線l:kx-y+1+2k=0(k∈R).
(1)證明:直線l過定點;
(2)若直線l不經過第四象限,求k的取值范圍;
(3)若直線l交x軸負半軸于點A,交y軸正半軸于點B,O為坐標原點,設△AOB的面積為S,求S的最小值及此時直線l的方程.
C 級 學科素養創新練
(1)證明 直線l的方程可化為y=k(x+2)+1,
故無論k取何值,直線l恒過定點(-2,1).
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