資源簡介

(共56張PPT)
北師大版 數學 選擇性必修第一冊
課程標準 1.能根據給定直線、圓的方程,判斷直線與圓的位置關系.
2.能用直線和圓的方程解決一些簡單的數學問題與實際問題.
基礎落實·必備知識一遍過
知識點1　直線與圓的三種位置關系
位置關系 交點個數
相交 有　　　　公共點
相切 只有　　　　公共點
相離 　　　　公共點
兩個
一個
沒有
思考辨析
利用幾何法、代數法都可以判斷直線與圓的位置關系,哪種方法簡單
提示 一般幾何法較為簡單.
自主診斷
1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)
(1)若直線與圓有公共點,則直線與圓相交.(　　)
(2)過半徑外端的直線與圓相切.(　　)
(3)直線l:x=0與圓x2+y2=1的位置關系是相交且過圓心.(　　)
(4)若直線x-y+a=0與圓x2+y2=a(a>0)相切,則a等于4.(　　)
×
×
√
×
2.[2024江蘇南通期末]已知圓(x-2)2+(y+3)2=r2與y軸相切,則r=(　　)
C
解析 由圓(x-2)2+(y+3)2=r2的方程可得圓心的坐標(2,-3),再由圓與y軸相切,可得半徑r=2,故選C.
3.[人教B版教材習題]已知直線2x+y-5=0和圓(x-1)2+(y+2)2=6.
(1)求圓心到直線的距離d;
(2)判斷直線與圓的位置關系.
知識點2　直線l:Ax+By+C=0(A,B不全為0)與圓(x-a)2+(y-b)2=r2位置關系的判斷
幾何法為常用方法
位置關系 相交 相切 相離
公共點 　　個 　　個 　　個
判定
方法
幾何法:設圓心到直線的距離
d　 r d　 r d　 r
代數法:由 消元得到
一元二次方程的判別式Δ Δ　 0 Δ　 0 Δ　 0
兩
一
零
<
=
>
>
=
<
思考辨析
如何利用直線和圓的方程判斷它們之間的位置關系
提示 轉化為它們的方程組成的方程組有無實數解、有幾個實數解來判斷直線與圓的位置關系,相比幾何法用方程組研究位置關系計算量較大,但用代數的方法可以更精確地處理各種數據的關系.
自主診斷
1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)
(1)如果直線與圓的方程組成的方程組有解,則直線和圓相交.(　　)
(2)若圓心到直線的距離大于半徑,則直線與圓的方程聯立消元后得到的一元二次方程無解.(　　)
×
√
2.[人教B版教材習題]判斷下列直線與圓的位置關系:
(1)直線4x-3y+6=0與圓x2+y2-8x+2y-8=0;
(2)直線2x-y+5=0與圓x2+y2-4x+3=0.
重難探究·能力素養速提升
探究點一　　判斷直線與圓的位置關系
【例1】 當a為何值時,直線4x-3y+a=0與圓x2+y2=100分別有如下關系:(1)相交;(2)相切;(3)相離
消去y,整理得25x2+8ax+a2-900=0.
Δ=(8a)2-4×25(a2-900)=-36a2+90 000.
(1)當直線和圓相交時,Δ>0,
即-36a2+90 000>0,得-50(2)當直線和圓相切時,Δ=0,即a=50或a=-50;
(3)當直線和圓相離時,Δ<0,即a<-50或a>50.
規律方法　直線與圓的位置關系的判斷方法
方法一 幾何法 由圓心到直線的距離d與圓的半徑r的大小關系判斷
方法二 代數法 根據直線方程與圓的方程組成的方程組解的個數來判斷
方法三 直線系法 若直線恒過定點,可通過判斷定點與圓的位置關系來判斷直線與圓的位置關系.但有一定的局限性,必須是過定點的直線系
變式訓練1已知直線l:x-2y+5=0與圓C:(x-7)2+(y-1)2=36,判斷直線l與圓C的位置關系.
解 (方法一:代數法)
得5x2-50x+61=0.
∵Δ=(-50)2-4×5×61=1 280>0,
∴該方程組有兩組不同的實數解,即直線l與圓C相交.
(方法二:幾何法)
∵d探究點二　　直線與圓相切
【例2】 (1)已知直線x+y=0與圓(x-1)2+(y-b)2=2相切,則b=(　　)　　　　　　　　　　　　　
A.-3 B.1
C. D.-3或1
D
★(2)過點A(4,-3)作圓(x-3)2+(y-1)2=1的切線,求此切線的方程及其切線長.
解 因為(4-3)2+(-3-1)2=17>1,所以點A在圓外.
若所求直線的斜率存在,設切線的斜率為k,
則切線方程為y+3=k(x-4),即kx-y-4k-3=0.
設圓心為C,因為圓心C(3,1)到切線的距離等于半徑1,
若所求直線的斜率不存在,圓心C(3,1)到直線x=4的距離為1,這時直線x=4與圓相切,所以另一條切線方程為x=4.
綜上,所求切線方程為15x+8y-36=0或x=4.
因為圓心C的坐標為(3,1),
設切點為B,則△ABC為直角三角形,
規律方法　求過某一點的圓的切線方程,首先判斷點與圓的位置關系,以確定切線的數目.
(1)求過圓上一點P(x0,y0)的圓的切線方程:如果斜率存在且不為0,先求切點與圓心連線的斜率k,則由垂直關系知切線的斜率為 ,由由點斜式方程可求得切線方程.如果k=0或斜率不存在,則由圖形可直接得切線方程為y=y0或x=x0.
(2)求圓外一點P(x0,y0)的圓的切線時,常用幾何方法求解:
設切線方程為y-y0=k(x-x0),即kx-y-kx0+y0=0,由圓心到直線的距離等于半徑,可求得k,進而求出切線方程.但要注意,若求出的k值只有一個時,則另一條切線的斜率一定不存在,可由數形結合求出.
變式訓練2(1) 由直線y=x+1上任一點向圓(x-3)2+y2=1引切線,則該切線長的最小值為(　　)
C
(2)過點P(2,3)且與圓(x-1)2+(y-2)2=1相切的直線的方程為　　　　　　.
x=2或y=3
解析 ∵由題知,點P(2,3)在圓(x-1)2+(y-2)2=1外,
∴過點P(2,3)與圓(x-1)2+(y-2)2=1相切的直線有兩條.
當斜率存在時,設切線的斜率為k,
則切線方程為y-3=k(x-2),即kx-y+3-2k=0,
∴切線方程為y=3.
當斜率不存在時,切線方程為x=2.
綜上,切線方程為x=2,或y=3.
探究點三　　直線與圓相交
【例3—1】 過圓x2+y2=8內的點P(-1,2)作直線l交圓于A,B兩點.若直線l的傾斜角為135°,則弦AB的長為　　　　.
【例3-2】 已知圓的方程為x2+y2=8,圓內有一點P(-1,2),AB為過點P且傾斜角為α的弦.
(1)當α=135°時,求AB的長;
(2)當弦AB被點P平分時,求直線AB的方程.
(方法二:代數法)
當α=135°時,直線AB的方程為y-2=-(x+1),即y=-x+1,代入x2+y2=8,
得2x2-2x-7=0.
規律方法　直線與圓相交時弦長的兩種求法
(1)幾何法:如圖1,直線l與圓C交于A,B兩點,設弦心距為d,圓的半徑為r,
變式訓練3圓心為C(2,-1),截直線y=x-1的弦長為2 的圓的方程為　　　　 　　　.
(x-2)2+(y+1)2=4
★變式訓練4[人教B版教材習題]已知直線x-y+1=0與圓C:
x2+y2-4x-2y+m=0交于A,B兩點.
(1)求線段AB的垂直平分線的方程;
(2)若|AB|=2 ,求m的值.
解 (1)由題意,線段AB的垂直平分線經過圓的圓心(2,1),斜率為-1,
∴線段AB的垂直平分線的方程為y-1=-(x-2),即x+y-3=0.
學以致用·隨堂檢測促達標
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A 級 必備知識基礎練
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1.[探究點一]已知點M(a,b)在圓O:x2+y2=1外,則直線ax+by=1與圓O的位置關系是(　　)
A.相切 B.相交
C.相離 D.不確定
B
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2.[探究點三]直線l與圓x2+y2+2x-4y+a=0(a<5)相交于A,B兩點,若弦AB的中點為C(-2,3),則直線l的方程為(　　)
A.x-y+5=0 B.x+y-1=0
C.x-y-5=0 D.x+y-3=0
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3.[探究點三](多選題)若直線x-y=2被圓(x-a)2+y2=4所截得的弦長為2 ,則實數a的值為(　　)
A.0 B.4 C.-2 D.
AB
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4.[探究點二](多選題)平行于直線2x+y+1=0且與圓x2+y2=5相切的直線的方程可以是(　　)
A.2x+y+ =0 B.2x+y- =0
C.2x+y+5=0 D.2x+y-5=0
CD
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5.[探究點三]圓x2+y2-4x+6y-12=0過點(-1,0)的最大弦長為　　　　 ,最小弦長為　　　　 .
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解析 圓的方程x2+y2-4x+6y-12=0化為標準方程為(x-2)2+(y+3)2=25,所以圓心為(2,-3),半徑r為5.因為(-1-2)2+(0+3)2=18<25,所以點(-1,0)在已知圓的內部,則最大弦長即為圓的直徑的長,為10.當(-1,0)為弦的中點時,弦長最小,
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6.[探究點二]若直線y=kx與圓x2+y2-6x+8=0相切,且切點在第四象限,則k=　　　　　.
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7.[探究點二]過原點O作圓x2+y2-6x-8y+20=0的兩條切線,設切點分別為P,Q,則線段PQ的長為　　　　　.
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8.[探究點一、二]已知曲線C:x2+y2+2x+4y+m=0.
(1)當m為何值時,曲線C表示圓
(2)若直線l:y=x-m與圓C相切,求m的值.
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解 (1)由圓C:x2+y2+2x+4y+m=0,得(x+1)2+(y+2)2=5-m,
由5-m>0時,得m<5,∴當m<5時,曲線C表示圓.
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B 級 關鍵能力提升練
9.在圓x2+y2+2x+4y-3=0上且到直線x+y+1=0的距離為 的點共有(　　)
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
C
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A.k=± B.k=±2
C.k<-2或k>2 D.k<-3或k>3
AC
解析 由題意知,直線y=kx+2與半圓x2+y2=1(y≥0)只有一個交點,結合圖形(圖略)易得k<-2或k>2或k=± .故選AC.
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11.(多選題)已知點A是直線l:x+y- =0上一定點,點P,Q是圓x2+y2=1上的動點,若∠PAQ的最大值為90°,則點A的坐標可以是(　　)
AC
由圖可知,當AP,AQ均為圓x2+y2=1的切線時,∠PAQ最大.
連接OP,OQ,由于∠PAQ最大為90°,且∠APO=∠AQO=90°,|OP|=|OQ|=1,
解析 如圖所示,圓心到直線l的距離為 ,則直線l與圓x2+y2=1相切.
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12. 經過A(2,0),B(0,2),C(2,4)三點的圓與直線kx-y+2-4k=0的位置關系為(　)
A.相交 B.相切
C.相交或相切 D.無法確定
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13.(多選題)在平面直角坐標系Oxy中,圓C的方程為x2+y2-4x=0.若直線y=k(x+1)上存在一點P,使過點P所作的圓的兩條切線相互垂直,則實數k的取值可以是(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
AB
解析 圓的方程x2+y2-4x=0可化為(x-2)2+y2=4.因為過點P所作的圓的兩條切線相互垂直,所以點P,圓心C,圓的兩切點是構成一個正方形的四個頂點,所以PC=2 .因為點P在直線y=k(x+1)上,所以圓心到直線的距離
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14.已知直線l:mx+(1-m)y-1=0(m∈R)與圓O:x2+y2=8交于A,B兩點,C,D分別為OA,AB的中點,則|AB|·|CD|的最小值為　　　　.
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15.如圖,某市有相交于點O的一條東西走向的公路l,與南北走向的公路m,這兩條公路都與一塊半徑為1(單位:千米)的圓形商城A相切.根據市民建議,欲再新建一條公路PQ,點P,Q分別在公路l,m上,且要求PQ與圓形商城A也
相切.
(1)當P距O處4千米時,求OQ的長;
(2)當公路PQ長最短時,求OQ的長.
C 級 學科素養創新練
解 (1)以O為原點,直線l,m分別為x,y軸建立平面直角坐標系.設點Q坐標為(0,b),設PQ與圓A相切于點B,連接AB(圖略),以1千米為單位長度,則圓A的方程為(x-1)2+(y-1)2=1,由題意可設直線PQ的方程為 =1(b>2),即
bx+4y-4b=0,
∵PQ與圓A相切,∴ =1,解得b=3,故當P距O處4千米時,OQ的長為3千米.
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