資源簡介

(共54張PPT)
北師大版 數學 選擇性必修第一冊
課程標準 1.能根據直線的斜率和在y軸上的截距判斷兩條直線相交、平行、重合.
2.能利用直線的法向量推導出兩條直線平行的條件.
3.能利用直線的法向量推導出兩條直線垂直的條件.
4.能利用兩直線平行或垂直的條件解決問題.
基礎落實·必備知識一遍過
知識點1　兩條直線平行
1.幾何方法判斷
對于兩條不重合的直線l1,l2,傾斜角分別為α1,α2,則　　 　　　　　是l1∥l2的充要條件.
對于兩條不重合的直線l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2(其中b1≠b2),l1∥l2 　　　;l1與l2相交 　　　　.
傾斜角相等(α1=α2)　
k1=k2
k1≠k2
2.向量方法判斷
對于兩條不重合的直線l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不全為0), l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不全為0),
它們的法向量分別是n1=(A1,B1),n2=(A2,B2),
(1)l1與l2相交的充要條件是n1與n2不共線,即A1B2≠A2B1.
(2)l1與l2平行的充要條件是n1與n2共線,即A1B2=A2B1.
名師點睛
若沒有指明l1,l2不重合,則k1=k2 l1∥l2或l1與l2重合.用斜率相等證明三點共線時,常用到這一結論.
思考辨析
對于兩條不重合的直線l1,l2,傾斜角分別為α1,α2,傾斜角相等(α1=α2)是l1∥l2的充要條件嗎 若l1∥l2,則一定能推出兩直線的斜率相等嗎
提示 是充要條件.不一定,兩直線的斜率可能均不存在.
自主診斷
1.[2024四川成都月考]已知直線l1的斜率為3,直線l2經過點A(1,2),B(2,a),若直線l1∥l2,則a=　　　　.
5
2.[人教A版教材習題]判斷下列不同的直線l1與l2是否平行.
(1)l1的斜率為2,l2經過A(1,2),B(4,8)兩點;
(2)l1經過P(3,3),Q(-5,3)兩點,l2平行于x軸,但不經過P,Q兩點;
(3)l1經過M(-1,0),N(-5,-2)兩點,l2經過R(-4,3),S(0,5)兩點.
解 (1)由題意,得直線l2的斜率k2= =2,又因為直線l1的斜率k1=2,所以k1=k2,所以直線l1與直線l2平行.
(2)因為l1經過點P(3,3),Q(-5,3),它們的縱坐標相同,所以直線l1平行于x軸.又l2平行于x軸,且不經過P,Q兩點,所以直線l1∥l2.
知識點2　兩條直線垂直
1.對于兩條不重合的直線l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,則l1⊥l2 　　　　　.
2.設直線l1,l2的方程分別為A1x+B1y+C1=0(A1,B1不全為0),A2x+B2y+C2=0(A2,B2不全為0),則l1⊥l2 　　　　　　.
特別適合解決含參數的兩直線垂直求參數的問題
k1k2=-1
A1A2+B1B2=0
　　　　　　
名師點睛
1.(1)過點(x0,y0)且與直線Ax+By+C=0平行的直線可表示為A(x-x0)+B(y-y0)=0;
(2)過點(x0,y0)且與Ax+By+C=0垂直的直線可表示為B(x-x0)-A(y-y0)=0;
(3)與直線y=kx+b(k≠0)垂直的所有直線可以表示為y=- x+m;
(4)與直線Ax+By+C=0垂直的所有直線可以表示為Bx-Ay+m=0.
2.“兩條直線的斜率之積等于-1”是“這兩條直線垂直”的充分不必要條件.因為兩條直線垂直時,除了斜率之積等于-1,還可能一條直線的斜率為0,另一條直線的斜率不存在.
思考辨析
在平面中,直線l1,l2的方向向量分別為a=(1,m),b=(1,n),當兩條直線互相垂直時,可以得出什么結論
提示 mn=-1.
自主診斷
[人教B版教材習題]求下列過點P且與直線l垂直的直線的方程.
(1)P(4,-3),l:x+5y-3=0;
(2)P(3,-5),l:x+y=0;
(3)P(2,3),l:x+y-2=0.
解 (1)5x-y-23=0.
(2)x-y-8=0.
(3)x-y+1=0.
重難探究·能力素養速提升
探究點一　　兩條直線平行的判定
【例1】 已知兩直線l1:x+my+6=0;l2:(m-2)x+3y+2m=0,求m為何值時,直線l1與l2:(1)相交;(2)平行;(3)重合.
解 ∵直線l1:x+my+6=0,
直線l2:(m-2)x+3y+2m=0,
∴A1=1,B1=m,C1=6,A2=m-2,B2=3,C2=2m.
(1)若l1與l2相交,則A1B2-A2B1≠0,即1×3-m(m-2)≠0,即m2-2m-3≠0,即
(m-3)(m+1)≠0, 即m≠3且m≠-1.故當m≠3且m≠-1時,直線l1與l2相交.
規律方法　判斷兩條直線是否平行的步驟
變式訓練1已知兩直線l1:9x-y+a+2=0;l2:ax+(a-2)y+1=0.求a為何值時,直線l1與l2:(1)相交;(2)平行;(3)重合.
探究點二　　兩條直線垂直的判定
【例2】 (1)已知直線l1經過點A(3,2),B(3,-1),直線l2經過點M(1,1),N(2,1),判斷l1與l2是否垂直;
(2)已知直線l1經過點A(3,a),B(a-2,3),直線l2經過點C(2,3),D(-1,a-2),若l1⊥l2,求a的值;
(3)已知直線l1:ax+(1-a)y=3與l2:(a-1)x+(2a+3)y=2垂直,求a的值.
解 (1)由題意知直線l1的斜率不存在,直線l2的斜率為0,所以l1⊥l2.
(2)由題意,知直線l2的斜率k2一定存在,直線l1的斜率k1可能不存在.
當直線l1的斜率不存在時,3=a-2,即a=5,此時k2=0,則l1⊥l2,滿足題意.
當直線l1的斜率k1存在時,a≠5,
(3)∵l1⊥l2,∴a(a-1)+(1-a)(2a+3)=0,
即a2+2a-3=0,解得a=1或a=-3.
規律方法　判定兩直線垂直的步驟
(1)一看:就是看每條直線所給兩點的橫坐標是否相等,若相等,則直線的斜率不存在;若不相等,則進行下一步.
(2)二代:就是將點的坐標代入斜率公式.
(3)求值:計算斜率的值,進行判斷.
[注意]若已知點的坐標中含有參數,則利用兩直線的垂直關系求參數值時,要注意討論斜率不存在的情況.
變式訓練2(1)(多選題)下列各對直線互相垂直的是(　　)
A.l1過點M(1,1),N(1,2),l2過點P(1,5),Q(3,5)
D.l1過點M(1,0),N(4,-5),l2過點P(-6,0),Q(-1,3)
ABD
(2)已知△ABC的頂點為A(5,-1),B(1,1),C(2,m),若△ABC為直角三角形,求m的值.
探究點三　　兩直線平行與垂直的綜合應用
【例3】 (1)[2024江蘇連云港月考]順次連接點A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0),則四邊形ABCD是(　　)
A.平行四邊形　　　　 B.直角梯形
C.等腰梯形 D.以上都不對
ABD
★(2)如圖所示,在平面直角坐標系中,四邊形OPQR的頂點坐標按逆時針順序依次為O(0,0),P(1,t),Q(1-2t,2+t),R(-2t,2),其中t>0.試判斷四邊形OPQR的形狀.
變式探究將例3(2)改為“已知矩形OPQR的頂點坐標按逆時針順序依次為O(0,0),P(1,t),Q(1-2t,2+t)”,其余條件不變,試求頂點R的坐標.
規律方法　1.利用兩條直線平行或垂直判定幾何圖形的形狀的步驟
2.判定幾何圖形形狀的注意點
(1)在頂點確定的前提下,判定幾何圖形的形狀時,要先畫圖,猜測其形狀,以明確證明的目標.
(2)證明兩直線平行時,僅有斜率相等是不夠的,還要注意排除兩直線重合的情況.
(3)判斷四邊形形狀,要依據四邊形的特點,并且明確不會產生其他的情況.
變式訓練3(1)已知A(1,-1),B(2,2),C(3,0)三點,求點D,使直線CD⊥AB,且BC∥AD.
(2)已知四邊形ABCD的頂點B(6,-1),C(5,2),D(1,2).若四邊形ABCD為直角梯形,求點A坐標.
解 當A=D=90°時,如圖①,由已知AB∥DC,AD⊥AB,而kCD=0,故A(1,-1).
當A=B=90°時,如圖②.
①
②
學以致用·隨堂檢測促達標
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A 級 必備知識基礎練
1. [探究點一](多選題) 已知直線l1:mx-y-3=0,直線l2:4x-my+6=0,則下列命題是真命題的有(　　)
A.直線l1恒過點(0,-3)
B.存在m使得直線l2的傾斜角為90°
C.若l1∥l2,則m=2或m=-2
D.不存在實數m使得l1⊥l2
AB
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2.[探究點二]若點P(a,b)與Q(b-1,a+1)不重合且關于直線l對稱,則l的傾斜角為(　　)
A.135° B.45° C.30° D.60°
B
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3.[探究點一]已知直線l1:ax+(a+2)y+2=0與l2:x+ay+1=0平行,則實數a的值為(　　)
A.-1或2 B.0或2 C.2 D.-1
D
解析 由l1∥l2知,a×a=1×(a+2),即a2-a-2=0,
∴a=2或a=-1.當a=2時,l1與l2重合,不符合題意,舍去;當a=-1時,l1∥l2,∴a=-1.
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4.[探究點二]若直線mx+4y-2=0與直線2x-y+n=0垂直,垂足為(1,p),則實數n的值為(　　)
A.-2 B.-4 C.10 D.8
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5.[探究點一]“m=-1”是“x+my-2m+2=0與直線mx+y-m+1=0平行”的(　　)
A.充要條件
B.充分不必要條件
C.必要不充分條件
D.既不充分也不必要條件
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6.[探究點三](多選題)設平面內四點P(-4,2),Q(6,-4),R(12,6),S(2,12),下面四個結論正確的是(　　)
A.PQ∥SR B.PQ⊥PS
C.PS∥QS D.PR⊥QS
ABD
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7.[探究點一]已知直線l1的斜率是2,l2過點A(-1,-2),B(x,6),且l1∥l2,則
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8.[探究點二]直線l與直線x+y-2=0垂直,且它在y軸上的截距為4,則直線l的方程為　　　　　.
x-y+4=0
解析 由題意知直線l的斜率是1,又它在y軸上的截距為4,∴直線l的方程是y=x+4,即x-y+4=0.
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9.已知直線l的傾斜角為135°,直線l1經過點A(3,2),B(a,-1),且l1與l垂直,直線l2:y=- x+1與直線l1平行,則a+b等于(　　)
A.-4 B.-2 C.0 D.2
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B 級 關鍵能力提升練
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10.已知直線l1:xsin α+y-1=0,直線l2:x-3ycos α+1=0.若l1⊥l2,則sin 2α=(　　)
A
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11.(多選題)若直線3x+2y+6=0,2x-3m2y+18=0和2mx-3y+12=0圍成直角三角形,則m的值可以為(　　)
A.0 B.1 C.-1 D.
ACD
解析 由題意,若直線3x+2y+6=0和2x-3m2y+18=0垂直,可得3×2+2×
(-3m2)=0,解得m=±1.經驗證,當m=1時,有兩條直線平行,構不成三角形;當m=-1時符合題意.同理,若直線3x+2y+6=0和2mx-3y+12=0垂直,可得6m-6 =0,解得m=1,應舍去;若直線2x-3m2y+18=0和2mx-3y+12=0垂直,可得4m+9m2=0,解得m=0或m= ,經驗證均符合題意.故m的值為0,-1, .
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12.過點A(0, )與B(7,0)的直線l1與過點(2,1),(3,k+1)的直線l2和兩坐標軸圍成的四邊形內接于一個圓,則實數k等于(　　)
A.-3 B.3 C.-6 D.6
B
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13.已知直線x+a2y+6=0和直線(a-2)x+3ay+2a=0沒有公共點,則a的值是
(　　)
A.0或3 B.-1或3
C.0或-1或3 D.0或-1
D
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14.直線l1,l2的斜率k1,k2是關于k的方程2k2-3k-b=0的兩根,若l1⊥l2,則b=　　　　　;若l1∥l2,則b=　　　　　.
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15.設點P(2,5)關于直線x+y=1的對稱點為Q,則點Q的坐標為　　　　,過點Q且與直線x+y-3=0垂直的直線方程為　　　　　　　.
(-4,-1)　
x-y+3=0　
解析 設點Q(a,b),
即點Q的坐標為(-4,-1),設與直線x+y-3=0垂直的直線方程為x-y+c=0,將Q(-4,-1)代入該式,得c=3,所以直線方程為x-y+3=0.
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16.已知△ABC的頂點分別為A(5,-1),B(1,1),C(2,m),若△ABC為直角三角形,求m的值.
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C 級 學科素養創新練

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