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(共48張PPT)
北師大版 數(shù)學(xué) 選擇性必修第一冊(cè)
課程標(biāo)準(zhǔn) 1.理解圓的一般方程及其特點(diǎn).
2.掌握?qǐng)A的一般方程和標(biāo)準(zhǔn)方程的互化.
3.會(huì)求圓的一般方程以及與圓有關(guān)的簡(jiǎn)單的軌跡方程問題.
基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過
知識(shí)點(diǎn)1　圓的一般方程
名師點(diǎn)睛
1.當(dāng)D2+E2-4F=0時(shí),方程表示一個(gè)點(diǎn) ;當(dāng)D2+E2-4F<0時(shí),方程不表示任何圖形.
2.二元二次方程要想表示圓,需x2和y2的系數(shù)相同且不為0,沒有xy這樣的二次項(xiàng).
3.幾個(gè)常見圓的一般方程
(1)過原點(diǎn)的圓的方程:x2+y2+Dx+Ey=0(D,E不全為0);
(2)圓心在y軸上的圓的方程:x2+y2+Ey+F=0(E2-4F>0);
(3)圓心在x軸上的圓的方程:x2+y2+Dx+F=0(D2-4F>0);
(4)圓心在x軸上且過原點(diǎn)的圓的方程:x2+y2+Dx=0(D≠0);
(5)圓心在y軸上且過原點(diǎn)的圓的方程:x2+y2+Ey=0(E≠0).
思考辨析
1.把圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-1)2+(y+2)2=9展開并化為等號(hào)右端為零的形式,得到的方程有什么特點(diǎn)
2.二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圓需要滿足哪些條件
提示 展開后得到x2+y2-2x+4y-4=0,方程為二元二次方程,且x2,y2的系數(shù)相等且不為零,不含xy項(xiàng).
提示 需滿足的條件為①A=C,且均不為0;②B=0;③D2+E2-4AF>0.
自主診斷
1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)
(1)同一個(gè)圓的一般方程可以與它的標(biāo)準(zhǔn)方程互化.(　　)
(2)二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0一定是某個(gè)圓的方程.(　　)
(3)若方程x2+y2-2x+Ey+1=0表示圓,則E≠0.(　　)
(4)在平面直角坐標(biāo)系中,任何一個(gè)圓的方程都能寫成一個(gè)二元二次方程.(　　)
(5)方程x2+y2+2ax+2by+a2+b2=0表示的圖形是點(diǎn)(a,b).(　　)
√
×
√
√
×
2.[2024上海寶山期中]方程x2+y2-2ay+a=0表示圓,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是　　　　　　　　　.
(-∞,0)∪(1,+∞)
解析 因?yàn)榉匠蘹2+y2-2ay+a=0表示圓,則4a2-4a>0,解得a>1或a<0,即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,0)∪(1,+∞).
3.[人教B版教材習(xí)題]寫出下列圓的圓心坐標(biāo)和半徑:
(1)x2+y2-6x=0;
(2)2x2+2y2-4x+8y+5=0.
解 (1)圓心為(3,0),r=3.
4.[人教B版教材習(xí)題]已知a,b為實(shí)數(shù),判斷x2+y2+2ax-b2=0是否是圓的方程,并說明理由.
解 原方程可化為(x+a)2+y2=a2+b2,當(dāng)a=b=0時(shí),x2+y2=0,不是圓的方程,它表示原點(diǎn);
當(dāng)a,b不同時(shí)為零時(shí),方程表示圓心為(-a,0),半徑為 的圓.
知識(shí)點(diǎn)2　由圓的一般方程判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系及與圓有關(guān)的軌跡問題
1.已知點(diǎn)M(x0,y0)和圓的方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),則它們的位置關(guān)系如下表:
>
=
<
2.點(diǎn)M的坐標(biāo)(x,y)滿足的　　　 　　稱為點(diǎn)M的軌跡方程.求符合某種條件的動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程,實(shí)質(zhì)上就是利用題設(shè)中的幾何條件,通過“坐標(biāo)化”將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于變量x,y之間的方程.
等量關(guān)系式
思考辨析
軌跡和軌跡方程有什么區(qū)別
提示 軌跡是指點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)變化中形成的圖形,比如直線、圓等.軌跡方程是點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的關(guān)系式.
自主診斷
1.已知圓C:(x-a)2+(y-b)2=1過點(diǎn)A(1,0),則圓C的圓心的軌跡是(　　)
A.點(diǎn) B.直線 C.線段 D.圓
D
解析 ∵圓C:(x-a)2+(y-b)2=1過點(diǎn)A(1,0),∴(1-a)2+(0-b)2=1,∴(a-1)2+b2=1, ∴圓C的圓心的軌跡是以(1,0)為圓心,1為半徑的圓.
2.[人教B版教材習(xí)題]已知坐標(biāo)原點(diǎn)不在圓x2+y2-ay+a-1=0的內(nèi)部,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
解 ∵(0,0)不在圓的內(nèi)部,∴將(0,0)代入圓的方程,得a-1≥0,∴a≥1.
重難探究·能力素養(yǎng)速提升
探究點(diǎn)一　　圓的一般方程初步理解
【例1】 若方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0表示圓,求實(shí)數(shù)m的取值范圍,并寫出圓心坐標(biāo)和半徑.
規(guī)律方法　形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的二元二次方程,判定其是否表示圓時(shí)可有如下兩種方法:
(1)由圓的一般方程的定義,若D2+E2-4F>0成立,則表示圓,否則不表示圓.
(2)將方程配方后,根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征求解.
應(yīng)用這兩種方法時(shí),要注意所給方程是不是x2+y2+Dx+Ey+F=0這種標(biāo)準(zhǔn)形式,若不是,則要化為這種形式再求解.
變式訓(xùn)練1(1)若方程a2x2+(a+2)y2+2ax+a=0表示圓,則a的值為(　　)
A.1或-2 B.2或-1
C.-1 D.2
C
解析 因?yàn)榉匠蘟2x2+(a+2)y2+2ax+a=0中二次項(xiàng)系數(shù)不一定為1,因此若它表示圓,需要二次項(xiàng)的系數(shù)相等且不等于0,且轉(zhuǎn)化為一般式后滿足
(2)當(dāng)圓C:x2+y2-4x-2my+2m=0的面積最小時(shí),m的值是(　　)
A.4 B.3
C.2 D.1
D
解析 把圓C的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程,得(x-2)2+(y-m)2=m2-2m+4,設(shè)圓C的半徑為r,則有r2=m2-2m+4=(m-1)2+3≥3,所以m=1時(shí),r2取得最小值,從而圓C的面積S=πr2在m=1時(shí)取得最小值.故選D.
探究點(diǎn)二　　求圓的一般方程
【例2】 已知A(2,2),B(5,3),C(3,-1).
(1)求△ABC的外接圓的一般方程;
(2)若點(diǎn)M(a,2)在△ABC的外接圓上,求a的值.
解 (1)設(shè)△ABC外接圓的一般方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,由題意,得
(2)由(1)知,△ABC的外接圓的方程為x2+y2-8x-2y+12=0.∵點(diǎn)M(a,2)在△ABC的外接圓上,∴a2+22-8a-2×2+12=0,即a2-8a+12=0,解得a=2或a=6.
變式探究1若例2中將“點(diǎn)C(3,-1)”改為“圓C過A,B兩點(diǎn)且圓C關(guān)于直線
y=-x對(duì)稱”,其他條件不變,求圓C的方程.
變式探究2將例2改為“已知圓Q過A(2,2),B(5,3),C(3,-1)三點(diǎn),點(diǎn)M,N在圓Q上”,試求△QMN面積的最大值.
規(guī)律方法　應(yīng)用待定系數(shù)法求圓的方程時(shí)應(yīng)注意:
(1)如果由已知條件容易求得圓心坐標(biāo)、半徑或需利用圓心坐標(biāo)或半徑列方程,一般采用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)2+(y-b)2=r2,再用待定系數(shù)法求出a,b,r.
(2)如果已知條件與圓心和半徑都無直接關(guān)系,一般采用圓的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),再用待定系數(shù)法求出常數(shù)D,E,F.
變式訓(xùn)練2已知圓C:x2+y2+Dx+Ey+3=0,圓心在直線x+y-1=0上,且圓心在第二象限,半徑長(zhǎng)為 ,求圓的一般方程.
探究點(diǎn)三　　求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程
【例3】 已知點(diǎn)A(2,0)是圓x2+y2=4上的定點(diǎn),點(diǎn)B(1,1)是圓內(nèi)一點(diǎn),P,Q為圓上的動(dòng)點(diǎn).
(1)求線段AP的中點(diǎn)M的軌跡方程;
(2)若∠PBQ=90°,求線段PQ的中點(diǎn)N的軌跡方程.
解 (1)設(shè)線段AP的中點(diǎn)為M(x,y),則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2x-2,2y).∵點(diǎn)P在圓x2+y2=4上,∴(2x-2)2+(2y)2=4,整理得(x-1)2+y2=1.故線段AP的中點(diǎn)M的軌跡方程為(x-1)2+y2=1.
(2)設(shè)線段PQ的中點(diǎn)為N(x,y),
在Rt△PBQ中,|PN|=|BN|.
設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),連接ON,∵|OP|=|OQ|,N為PQ的中點(diǎn),∴ON⊥PQ,∴|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2,∴x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4,故線段PQ的中點(diǎn)N的軌跡方程為x2+y2-x-y-1=0.
變式探究1在本例條件不變的情況下,求過點(diǎn)B的弦的中點(diǎn)T的軌跡方程.
解 設(shè)T(x,y),因?yàn)辄c(diǎn)T是過點(diǎn)B的弦的中點(diǎn),所以O(shè)T⊥BT.當(dāng)斜率存在時(shí),有kOT·kBT=-1.即 =-1,整理得x2+y2-x-y=0.當(dāng)x=0或1時(shí),點(diǎn)(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)也都在圓上.故所求軌跡方程為x2+y2-x-y=0.
變式探究2本例條件不變,求BP的中點(diǎn)E的軌跡方程.
規(guī)律方法　求軌跡方程的3種常用方法
[注意]求出軌跡方程后,要考慮軌跡上應(yīng)去掉的點(diǎn)及軌跡不存在的情形.
變式訓(xùn)練3已知線段AB的中點(diǎn)C的坐標(biāo)是(4,3),端點(diǎn)A在圓x2+y2+2x-3=0上運(yùn)動(dòng),求線段AB的端點(diǎn)B的軌跡方程.
解 設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)是(x,y),點(diǎn)A的坐標(biāo)是(x0,y0),由于點(diǎn)C的坐標(biāo)是(4,3)且點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn),所以 ,于是有x0=8-x,y0=6-y.因?yàn)辄c(diǎn)A在圓x2+y2+2x-3=0上運(yùn)動(dòng),所以點(diǎn)A的坐標(biāo)滿足方程x2+y2+2x-3=0,即(x+1)2+y2=4,把x0=8-x,y0=6-y代入上式,得(8-x+1)2+(6-y)2=4,整理,得
(x-9)2+(y-6)2=4.所以點(diǎn)B的軌跡方程為(x-9)2+(y-6)2=4.
學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)
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A 級(jí) 必備知識(shí)基礎(chǔ)練
1.[探究點(diǎn)一]圓x2+y2-2x+6y+8=0的面積為(　　)
A.8π B.4π C.2π D.π
C
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2.[探究點(diǎn)一](多選題)若圓x2+y2-2ax+3by=0的圓心位于第三象限,則直線x+ay+b=0一定經(jīng)過(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
ABC
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3.[探究點(diǎn)二]當(dāng)a為任意實(shí)數(shù)時(shí),直線(a-1)x-y+a+1=0恒過定點(diǎn)C,則以點(diǎn)C為圓心, 為半徑的圓的方程為(　　)
A.x2+y2-2x+4y=0 B.x2+y2+2x+4y=0
C.x2+y2+2x-4y=0 D.x2+y2-2x-4y=0
C
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4.[探究點(diǎn)一]方程x2+y2+ax-2ay+2a2+3a=0表示的圖形是半徑為r(r>0)的圓,則該圓的圓心在(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
D
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5.[探究點(diǎn)一]已知點(diǎn)A(-1,-3)是圓C:x2+y2-8x+ay=0上一點(diǎn),給出下列結(jié)論:
①a=6;②圓C的圓心為(4,-3);③圓C的半徑為25;④點(diǎn)(1,1)也是圓C上一點(diǎn).
則所有正確結(jié)論的序號(hào)是　　　　　.
①②④
解析 由于點(diǎn)A(-1,-3)是圓C:x2+y2-8x+ay=0上一點(diǎn),所以1+9+8-3a=0,解得a=6,①正確.圓的方程為x2+y2-8x+6y=0,即(x-4)2+(y+3)2=25,故圓心為(4,-3),半徑為5,②正確,③錯(cuò)誤.(1-4)2+(1+3)2=25,所以點(diǎn)(1,1)也是圓C上一點(diǎn),④正確.
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6.[探究點(diǎn)三]已知點(diǎn)P是圓x2+y2=16上的動(dòng)點(diǎn),A(12,0),M為PA的中點(diǎn),求點(diǎn)M的軌跡方程.
解 設(shè)M(x,y),∵A(12,0),M為PA的中點(diǎn),
∴P(2x-12,2y).∵點(diǎn)P為圓x2+y2=16上的動(dòng)點(diǎn),
∴(2x-12)2+4y2=16,即(x-6)2+y2=4.
故所求軌跡方程為(x-6)2+y2=4.
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B 級(jí) 關(guān)鍵能力提升練
7.已知圓C:x2+y2=4,則圓C關(guān)于直線l:x-y-3=0對(duì)稱的圓的方程為(　　)
A.x2+y2-6x+6y+14=0 B.x2+y2+6x-6y+14=0
C.x2+y2-4x+4y+4=0 D.x2+y2+4x-4y+4=0
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8.若圓x2+y2-2x-4y=0的圓心到直線x-y+a=0的距離為 ,則實(shí)數(shù)a的值為
(　　)
A.0或2 B.0或-2
C.0或 D.-2或2
A
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9.若直線l:ax+by+1=0始終平分圓M:x2+y2+4x+2y+1=0的周長(zhǎng),則
(a-2)2+(b-2)2的最小值為(　　)
B
解析 由題意得直線l過圓心M(-2,-1),則-2a-b+1=0,即b=-2a+1.所以
(a-2)2+(b-2)2=(a-2)2+(-2a+1-2)2=5a2+5≥5,所以(a-2)2+(b-2)2的最小值為5.
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10. 若直線l將圓x2+y2-2x-4y-4=0平分,且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等,則直線l的方程為　　　　　　　　　　.
2x-y=0或x+y-3=0
解析 圓x2+y2-2x-4y-4=0化為(x-1)2+(y-2)2=9,圓的圓心坐標(biāo)為(1,2),半徑為3.由直線l將圓x2+y2-2x-4y-4=0平分,則直線l經(jīng)過圓心(1,2).若在兩坐標(biāo)軸上的截距都為0,則直線過坐標(biāo)原點(diǎn),此時(shí)直線斜率為2,直線l的方程為y=2x,
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11.點(diǎn)A(2,0)是圓x2+y2=4上的定點(diǎn),點(diǎn)B(1,1)是圓內(nèi)一點(diǎn),P,Q為圓上的動(dòng)點(diǎn).
(1)求線段AP的中點(diǎn)M的軌跡方程;
(2)若∠PBQ=90°,求線段PQ的中點(diǎn)N的軌跡方程.
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解 (1)設(shè)線段AP的中點(diǎn)為M(x,y),由中點(diǎn)公式得點(diǎn)P坐標(biāo)為P(2x-2,2y).因?yàn)辄c(diǎn)P在圓x2+y2=4上,所以(2x-2)2+(2y)2=4,故線段AP的中點(diǎn)M的軌跡方程為(x-1)2+y2=1.
(2)設(shè)線段PQ的中點(diǎn)為N(x,y),在Rt△PBQ中,|PN|=|BN|.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),連接ON(圖略),則ON⊥PQ,所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2,所以x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4,整理可得線段PQ的中點(diǎn)N的軌跡方程為
x2+y2-x-y-1=0.
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C 級(jí) 學(xué)科素養(yǎng)創(chuàng)新練
12.設(shè)△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo) ,其中a>0,圓M為△ABC的外接圓.
(1)求圓M的方程.
(2)當(dāng)a變化時(shí),圓M是否過某一定點(diǎn) 請(qǐng)說明理由.
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