資源簡介

(共53張PPT)
課程標準 1.會用解方程組的方法求兩條相交直線的交點坐標.
2.會根據方程組解的個數判定兩條直線的位置關系.
基礎落實·必備知識一遍過
知識點　兩條直線的交點
1.一般地,對于兩條不重合的直線l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,我們可以用直線的斜率(斜率存在時)或法向量先定性判斷兩條直線是否相交,若相交,則依據直線方程的概念可知,兩條直線l1,l2交點的坐標就是兩個方
程的公共解.因此,可通過解方程組 得到兩條直線l1,l2的交點坐標.
方法是消元法
2.
方程組 的解 一組 無數組 無解
直線l1和l2公共點的個數 1 無數 0
直線l1和l2的位置關系 　　 　　 　　
名師點睛
若兩條直線相交,則交點坐標分別適合兩條直線的方程,即交點坐標是兩直線方程所組成方程組的解.
相交
重合　
平行
思考辨析
1.觀察下面的直線,發現這些直線都經過點M(4,1),怎么表示出經過點M的直線方程呢
提示 當直線的斜率存在時,y-1=k(x-4)(k∈R);當直線的斜率不存在時,x=4.
2.由兩條直線的方程l1:2x-y+3=0,l2:x-2y+6=0,如何判斷l1,l2是否相交呢 若相交,如何求出其交點坐標呢
提示 因為直線l1的斜率是2,直線l2的斜率是 ,所以l1與l2不平行,又l1與l2不重合,所以直線l1,l2一定相交.由于l1,l2的交點既在直線l1上,又在直線l2上,也就是說,交點坐標既滿足方程2x-y+3=0,又滿足方程x-2y+6=0.將這兩個方程聯立即可求出交點的坐標.解方程組 所以這兩條直線的交點坐標為(0,3).
自主診斷
1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)
(1)若兩直線的方程組成的方程組有解,則兩直線相交.(　　)
(2)若兩直線相交,則交點坐標一定是兩直線方程所組成的二元一次方程組的解.(　　)
(3)無論m為何值,直線x-y+1=0與x-2my+3=0必相交.(　　)
×
√
×
2.[人教A版教材習題]求下列兩條直線的交點坐標,并畫出圖形.
(1)l1:2x+3y=12,l2:x-2y=4;
(2)l1:x=2,l2:3x+2y-12=0.
①
②
3.[人教B版教材習題]判斷下列各對直線是否相交,如果相交,求出交點坐標:
(1)l1:2x+y=7,l2:4x+2y=1;
(2)l1:x-3y+2=0,l2:y=3x+4.
解 (1)平行.
重難探究·能力素養速提升
探究點一　　兩條直線的交點問題
【例1】 分別判斷下列直線是否相交,若相交,求出它們的交點坐標.
(1)l1:2x-y-7=0和l2:3x+2y-7=0;
(2)l1:2x-6y+4=0和l2:4x-12y+8=0;
(3)l1:4x+2y+4=0和l2:y=-2x+3.
規律方法　求兩相交直線的交點坐標
(1)求兩相交直線的交點坐標,關鍵是解方程組.
(2)解二元一次方程組的常用方法有代入消元法和加減消元法.
變式訓練1經過兩點A(-2,5),B(1,-4)的直線l與x軸的交點的坐標是(　　)
A
解析 過點A(-2,5)和B(1,-4)的直線l的方程為3x+y+1=0,故直線l與x軸的交點的坐標為(- ,0).
探究點二　　求過兩條直線交點的直線方程
【例2】 求過兩直線2x-3y-3=0和x+y+2=0的交點且與直線3x+y-1=0平行的直線方程.
變式探究1求過兩直線2x-3y-3=0和x+y+2=0的交點且與直線3x+y-1=0垂直的直線方程.
變式探究2求過直線2x-3y-3=0和x+y+2=0的交點與原點的直線方程.
規律方法　求過兩直線交點的直線方程的方法
(1)方程組法:一般是先解方程組求出兩直線的交點坐標,再結合其他條件求出直線方程.
(2)直線系法:求解的步驟
變式訓練2直線l經過原點,且經過另兩條直線2x+3y+8=0,x-y-1=0的交點,則直線l的方程為(　　)
A.2x+y=0 B.2x-y=0
C.x+2y=0 D.x-2y=0
B
解析 由題意,設直線l的方程為2x+3y+8+λ(x-y-1)=0(λ∈R),即(2+λ)x+(3-λ)y +8-λ=0,因為直線l過原點,所以λ=8.則直線l的方程為2x-y=0.
探究點三　　根據交點求參數的值或取值范圍
【例3】 (1)若集合{(x,y)|x+y-2=0且x-2y+4=0} {(x,y)|y=3x+b},則b=　　　　.
2
(2)已知直線5x+4y=2a+1與直線2x+3y=a的交點位于第四象限,則a的取值范圍是　　　　　　.
規律方法　解決此類問題的關鍵是先利用方程思想,聯立兩方程,求出交點坐標;再由點在某個象限時坐標的符號特征,列出不等式組進而求得參數的取值范圍.
變式訓練3 (1)若直線l:y=kx- 與直線x+y-3=0相交,且交點在第一象限,則直線l的傾斜角θ的取值范圍是(　　)
C
(2)已知直線ax+2y-1=0與直線2x-5y+c=0垂直相交于點(1,m),則m=　　　　.
解析 兩直線垂直得2a-10=0,解得a=5.又點(1,m)在直線上,所以a+2m-1=0,所以m=-2.
-2
探究點四　 與兩條直線交點有關的證明問題
【例4】 已知A(1,4),B(-2,-1),C(4,1)是△ABC的三個頂點,求證:△ABC的三條高所在的直線交于一點.
規律方法　證明平面幾何中的三條直線交于一點的基本思路:先求其中兩條直線的交點坐標,然后證明這一點在第三條直線上.
變式訓練4已知m為實數,設直線l1的方程為2x+my=1,直線l2的方程為mx+8y=m-2.當l1與l2相交時,用m表示交點A的坐標,并證明點A一定在某一條定直線上.
學以致用·隨堂檢測促達標
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A 級 必備知識基礎練
1.[探究點一]方程(a-1)x-y+2a+1=0(a∈R)所表示的直線(　　)
A.恒過定點(-2,3) B.恒過定點(2,3)
C.恒過點(-2,3)和點(2,3) D.都是平行直線
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2.[探究點二]過直線x+y-3=0和2x-y+6=0的交點,且與直線2x+y-3=0垂直的直線方程是(　　)
A.4x+2y-9=0 B.4x-2y+9=0
C.x+2y-9=0 D.x-2y+9=0
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3. [探究點二]過兩直線l1:x-3y+4=0和l2:2x+y+5=0的交點和原點的直線方程為(　　)
A.3x-19y=0 B.19x-3y=0 C.19x+3y=0 D.3x+19y=0
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4. [探究點三]若兩條直線x-my+4=0和2mx+5y-4m=0的交點在第二象限,則m的取值范圍是(　　)
C
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5. [探究點三]若直線l1:x+by=1與直線l2:x-y=a的交點坐標為(0,2),則a=　　　　,b=　　　　.
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6.[探究點一]當0　　　　　象限.
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7. [探究點三]已知直線Ax+3y+C=0與直線2x-3y+4=0的交點在y軸上,則C的值為　　　　　.
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8.[探究點四]證明三條直線l1:ax+y+1=0,l2:x+ay+1=0,l3:x+y+a=0不能圍成三角形的充要條件是a=-1或a=1或a=-2.
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9.已知直線l過直線2x+y-5=0和直線x+2y-4=0的交點,且在兩坐標軸上的截距互為相反數,則直線l的方程為(　　)
A.x-y-1=0
B.x+y-3=0或x-2y=0
C.x-y-1=0或x-2y=0
D.x+y-3=0或x-y-1=0
C
B 級 關鍵能力提升練
因為直線l在兩坐標軸上的截距互為相反數,
①當直線l在兩坐標軸上的截距不為0時,可設直線l的方程為x-y=a,直線l過兩直線的交點,所以把(2,1)代入x-y=a,解得a=1,則直線l的方程為x-y=1,即x-y-1=0;
②當直線l在兩坐標軸上的截距都等于0時,設直線l的方程為y=kx(k≠0),直線l過兩直線的交點,所以把(2,1)代入y=kx,解得k= ,所以直線l的方程為
y= x,即x-2y=0.
綜合①②,直線l的方程為x-y-1=0或x-2y=0.
故選C.
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10.若三條直線x+3y+7=0,x-y-1=0,x+2ny+n=0能圍成一個三角形,則n的值可能是(　　)
B
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11.(多選題)已知三條直線y=2x,x+y=3,mx+ny+5=0交于一點,則坐標(m,n)可能是(　　)
A.(1,-3) B.(3,-4)
C.(-3,1) D.(-4,3)
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12.已知直線ax+y+a+2=0恒過一個定點,則過這一定點和原點的直線方程是　 .
2x-y=0
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13.已知直線l:x+y-2=0,一束光線從點P(0,1+ )以120°的傾斜角投射到直線l上,經l反射,則反射光線所在的直線方程為　　　　 　　　.
解析 如圖,設入射光線與l交于點Q,反射光線與x軸交于點P',
由入射光線傾斜角為120°可得入射光線所在直線的斜率為- ,
又入射光線過點P(0,1+ ),
過點Q作垂直于l的直線l',顯然直線l'的方程為y=x.
由反射原理知,點P(0,1+ )關于l'的對稱點P'(1+ ,0)
必在反射光線所在的直線上.
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14.已知兩直線l1:ax-2y=2a-4,l2:2x+a2y=2a2+4(0C 級 學科素養創新練
解 由題可知兩直線l1與l2都過點(2,2),如圖所示.
設兩直線l1,l2的交點為C(2,2),且兩直線的斜率分別為k1和k2,
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