資源簡介

(共67張PPT)
北師大版 數學 選擇性必修第一冊
課程標準 1.掌握圓與圓的位置關系及判定方法.
2.能根據圓的方程判斷圓與圓的位置關系.
3.能綜合應用圓與圓的位置關系解決問題.
基礎落實·必備知識一遍過
知識點　圓與圓的位置關系及判定
1.圓與圓的位置關系
圓與圓的位置關系有五種,分別為　　　　、　　　　、　　　　、
　　　　、　　　　.
外離
外切
相交
內切
內含
2.圓與圓位置關系的判定
(1)幾何法:若兩圓的半徑分別為r1,r2,兩圓的圓心距為d,則兩圓的位置關系的判斷方法如下:
d>r1+r2
d=r1+r2
r1+r2
d=|r1-r2|
d<|r1-r2|　
(2)代數法:　 代數法不能區分內切與外切,內含與外離
消去y(或x)得到關于x(或y)的一元二次方程,
則①判別式Δ>0時,C1與C2相交;
②判別式Δ=0時,C1與C2　　 　　　;
③判別式Δ<0時,C1與C2　　　 　　.
外切或內切　
外離或內含
思考辨析
1.當兩圓外離、外切、相交、內切、內含時,公切線的條數分別是多少
2.當兩圓相交、外切、內切時,連心線有什么性質
3.如果兩圓相交,如何得到這兩圓的公共弦所在的直線方程
提示 公切線的條數分別是4,3,2,1,0.
提示 當兩圓相交時,連心線垂直平分公共弦;當兩圓外切時,連心線垂直于過兩圓公共點的公切線;當兩圓內切時,連心線垂直于兩圓的公切線.
提示 當兩圓相交時,把兩圓的一般方程作差消去x2和y2就得到兩圓的公共弦所在的直線方程.
自主診斷
1.[2024江蘇淮安期末]若圓C1:x2+y2=4與圓C2:(x-3)2+(y+m)2=25外切,則實數m=　　　　　.
解析 根據題意,圓C1:x2+y2=4,圓心為C1(0,0),半徑為R=2,圓C2:
(x-3)2+ (y+m)2=25,圓心為C2(3,-m),半徑r=5,若圓C1:x2+y2=4與圓C2:
x2+y2-6x-8y+m=0外切,則有|C1C2|=
2.[人教B版教材習題]分別指出下列兩圓的位置關系(外離、外切、相交、內切、內含):
(1)x2+y2-4x-6y+9=0和x2+y2+12x+6y-19=0;
(2)x2+y2+2x-2y-2=0和x2+y2-4x-6y-3=0.
重難探究·能力素養速提升
探究點一　兩圓的位置關系
角度1.兩圓位置關系的判斷
【例1】 (1)已知圓M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直線x+y=0所得線段的長度是
2 ,則圓M與圓N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置關系是(　　)
A.內切 B.相交
C.外切 D.外離
B
(2)已知圓C1:x2+y2-2x+4y+4=0和圓C2:4x2+4y2-16x+8y+19=0,則這兩個圓的公切線的條數為(　　)
A.1或3 B.4 C.0 D.2
D
角度2.已知兩圓位置關系求參數
【例2】 當a分別為何值時,圓C1:x2+y2-2ax+4y+a2-5=0和圓C2:
x2+y2+2x-2ay+a2-3=0:
(1)外切;(2)相交;(3)外離
解 將兩圓方程化為標準方程,則圓C1:(x-a)2+(y+2)2=9,圓C2:
(x+1)2+(y-a)2=4.
∴兩圓的圓心和半徑分別為C1(a,-2),r1=3,C2(-1,a),r2=2.
設兩圓的圓心距為d,則d2=(a+1)2+(-2-a)2=2a2+6a+5.
(1)當d=5,即2a2+6a+5=25時,兩圓外切,此時a=-5或a=2;
(2)當1(3)當d>5,即2a2+6a+5>25時,兩圓外離,此時a>2或a<-5.
規律方法　1.判斷兩圓的位置關系或利用兩圓的位置關系求參數的取值范圍有以下幾個步驟:
(1)將圓的方程化成標準方程,寫出圓心和兩圓的半徑r1,r2.
(2)計算兩圓圓心的距離d.
(3)通過d,r1+r2,|r1-r2|的關系來判斷兩圓的位置關系或求參數的取值范圍,必要時可數形結合.
2.應用幾何法判定兩圓的位置關系或求參數的取值范圍是非常簡單清晰的,要理清圓心距與兩圓半徑的關系.
變式訓練1(1)圓(x-4)2+y2=9和圓x2+(y-3)2=4的公切線條數是(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
C
★(2)[2024福建福州期末]已知圓C1:x2+y2-2mx+4y+m2-5=0和圓C2: x2+y2+4x=0.
①當m=2時,判斷圓C1和圓C2的位置關系.
②是否存在實數m,使得圓C1和圓C2內含 若存在,求出實數m的取值范圍;若不存在,請說明理由.
探究點二　　兩圓相交問題
【例3】 (1)圓C1:x2+y2=1與圓C2:x2+y2-2x-2y+1=0的公共弦所在的直線l被圓C3:(x-1)2+(y-1)2= 所截得的弦長為　　　　.
★(2)已知圓C1:x2+y2+6x-4=0和圓C2:x2+y2+6y-28=0.
①求兩圓公共弦所在直線的方程及弦長;
②求經過兩圓交點且圓心在直線x-y-4=0上的圓的方程.
規律方法　1.求兩圓的公共弦所在直線的方程的方法是將兩圓方程相減即得兩圓公共弦所在直線方程,但必須注意只有當兩圓方程中二次項系數相同時,才能如此求解,否則應先調整系數.
2.求兩圓公共弦長的方法,一是聯立兩圓方程求出交點坐標,再用兩點間的距離公式求解;二是先求出兩圓公共弦所在的直線方程,再利用半徑長、弦心距和弦長的一半構成的直角三角形求解.
變式訓練2(1)圓心在直線x-y-4=0上,且經過圓x2+y2-4x-6=0與圓
x2+y2-4y-6=0的交點的圓的方程為
　　　　 　　　　　　.
(x-3)2+(y+1)2=16(或x2+y2-6x+2y-6=0)
(2)[人教B版教材習題]已知圓C1:x2+y2=2與圓C2:(x-2)2+y2=8相交于A,B兩點,求線段AB的中點的坐標.
解 因為圓C1的圓心為C1(0,0),圓C2的圓心為C2(2,0),所以AB的中點在C1C2,即x軸上.
探究點三　　兩圓相切問題
【例4】 求與圓x2+y2-2x=0外切且與直線x+ =0相切于點M(3,- )的圓的方程.
變式探究1將本例變為“求與圓x2+y2-2x=0外切,圓心在x軸上,且過點(3,- )的圓的方程”,如何求
解 因為圓心在x軸上,
所以可設圓心坐標為(a,0),半徑為r,
則所求圓的方程為(x-a)2+y2=r2,
又因為與圓x2+y2-2x=0外切,且過點(3,- ),
變式探究2將本例改為“若圓x2+y2-2x=0與圓x2+y2-8x-8y+m=0外切”,求實數m的值.
規律方法　處理兩圓相切問題的2個步驟
變式訓練3已知圓x2+y2=1與圓(x+4)2+(y-a)2=25相切,求實數a的值.
探究點四　圓系方程及其應用
【例5】 求圓心在直線x-y-4=0上,且過兩圓x2+y2-4x-6=0和x2+y2-4y-6=0的交點的圓的方程.
解(方法一)設經過兩圓交點的圓系方程為x2+y2-4x-6+λ(x2+y2-4y-6)=0(λ≠-1),
規律方法　1.經過兩圓的兩個交點的圓的方程可設為(x2+y2+D1x+E1y+F1)+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1),然后用待定系數法求出λ即可.
2.對于此類問題首先要理解運算對象,然后選擇好運算方法,設計好運算程序,最后求得運算結果.
變式訓練4求過直線x+y+4=0與圓x2+y2+4x-2y-4=0的交點且與直線y=x相切的圓的方程.
學以致用·隨堂檢測促達標
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A 級 必備知識基礎練
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1.[探究點一(角度1)]圓C1:x2+y2=9和C2:x2+y2-8x+6y+9=0的位置關系是(　)
A.外離 B.相交
C.內切 D.外切
B
解析 圓C1:x2+y2=9的圓心為C1(0,0),半徑r1=3;圓C2:x2+y2-8x+6y+9=0化為(x-4)2+(y+3)2=16,圓心為C2(4,-3),半徑r2=4,圓心距
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2.[探究點二]過兩圓x2+y2+6x+4y=0及x2+y2+4x+2y-4=0的交點的直線的方程是(　　)
A.x+y+2=0
B.x+y-2=0
C.5x+3y-2=0
D.不存在
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3.[探究點三](多選題)半徑為6的圓與x軸相切,且與圓x2+(y-3)2=1內切,則此圓的方程可以是(　　)
A.(x-4)2+(y-6)2=6 B.(x+4)2+(y-6)2=6
C.(x-4)2+(y-6)2=36 D.(x+4)2+(y-6)2=36
CD
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4. [探究點三]若圓C1與圓C2都和兩坐標軸相切,且都過點(4,1),則兩圓心的距離|C1C2|等于(　　)
C
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解析 ∵兩圓都與兩坐標軸相切,且都經過點(4,1),∴兩圓圓心均在第一象限且每個圓心的橫、縱坐標都相等.設兩圓的圓心坐標分別為(a,a),(b,b),則有(4-a)2+(1-a)2=a2,(4-b)2+(1-b)2=b2,
即a,b為方程(4-x)2+(1-x)2=x2的兩個根,方程整理得x2-10x+17=0, ∴a+b=10,ab=17.
∴(a-b)2=(a+b)2-4ab=100-4×17=32,
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5. [探究點二]已知兩圓相交于兩點A(a,3),B(-1,1),若兩圓圓心都在直線x+y+b=0上,則a+b的值是　　　.
-1
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6. [探究點三]半徑長為6的圓與y軸相切,且與圓(x-3)2+y2=1內切,則此圓的方程為　　　　　　　　.
(x-6)2+(y±4)2=36
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7. [探究點三]已知圓C1:x2+y2=4,圓C2:(x-2)2+y2=4,則兩圓公共弦所在直線方程為　　　　,公共弦的長度為　　　　.
x=1
解析 由圓C1:x2+y2-4=0,圓C2:x2+y2-4x=0, 兩個方程作差,可得x=1.即兩圓公共弦所在直線方程為x=1.將x=1代入x2+y2=4,可解得y=± ,則公共弦的長度為|y1-y2|=2 .
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8.[探究點一(角度2)]若圓x2+y2-2ax+a2=2和x2+y2-2by+b2=1外離,則a,b滿足的條件是　　　　　　　　　　.
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9.[探究點二]若圓O1:x2+y2=5與圓O2:(x-m)2+y2=20(m∈R)相交于A,B兩點,且兩圓在點A處的切線互相垂直,則線段AB的長度是　　　　　.
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10.[探究點四·2024西藏林芝期末]已知圓x2+y2+x-6y+3=0與直線x+2y-3=0的兩個交點為P,Q,求以PQ為直徑的圓的方程.
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11.[探究點二]已知圓O1:x2+(y+1)2=4,圓O2的圓心O2(2,1).若圓O2與圓O1交于A,B兩點,且|AB|=2 ,求圓O2的方程.
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12.已知點M在圓C1:(x+3)2+(y-1)2=4上,點N在圓C2:(x-1)2+(y+2)2=4上,則|MN|的最大值是(　　)
A.5 B.7 C.9 D.11
C
解析 由題意知圓C1的圓心C1(-3,1),半徑長r1=2;圓C2的圓心C2(1,-2),半徑長r2=2.
因為兩圓的圓心距 =5>r1+r2=4,所以兩圓相離,從而|MN|的最大值為d+r1+r2=5+2+2=9.故選C.
B 級 關鍵能力提升練
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13.過點M(2,-2)以及圓x2+y2-5x=0與圓x2+y2=2交點的圓的方程是(　　)
A
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14.與圓C1:(x+2)2+y2=1,C2:(x-2)2+y2=1都相切,且半徑為3的圓的數量為
(　　)
A.9 B.7
C.5 D.3
B
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15.圓C1:x2+y2+2ax+2ay+2a2-1=0與圓C2:x2+y2+2bx+2by+2b2-2=0的公共弦長的最大值是(　　)
D
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16.(多選題)已知圓C1:x2+y2=r2,圓C2:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)交于不同的兩點A(x1,y1),B(x2,y2),下列結論正確的有(　　)
A.a(x1-x2)+b(y1-y2)=0 B.2ax1+2by1=a2+b2
C.x1+x2=a D.y1+y2=2b
ABC
解析 由題意,由圓C2的方程可化為x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0,兩圓的方程相減可得直線AB的方程為2ax+2by-a2-b2=0,即2ax+2by=a2+b2,分別把A(x1,y1),B(x2,y2)兩點代入可得2ax1+2by1=a2+b2,2ax2+2by2=a2+b2,兩式相減可得2a(x1-x2)+2b(y1-y2)=0,即a(x1-x2)+b(y1-y2)=0,所以選項AB正確;由圓的性質可知,線段AB與線段C1C2互相平分,所以x1+x2=a,y1+y2=b,所以選項C正確,選項D不正確.故選ABC.
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17. 已知圓C1:x2+y2=4與圓C2:(x-1)2+(y-1)2 =10相交于A,B兩點,則|AB|=　　　　.
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18.已知圓C1:x2+y2=1和圓C2:(x-4)2+(y-3)2=r2(r>0)外切,則r的值為　　　,若點A(x0,y0)在圓C1上,則 的最大值為　　　　.
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19.已知兩圓x2+y2-2x-6y-1=0和x2+y2-10x-12y+m=0.
(1)m取何值時兩圓外切
(2)m取何值時兩圓內切
(3)求m=45時兩圓的公共弦所在直線的方程和公共弦的長.
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(3)兩圓的公共弦所在直線方程為(x2+y2-2x-6y-1)-(x2+y2-10x-12y+45)=0,即4x+3y-23=0.
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20.已知關于x,y的方程C:x2+y2-2x-4y+m=0.
(1)若方程C表示圓,求實數m的取值范圍;
(2)若圓C與圓x2+y2-8x-12y+36=0外切,求實數m的值;
(3)若圓C與直線l:x+2y-4=0相交于M,N兩點,且|MN|= ,求實數m的值.
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解 (1)把方程C:x2+y2-2x-4y+m=0,配方得(x-1)2+(y-2)2=5-m,若方程C表示圓,則5-m>0,解得m<5,所以m的取值范圍為(-∞,5).
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