資源簡介

(共52張PPT)
北師大版 數學 選擇性必修第一冊
課程標準 1.會用定義推導圓的標準方程,并掌握圓的標準方程的特征.
2.能根據所給條件求圓的標準方程.
3.掌握點與圓的位置關系并能解決相關問題.
基礎落實·必備知識一遍過
知識點1　圓的標準方程
定長
圓心
半徑
圓心
半徑
(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)
名師點睛
1.當圓心在原點即A(0,0),半徑長為r(r>0)時,方程為x2+y2=r2.
2.當圓心在原點即A(0,0),半徑長r=1時,方程為x2+y2=1,稱為單位圓.
3.相同的圓,建立的坐標系不同時,圓心坐標不同,導致圓的方程不同,但是半徑是不變的.
思考辨析
在初中平面幾何中,我們已經學習了圓的定義,那么確定圓的要素是什么 各要素對圓有什么影響
提示 確定圓的要素:圓心和半徑.圓心確定圓的位置,半徑確定圓的大小.
自主診斷
1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)
(1)方程(x-a)2+(y-b)2=r2一定表示圓.(　　)
(2)若要確定一個圓,只要給出半徑即可.(　　)
(3)圓(x+1)2+(y+2)2=10的圓心坐標是(1,2),半徑是10.(　　)
×
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2.[人教B版教材習題]分別寫出滿足下列條件的圓的標準方程:
(1)圓心為坐標原點,半徑為2;
(2)圓心為點(0,1),半徑為2;
(3)圓心為點(-2,1),半徑為 .
解 (1)x2+y2=4.
(2)x2+(y-1)2=4.
(3)(x+2)2+(y-1)2=3.
3.[人教B版教材習題]求出下列方程表示的圓的圓心坐標和半徑:
(1)x2+y2=5;
(2)(x-3)2+y2=4;
(3)x2+(y+1)2=2;
(4)(x+2)2+(y-1)2=3.
解 (1)圓心C(0,0),半徑r= .
(2)圓心C(3,0),半徑r=2.
(3)圓心C(0,-1),半徑r= .
(4)圓心C(-2,1),半徑r= .
知識點2　點與圓的位置關系
圓C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其圓心為C(a,b),半徑為r,點P(x0,y0),設
位置關系 d與r的大小 圖示 點P的坐標特點
點在圓外 d>r
(x0-a)2+(y0-b)2　　r2
點在圓上 d=r
(x0-a)2+(y0-b)2　　r2
點在圓內 d(x0-a)2+(y0-b)2　　r2
>
=
<
思考辨析
已知點P(x0,y0)和圓C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),試寫出點P在圓C上,在圓C內,在圓C外的充要條件.
提示 點P在圓C上 (x0-a)2+(y0-b)2=r2(r>0);
點P在圓C內 (x0-a)2+(y0-b)20);
點P在圓C外 (x0-a)2+(y0-b)2>r2(r>0).
自主診斷
1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)
(1)點(0,0)在圓(x-1)2+(y-2)2=1上.(　　)
(2)點(a,b)一定在圓(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)內部.(　　)
(3)點P(1,3)在以A(2,-1)為圓心,半徑為5的圓外.(　　)
×
√
×
2.若點P(-1, )在圓x2+y2=m2上,則實數m=　　　　.
±2
知識點3　圓x2+y2=r2(r>0)的幾何性質
1.范圍
圓上任意一點P(x,y)都滿足不等式　　　　,|y|≤r.　　　
2.對稱性
圓x2+y2=r2是關于　　　和　　　的軸對稱圖形,也是關于　　　　的中心對稱圖形.
　　　　　　　
對稱軸并非只有這兩條
|x|≤r
x軸
　y軸
原點
思考辨析
1.對于圓x2+y2=1,該圓上任意一點P(x,y)的坐標x與y應滿足的條件是什么


2.對于圓x2+y2=1上的任意一點P(x,y),關于原點的對稱點(-x,-y),關于x軸的對稱點(x,-y),關于y軸的對稱點(-x,y)是否在該圓上
提示 |x|≤1,|y|≤1.
提示 在該圓上.
自主診斷
1.若直線x+y-3=0始終平分圓(x-a)2+(y-b)2=2的周長,則a+b等于(　　)　　　　　　　　　　　　　
A.3 B.2
C.5 D.1
A
解析 由題意可知,圓心(a,b)在直線x+y-3=0上,∴a+b-3=0,即a+b=3.
2.[人教B版教材習題]已知A(x1,y1),B(x2,y2)是圓的一條直徑的兩個端點,證明圓的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.
解 設P(x,y)為圓上一動點,則|PA|2=(x-x1)2+(y-y1)2,|PB|2=(x-x2)2+(y-y2)2, |AB|2=(x2-x1)2+(y2-y1)2.因為|PA|2+|PB|2=|AB|2,所以代入,化簡得
(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.
重難探究·能力素養速提升
探究點一　　求圓的標準方程
【例1】 (1)求圓心是(4,0),且過點(2,2)的圓的標準方程;
解 r2=(2-4)2+(2-0)2=8,
∴圓的標準方程為(x-4)2+y2=8.
(2)求圓心在直線x-2y-3=0上,且過點A(2,-3),B(-2,-5)的圓的標準方程.
解 (方法一)設點C為圓心,
∵點C在直線x-2y-3=0上,∴可設點C的坐標為(2a+3,a).
又該圓經過A,B兩點,∴|CA|=|CB|.
解得a=-2.
∴圓心坐標為C(-1,-2),半徑r= .
故所求圓的標準方程為(x+1)2+(y+2)2=10.
(方法二)設所求圓的標準方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,圓心坐標為(a,b),
故所求圓的標準方程為(x+1)2+(y+2)2=10.
規律方法　圓的標準方程的兩種求法
(1)幾何法
它是利用圖形的幾何性質,如圓的性質等,直接求出圓的圓心和半徑,代入圓的標準方程,從而得到圓的標準方程.
(2)待定系數法
由三個獨立條件得到三個方程,通過解方程組來得到圓的標準方程中的三個參數,從而確定圓的標準方程.它是求圓的方程最常用的方法,一般步驟:
變式訓練1(1)求圓心在y軸上,半徑為5,且過點(3,-4)的圓的標準方程.
解 設圓心為C(0,b),則(3-0)2+(-4-b)2=52,解得b=0或b=-8,∴圓心為(0,0)或(0,-8).
又r=5,∴圓的標準方程為x2+y2=25或x2+(y+8)2=25.
(2)已知圓過點A(1,-2),B(-1,4),求:
①周長最小的圓的方程;
②圓心在直線2x-y-4=0上的圓的方程.
(方法二)待定系數法.
設圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,
∴圓的方程為(x-3)2+(y-2)2=20.
探究點二　　點與圓的位置關系
【例2】 點P(m,5)與圓x2+y2=24的位置關系是(　　)
A.點P在圓內 B.點P在圓外
C.點P在圓上 D.不確定
B
解析 由m2+52=m2+25>24,得點P在圓外.
變式探究1將本例條件改為“點P(m,5)在圓(x-1)2+y2=26上”,則m的值為　　　　.
0或2
解析 由題意知(m-1)2+52=26,則(m-1)2=1,即m-1=±1,所以m=0或m=2.
變式探究2將本例條件改為“點P(m,5)在圓(x-1)2+y2=26內部”,則m的取值范圍是　　　　　　.
(0,2)
解析 由題意知(m-1)2+52<26,
即(m-1)2<1,解得0規律方法　1.判斷點與圓的位置關系的方法
(1)只需計算該點與圓心之間的距離,與半徑作比較即可.
(2)把點的坐標代入圓的標準方程左邊,判斷式子兩邊的大小,并作出判斷.
2.靈活運用
若已知點與圓的位置關系,也可利用以上兩種方法列出不等式或方程,求解參數的取值范圍或值.
變式訓練2已知a,b是方程x2-x- =0的兩個不相等的實數根,則點P(a,b)與圓C:x2+y2=8的位置關系是(　　)
A.點P在圓C內 B.點P在圓C外
C.點P在圓C上 D.無法確定
A
學以致用·隨堂檢測促達標
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A 級 必備知識基礎練
1.[探究點一]圓心是C(-3,4),半徑長為5的圓的標準方程為(　　)
A.(x-3)2+(y+4)2=5
B.(x-3)2+(y+4)2=25
C.(x+3)2+(y-4)2=5
D.(x+3)2+(y-4)2=25
D
解析 將C(-3,4),r=5代入圓的標準方程可得.
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2.[探究點一·2024四川瀘州期末]已知O為坐標原點,A(2,2),則以OA為直徑的圓的標準方程為(　　)
A.(x+1)2+(y+1)2=2
B.(x-1)2+(y-1)2=2
C.(x-1)2+(y-1)2=8
D.(x+1)2+(y+1)2=8
B
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3.[探究點一]已知直線l過圓x2+(y-3)2=4的圓心,且與直線x+y+1=0垂直,則直線l的方程是(　　)
A.x+y-2=0 B.x-y+2=0
C.x+y-3=0 D.x-y+3=0
D
解析 圓x2+(y-3)2=4的圓心為點(0,3),又直線l與直線x+y+1=0垂直,所以直線l的斜率k=1.由直線方程的點斜式,得直線l的方程為y-3=x-0,化簡得 x-y+3=0.
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4.[探究點二]點(5a+1,12a)在圓(x-1)2+y2=1的內部,則實數a的取值范圍
是(　　)
D
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5.[探究點一]與圓(x-2)2+(y+3)2=16有公共圓心,且過點P(-1,1)的圓的標準方程是　　　 　.
(x-2)2+(y+3)2=25
解析 由題意得所求圓的圓心為(2,-3),設所求圓的半徑為r,則r2=(-1-2)2 +(1+3)2=25,所以所求圓的標準方程為(x-2)2+(y+3)2=25.
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6.[探究點二]若點P(-1, )在圓x2+y2=m2上,則實數m=　　　　　.
±2
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7.[探究點一]已知圓心在第二象限,半徑為2的圓C與兩坐標軸都相切,則圓C的標準方程為　　　　　　　　　;與圓C關于直線x-y+2=0對稱的圓的標準方程為　　　　　　　　　.
(x+2)2+(y-2)2=4　
x2+y2=4
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8.[探究點一]求圓心在直線l:x-2y-3=0上,且過點A(2,-3),B(-2,-5)的圓的標準方程.
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9.當a為任意實數時,直線(a-1)x-y+a+1=0恒過定點C,則以C為圓心, 為半徑的圓的方程為(　　)
A.(x-1)2+(y+2)2=5
B.(x+1)2+(y+2)2=5
C.(x+1)2+(y-2)2=5
D.(x-1)2+(y-2)2=5
B 級 關鍵能力提升練
C
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10.已知半徑為1的圓經過點(3,4),則其圓心到原點的距離的最小值為(　　)
A.4 B.5 C.6 D.7
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11.(多選題)已知圓C:(x-a)2+y2=4(a為常數,a∈R)不經過第二象限,則實數a可取的值為(　　)
A.-2 B.0 C.2 D.4
CD
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12. 圓x2+(y+1)2=4關于直線x-y-2=0的對稱圓的標準方程為　　　　　　　　　　.
(x-1)2+(y+2)2=4
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13.圓(x-1)2+(y-1)2=1上的點到直線x-y=2的距離的最大值是　　　　　.
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14.已知圓C經過A(6,1),B(3,-2)兩點,且圓心C在直線x+2y-3=0上.
(1)求經過點A,并且在兩坐標軸上的截距相等的直線的方程;
(2)求圓C的標準方程.
解 (1)當直線過原點時,直線的方程為x-6y=0;
當直線不過原點時,設直線的方程為x+y=a,
將點A(6,1)代入解得a=7,即直線的方程為x+y-7=0,
所以所求直線的方程為x-6y=0或x+y-7=0.
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C 級 學科素養創新練
15.等腰三角形ABC底邊上的高等于4,底邊兩端點的坐標分別是B(-3,0)和C(3,0),求它的外接圓的方程.
圖①
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