資源簡介

(共66張PPT)
北師大版 數(shù)學(xué) 選擇性必修第一冊
課程標準 1.在平面直角坐標系中,結(jié)合具體圖形,探索確定直線位置的幾何要素.
2.理解直線的傾斜角和斜率的概念.
3.掌握傾斜角和斜率之間的關(guān)系.
4.掌握過兩點的直線斜率的計算公式.
基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過
知識點1　直線的傾斜角
定義 在平面直角坐標系中,對于一條與x軸相交的直線l,把x軸(正方向)按
　　　　　方向繞著交點旋轉(zhuǎn)到和直線l　　　　　　　所成的角,稱為直線l的傾斜角.
規(guī)定:當直線l和x軸平行或重合時,規(guī)定它的傾斜角為　　
記法 α
圖示
逆時針
首次重合時
0
范圍 　　　
作用 (1)表示平面直角坐標系內(nèi)一條直線的傾斜程度. 相對于x軸而言
(2)確定平面直角坐標系中一條直線位置的幾何要素是:直線上的一個定點以及直線的傾斜角,二者缺一不可
名師點睛
傾斜角還可以這樣定義:當直線l與x軸相交時,以x軸為基準,x軸正向與直線l向上的方向之間所成的角α稱為直線l的傾斜角;并規(guī)定,與x軸平行或重合的直線的傾斜角為0.對于平面直角坐標系中的每一條直線l,都有唯一確定的傾斜角α與之對應(yīng).
[0,π)
思考辨析
在平面直角坐標系中,經(jīng)過原點且傾斜角為 的直線有幾條
提示 有且僅有一條.
自主診斷
1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)
(1)若直線的傾斜角為α,則0°≤α≤180°.(　　)
(2)只知道一條直線的傾斜角不能確定這條直線.(　　)
(3)直線在平面直角坐標系中平移不改變其傾斜角. (　　)
×
√
√
2.[人教B版教材習(xí)題]分別寫出下列直線的傾斜角:
(1)垂直于x軸的直線;
(2)垂直于y軸的直線;
(3)第一、三象限的角平分線;
(4) 第二、四象限的角平分線.
提示 (1)90°.
(2)0°.
(3)45°.
(4)135°.
知識點2　直線的斜率
在直線l上任取兩個不同的點P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2),則稱
_____________________為經(jīng)過不同兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直線l的斜率.
顯然,若直線l垂直于x軸,則它的斜率不存在;若直線l不與x軸垂直,則它的斜率存在且唯一,因此,我們常用斜率來表示直線的　　　　　　.
傾斜程度
名師點睛
1.運用公式的前提是x1≠x2,即直線不與x軸垂直.
2.斜率的大小與兩點P1,P2在直線上的位置無關(guān),在直線上任取兩點,得到的斜率是相同的.
3.需注意公式中橫、縱坐標之差的順序,也可以寫成 ,即下標的順序一致.
思考辨析
如圖,直線l(不垂直于x軸)上兩個不同點P1(x1,y1),P2(x2,y2).記Δx=x2-x1(Δx≠0), Δy=y2-y1.在直線l上點P1平移到點P2,則高度的平均變化率是
多少
自主診斷
1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)
(1)任何一直線都有斜率和傾斜角.(　　)
(2)任何一條直線有且只有一個斜率和它對應(yīng).(　　)
(3)直線的斜率小于0時,該直線的傾斜角一定為鈍角.(　　)
(4)直線的斜率等于0時,該直線的傾斜角一定為直角. (　　)
×
×
√
×
2.[人教B版教材習(xí)題]已知經(jīng)過A(a,-1),B(2,a+1)的直線的斜率為3,求實數(shù)a的值.
3.[人教A版教材習(xí)題]求經(jīng)過下列兩點的直線的斜率.
(1)C(18,8),D(4,-4);
(2)P(0,0),Q(-1,3).
知識點3　直線斜率與傾斜角的關(guān)系
1.斜率與傾斜角的關(guān)系
由正切函數(shù)的概念可知,傾斜角不是 的直線,它的斜率k和它的傾斜角α滿
足k=　　 　.
　 　　
2.斜率與傾斜角的對應(yīng)關(guān)系
圖示


傾斜角 α=0 0<α< 　　　 <α<π
斜率 　 k>0 不存在 　 　
斜率
變化
規(guī)律 定值 直線逆時針旋轉(zhuǎn),傾斜角α在0至 間逐漸增大,斜率也逐漸增大,且恒為正數(shù) 不存在 直線逆時針旋轉(zhuǎn),傾斜角α在 至π間逐漸增大,斜率也逐漸增大,且恒為負數(shù)
k=0
k<0
思考辨析
對于兩條傾斜角不為 的直線,若它們的傾斜角相等,則它們的斜率就相等嗎 反之,若它們的斜率相等,則它們的傾斜角相等嗎
提示 傾斜角不為 的兩條直線,若它們的傾斜角相等,則它們的斜率也相等;反之也成立.
自主診斷
1.下面選項中,兩點確定的直線的斜率不存在的是(　　)
A.(4,2)與(-4,1)
B.(0,3)與(3,0)
C.(3,-1)與(2,-1)
D.(-2,2)與(-2,5)
D
解析 只有在選項D中,因為兩個點的橫坐標都是-2,所以直線垂直于x軸,傾斜角為90°,其斜率不存在.
2.一條直線的斜率等于 ,則此直線的傾斜角等于　　　　.
30°　
3.[人教B版教材習(xí)題]已知A(-1,-3),B(0,-1),C(1,2),D(3,5),則A,B,C共線嗎 A,B,D呢
知識點4　直線的斜率與方向向量的關(guān)系
在直線l上任取兩個不同的點P1(x1,y1),P2(x2,y2).由平面向量的知識可知,向量 是直線l的　　　　　　,它的坐標是(x2-x1,y2-y1),直線的傾斜角α、斜率k、方向向量 分別從不同角度刻畫一條直線相對于平面直角坐標系中x軸的傾斜程度.它們之間的關(guān)系是 =tan α(其中x1≠x2).
若k是直線l的斜率,則　　　　是它的一個方向向量;若直線l的一個方向向量的坐標為(x,y),其中x≠0,則它的斜率k=　　　.
方向向量
v=(1,k)
名師點睛
1.如果a為直線l的一個方向向量,那么對于任意的實數(shù)λ≠0,向量λa都是l的一個方向向量,而且直線l的任意兩個方向向量一定共線.
2.如果A(x1,y1),B(x2,y2)是直線l上兩個不同的點,則 =(x2-x1,y2-y1)是直線l的一個方向向量.
3.一般地,已知a=(u,v)是直線l的一個方向向量,直線l的傾斜角為θ,則:
(1)當u=0時,顯然直線的斜率不存在,θ=90°.
(2)當u≠0時,直線l的斜率存在,且為k,則(1,k)與a=(u,v)都是直線l的方向向量,由直線的任意兩個方向向量共線可知1×v=k×u,從而
自主診斷
1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)
一般地,已知a=(u,v)是直線l的一個方向向量,直線l的傾斜角為θ,則:
(1)當u=0時,直線的斜率不存在,θ=90°.(　　)
(2)當u≠0時,直線l的斜率存在,且為k,則(1,k)與a=(u,v)都是直線l的方向向量.
(　　)
√
√
2.[人教B版教材習(xí)題]已知直線l經(jīng)過點A(-2,0)與B(-5,3),求直線l的一個方向向量、斜率k與傾斜角θ.
3.[人教A版教材習(xí)題]經(jīng)過A(0,2),B(-1,0)兩點的直線的方向向量為(1,k),求k的值.
重難探究·能力素養(yǎng)速提升
探究點一　　直線的傾斜角
【例1】 設(shè)直線l過坐標原點,它的傾斜角為α,如果將l繞坐標原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°,得到直線l1,那么l1的傾斜角為(　　)
A.α+45°
B.α-135°
C.135°-α
D.當0°≤α<135°時,傾斜角為α+45°;當135°≤α<180°時,傾斜角為α-135°
D
解析 根據(jù)題意,畫出圖形,如圖所示.
因為0°≤α<180°,顯然A,B,C未分類討論,均不全面,所以不合題意.由圖,
可知
當0°≤α<135°時,l1的傾斜角為α+45°;
當135°≤α<180°時,l1的傾斜角為45°+α-180°=α-135°.故選D.
規(guī)律方法　求直線的傾斜角的方法及兩點注意
(1)方法:結(jié)合圖形,利用特殊三角形(如直角三角形)求角.
(2)兩點注意:①當直線與x軸平行或重合時,傾斜角為0;當直線與x軸垂直時,傾斜角為 .②注意直線傾斜角α的取值范圍是[0,π).
變式訓(xùn)練1
已知直線l1的傾斜角為α1=15°,直線l1與l2的交點為A,直線l1和l2向上的方向之間所成的角為120°,直線l2與x軸
交于點B,如圖所示,求直線l2的傾斜角.
解 ∵α1=15°,l1與l2向上的方向之間所成的角為120°,
∴直線l2的傾斜角為120°+15°=135°.
探究點二　　直線的斜率
【例2】 已知A(-3,-5),B(1,3),C(5,11)三點,這三點　　　　　(填“在”或“不在”)同一條直線上.
在
規(guī)律方法　1.用斜率公式解決三點共線的方法
2.解決斜率取值范圍問題的基本方法——數(shù)形結(jié)合
斜率k的大小與正切函數(shù)之間的關(guān)系是用傾斜角α來聯(lián)系的.因此,可以由傾斜角的變化得出斜率的變化.解決這類問題時,可利用數(shù)形結(jié)合思想直觀地判斷直線的位置.
變式訓(xùn)練2已知坐標平面內(nèi)三點A(-1,1),B(1,1),C(2, +1).
(1)求直線AB,BC,AC的斜率和傾斜角;
(2)若D為△ABC的邊AB上一動點,求直線CD斜率k的取值范圍.
(2)如圖,當斜率k變化時,直線CD繞點C旋轉(zhuǎn),當直線CD由直線CA按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到直線CB時,直線CD與線段AB恒有交點,即點D在線段AB上,此時k由kCA增大到kCB,所以k的取值范圍為
探究點三　　傾斜角和斜率的應(yīng)用
【例3】 已知兩點A(-3,4),B(3,2),過點P(1,0)的直線l與線段AB有公共點.
(1)求直線l的斜率k的取值范圍;
(2)求直線l的傾斜角α的取值范圍.
(1)要使l與線段AB有公共點,則直線l的斜率k的取值范圍是(-∞,-1]∪[1,+∞).
(2)由題意可知直線l的傾斜角介于直線PB與PA的傾斜角之間,又PB的傾斜角是45°,PA的傾斜角是135°,
所以α的取值范圍是45°≤α≤135°.
規(guī)律方法　傾斜角和斜率的應(yīng)用
(1)傾斜角和斜率都可以表示直線的傾斜程度,二者相互聯(lián)系.
(2)涉及直線與線段有交點問題常通過數(shù)形結(jié)合利用公式求解.
變式訓(xùn)練3已知A(3,3),B(-4,2),C(0,-2).
(1)求直線AB和AC的斜率;
(2)若點D在線段BC(包括端點)上移動時,求直線AD的斜率的取值范圍.
(2)如圖所示,當點D由點B運動到點C時,直線AD的斜率由kAB增大到kAC,所以直線AD的斜率的取值范圍是
探究點四　　直線的斜率與方向向量的關(guān)系
【例4】 已知直線l經(jīng)過點A(1,2),B(4,5),求直線l的一個方向向量,并確定直線l的斜率與傾斜角.
解 =(4-1,5-2)=(3,3)是直線l的一個方向向量,因此直線l的斜率k=1,直線l的傾斜角θ滿足tan θ=1,從而可知θ=45°.
變式訓(xùn)練4已知直線l經(jīng)過點M(3,3)和N(2,3+ ),求直線l的一個方向向量,并求直線l的斜率和傾斜角.
學(xué)以致用·隨堂檢測促達標
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A 級 必備知識基礎(chǔ)練
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1.[探究點一·2024廣東佛山期末]如圖,直線l過原點,直線l的傾斜角為(　　)
C
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2.[探究點三]下列說法正確的是(　　)
A.直線的傾斜角越大,它的斜率越大
B.兩直線的傾斜角相等,則它們的斜率也相等
C.任何一條直線都有唯一的斜率
D.任何一條直線都有唯一的傾斜角
D
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3. [探究點二](多選題) 已知點A的坐標為(3,4),在坐標軸上有一點B,若kAB=4,則點B的坐標可能為(　　)
A.(0,-4) B.(4,0)
C.(2,0) D.(0,-8)
CD
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4.[探究點二]如圖,直線l1,l2,l3的斜率分別為k1,k2,k3,則(　　)
A.k1B.k3C.k1D.k3A
解析 設(shè)直線l1,l2,l3的傾斜角分別為α1,α2,α3,則由圖知0°<α3<α2<90°<α1<180°,∴tan α1<0,tan α2>tan α3>0,即k1<0,k2>k3>0,故選A.
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5. [探究點二]已知直線y=kx+4與兩坐標軸圍成的三角形面積為6,則k的值是(　　)
D
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6. [探究點一] a,b,c是兩兩不等的實數(shù),則經(jīng)過P(b,b+c),C(a,c+a)兩點直線的傾斜角為　　　　.
45°
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7.[探究點四·2024遼寧大連期末]若直線l的方向向量是e=(1, ),則直線l的傾斜角為　　　　　.
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8.[探究點三]將直線y=x+ -1繞它上面一點(1, )沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)15°,所得到的直線斜率是　　　　.
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9. [探究點三]已知點A(1,2),在坐標軸上有一點P使直線PA的傾斜角為60°,求點P的坐標.
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B 級 關(guān)鍵能力提升練
10.已知直線l經(jīng)過兩點O(0,0),A(1, ),直線m的傾斜角是直線l的傾斜角的兩倍,則直線m的斜率是(　　)
A
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11.(多選題)若直線l的傾斜角為鈍角,則下列向量可能作為l的方向向量的是(　　)
A.a=(2,1) B.a=(-2,1)
C.a=(1,-2) D.a=(0,1)
BC
解析 因為直線l的傾斜角為鈍角,則其斜率k<0,所以l的方向向量的橫、縱坐標的符號相反,故選BC.
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12.設(shè)A(1,1),B(2,a),C(b,3)三點共線,且a,b∈N+,則a-b的值為(　　)
A.1 B.-1
C.1或-1 D.無法確定
C
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13.直線l經(jīng)過A(2,1),B(1,m2)(m∈R)兩點,那么直線l的傾斜角的取值范圍為
(　　)
D
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14.(多選題)直線l過點P(1,0),且與以A(2,1),B(0, )為端點的線段有公共點,則直線l的斜率可能是( 　　)
ACD
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15.已知θ∈(0, ),試用θ表示經(jīng)過P(0,0),Q(sin θ,cos θ)兩點直線l的傾斜角為　　　　　.
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16.[2024江西南昌月考]已知等腰直角三角形斜邊上的高所在直線的斜率為3,則該等腰直角三角形兩腰所在直線的斜率分別
為　　　　 ,　　　　 .
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解析 設(shè)等腰直角三角形斜邊上的高所在直線的傾斜角為α,則tan α=3.由題意得該等腰直角三角形兩腰所在直線的傾斜角分別為α+45°,α-45°,
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17.已知兩點A(-3,4),B(3,2),過點P(1,0)的直線l與線段AB有公共點.
(1)求直線l的斜率k的取值范圍;
(2)求直線l的傾斜角α的取值范圍.
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解 如圖所示,由題意可知
(1)要使直線l與線段AB有公共點,
則直線l的斜率k的取值范圍是(-∞,-1]∪[1,+∞).
(2)由題意可知,直線l的傾斜角介于直線PB與PA的傾斜角之間,又直線PB的傾斜角是45°,直線PA的傾斜角是135°,所以α的取值范圍是{α|45°≤α≤135°}.
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18.點M(x,y)在函數(shù)y=-2x+8的圖象上,當x∈[2,5]時,求 的取值范圍.
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C 級 學(xué)科素養(yǎng)創(chuàng)新練
19.如圖所示,菱形OBCD的頂點O與坐標原點重合,一邊在x軸的正半軸上,已知∠BOD=60°,求菱形OBCD各邊和兩條對角線所在直線的傾斜角和斜率.
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20.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)是函數(shù)y=x3的圖象上任意三個不同的點.求證:若A,B,C三點共線,則x1+x2+x3=0.
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