資源簡介

(共35張PPT)
人教版（2024）
八年級上冊
13.3.1 三角形的內角
第十三章·三角形
三角形的內角
知識目標
1.理解并準確闡述“三角形內角和定理”。
2.掌握直角三角形的特殊性質：兩個銳角互余。
3.能運用代數表達式表示三角形內角的關系，解決未知角的度數問題。
能力目標
1.靈活運用三角形內角和定理及直角三角形的性質，正確計算未知角的度數，解決實際問題。
2.設計實驗方案，如撕角拼合法、用量角器驗證，自主完成對定理的實踐驗證，培養科學探究思維。
素質目標
1.滲透數學嚴謹性與美學價值，激發學生探索幾何規律的興趣；通過小組合作實踐，增強團隊協作意識與表達溝通能力。
2.培養質疑精神與創新意識，鼓勵嘗試多種方法驗證結論
教學難點
教學重點
三角形內角和定理的理解、推導
會運用三角形內角和定理進行計算
情景導入
1
合作探究
2
抽象概括
3
示范講解
4
課堂練習
5
課堂小結
6
情景導入
合作探究
抽象概念
示范講解
課堂練習
課堂小結
情景激趣
生活中我們常常能看見這樣的照片，他們中都有我們熟悉的圖形——三角形。學習今天的內容，大家對三角形會有新的認識，下面讓我們進入到今天的學習之旅吧！
情景導入
合作探究
抽象概念
示范講解
課堂練習
課堂小結
情景激趣
回顧：三角形按角分類
當三角形的最大角分別是鈍角、直角、銳角時,對應的三角形分別為鈍角三角形、直角三角形、銳角三角形.
鈍角三角形直角三角形銳角三角形.
鈍角三角形
銳角三角形
直角三角形
情景導入
合作探究
抽象概念
示范講解
課堂練習
課堂小結
情景激趣
一天，三類三角形通過對自身的特點，講出了自己對三角形內角和的理解，請同學們作為小判官給它們評判一下吧.
我是直角三角形，我的內角和最大
我有一個鈍角，比你的三個角都大，所以我的內角和才是最大的
我雖然是銳角三角形，但是我的個頭最大，所以我的內角和才是最大的
情景導入
合作探究
抽象概念
示范講解
課堂練習
課堂小結
復習舊知
我們在小學已經知道，任意一個三角形的內角和等于180°。與三角形的形狀、大小無關，所以它們的說法都是錯誤的。
當時我們是通過度量或拼剪的辦法得出這一結論的，可是這種方法不能完全讓人信服，所以我們需要尋求推理的方法去證明這一定理
480
720
600
60°＋48°＋72°＝180°
分析問題，尋找對應
探究：如何通過“數學證明”來解釋三角形的內角和一定是180°呢？
分組討論
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結
已知：△ABC
求證：∠A+∠B+∠C=180°
1
2
證法1：過點A作l∥BC，
∴∠B=∠1.(兩直線平行,內錯角相等)
∠C=∠2.(兩直線平行,內錯角相等)
∵∠1+∠2+∠BAC=180°（平角定義），
∴∠B+∠C+∠BAC=180°（等量代換）.
分析問題，尋找對應
探究：如何通過“數學證明”來解釋三角形的內角和一定是180°呢？
分組討論
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結
已知：△ABC
求證：∠A+∠B+∠C=180°
證法2：延長BC到D，過點C作CE∥BA，
∴∠B=∠2.(兩直線平行,同位角相等)
∠C=∠2.(兩直線平行,內錯角相等)
∵∠1+∠2+∠ACB=180°（平角定義），
∴∠B+∠C+∠ACB=180°（等量代換）.
C
B
A
E
D
1
2
三角形內角和定理：三角形的內角和等于180°
三角形的內角
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結
在這里，為了證明的需要，在原來的圖形上添加的線叫做輔助線。
為了證明三個角的和為180°，轉化為一個平角，這種轉化思想是數學中的常用方法。
在平面幾何里，輔助線通常畫成虛線。
★思路總結
★作輔助線
例題講解
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結
如圖，在△ABC中，∠BAC=40°，∠B=75°，AD是△ABC的角平分線，求∠ADB的度數。
例1
解
C
B
D
A
在△ABD中
∵∠BAD+∠B+∠ADB=180°(三角形內角和定理)
∴∠ADB=180°－∠BAD－∠B
=180°-75°-20°
=85°
∵AD是△ABC的角平分線,∠BAC=40°
例題講解
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結
如圖是A、B、C三島的平面圖，C島在A島的北偏東50方向，B島在A島的北偏東80°方向，C島在B島的北偏西40°方向。從B島看A,C兩島的視角∠ABC是多少度？從C島看A、B兩島的視角∠ACB是多少度？
例2
北
A
D
北
C
B
東
E
分析：A、B、C三島的連線構成△ABC，所求的∠ACB是△ABC的一個內角，如果能求出∠CAB、∠ABC，就能求出∠ACB。
例題講解
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結
C島在A島的北偏東50方向，B島在A島的北偏東80°方向，C島在B島的北偏西40°方向。求：∠ABC是多少度？∠ACB是多少度？
例2
北
A
D
北
C
B
東
E
解
∠CAB=∠BAD-∠CAD=80°-50°=30°.
由AD//BE,得∠BAD+∠ABE=180°.
∴∠ABE=180°-∠BAD=180°-80°=100°,
∠ABC=∠ABE -∠EBC=100°-40°=60°.
在△ABC中，∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB=180°-60°-30°=90°,
即從B島看A、C兩島的視角∠ABC是60°,
從C島看A、B兩島的視角∠ACB是90°.
分析問題，尋找對應
探究：直角三角形內角和
分組討論
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結
你能找出上圖中所包含的直角三角形嗎 ？
三角形的內角
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結
如圖，在直角三角形ABC中，∠C=90°
由三角形內角和定理，可得∠A+∠B+∠C=180°
∴∠A+∠B+90°=180°
∴∠A+∠B=90°
直角三角形的性質
直角三角形的兩個銳角互余。
分析問題，尋找對應
探究：三角形用什么符號表示的？那么直角三角形又用什么符號表示呢？
分組討論
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結
三角形ABC 表示為：
直角三角形可以用符號：
如圖,直角三角形ABC表示為：
△ABC
Rt△
Rt△ABC
在Rt△ABC中，
∵∠A=90°
∴∠B+∠C=90°
“直角三角形的兩個銳角互余”其幾何語言可表示為：
思考：若在三角形中，有兩個銳角互余，則該三角形是否就是直角三角形呢？
三角形的內角
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結
★證明：在三角形中，有兩個銳角互余，則該三角形是直角三角形
已知：在△ABC中，∠A與∠B互余。
求證：該三角形為直角三角形
證明：∵∠A與∠B互余
∴∠A+∠B=90°
由三角形內角和定理，可得
∠A+∠B+∠C=180°
∴90°+∠C=180°
∴∠C=90°
∴△ABC為直角三角形
A
B
C
例題講解
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結
如圖，∠C=∠D=90°，AD、BC相交于點E。
∠CAE與∠DBE有什么關系？為什么？
例3
解
在Rt△ACE中，∠CAE=90°-∠AEC
在Rt△BDE中，∠DBE=90°-∠BED
∵∠AEC=∠BED
∴∠CAE=∠DBE
例題講解
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結
若一個三角形的三個內角度數之比1:3:4，則這個三角形是（ ）
A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形
D．等腰三角形
例4
解
∵三角形三個內角度數的比為1：3：4，
B
例題講解
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝42°，則∠B＝（ ）
A．48° B．58° C．62° D．68°
例5
解
∵∠C=90°
∴∠A+∠B=90°
∵∠A=42°
∴∠B=48°
A
對照練習
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結
1.如圖,從A 處觀測C處的仰角∠CAD=30°,從 B 處觀測C處的仰角∠CBD=45°.從C 處觀測A, B 兩處的視角∠ACB 是多少度
解:在△ACD中，因為∠CAD=30°，∠D=90°，所以∠ACD=180°-90°-30°=60°.
在BCD中，因為∠CBD=45°，∠D=90°，所以∠BCD=180°-90°-45°=45°.
所以∠ACB=∠ACD-∠BCD=60°-45°=15°.
答:從C處觀測A，B兩處的視角∠ACB是15°.
對照練習
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結
2.如圖, 在△ABC中, ∠A=40°, 求∠B+∠C+∠ADE+∠AED的度數.
解:在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°
可得∠B+∠C=180°-∠A=180°-40°=140°
在△ADE中，∠ADE+∠AED+∠A=180°
可得∠ADE+∠AED=180°-∠A=180°-40°=140°
∠B+∠C+∠ADE+∠AED=140°+140°=280°
對照練習
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結
3.如圖, 在△ABC 中, ∠ACB=90°, CD⊥AB, 垂足為 D. ∠ACD 與∠B 有什么關系 為什么
解:∠ACD與∠B相等，理由如下:
∵∠ACB=90°
∴∠ACD+∠BCD=90°
又CD⊥AB
∴∠CDB=90°
∴∠B+∠BCD=90°
∴∠ACD=∠B
對照練習
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結
4.如圖，在△ABC中，∠C=90°,點 D，E 分別在邊AB，AC上，且∠1=∠2,
△ADE是直角三角形嗎 為什么
解:在Rt△ABC中
∠2+∠A=90°
在△ADE中
∠A+∠1+∠ADE=180°
∵∠1=∠2
∴∠2+∠A=90°=∠A+∠1
∴90°+∠ADE=180°
∴∠ADE=90°得△ADE是直角三角形
對照練習
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結
5.已知，如圖，D是△ABC中BC邊延長線上一點，F為AB上一點，直線FD交AC于E，∠DFB＝90°，∠A＝46°，∠D＝50°.求∠ACB的度數．
解：在△DFB中，
∵∠DFB＝90°，∠D＝50°，
∠DFB＋∠D＋∠B＝180°，
∴∠B＝40°.
在△ABC中，
∵∠A＝46°，∠B＝40°，
∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝94°.
對應中考
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結
1.（2025·北京·中考真題）如圖，O是地球的示意圖，其中AB表示赤道，CD，EF分別表示北回歸線和南回歸線，∠DOB=∠FOB=23.5°，夏至日正午時，太陽光線GD所在直線經過地心O，此時點F處的太陽高度角∠IFH(即平行于GD的光線HF與O的切線FI所成的銳角)的大小為 .
[分析]本題考查了三角形內角和定理，平行線的性質，讀懂題意并熟練掌握知識點是解題的關鍵，設FI與OG交于點K，先由三角形內角和定理求出∠OKF=43°，再根據平行線的性質求解即可，
[詳解]解:如圖，設FI與OG交于點K，
K
對應中考
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結
1.（2025·北京·中考真題）如圖，O是地球的示意圖，其中AB表示赤道，CD，EF分別表示北回歸線和南回歸線，∠DOB=∠FOB=23.5°，夏至日正午時，太陽光線GD所在直線經過地心O，此時點F處的太陽高度角∠IFH(即平行于GD的光線HF與O的切線FI所成的銳角)的大小為 .
[詳解]解:如圖，設FI與OG交于點K，
∵∠DOB=∠FOB=23.5°,
∴ZKOF=∠DOB+∠FOB=23.5°+23.5°=47°，
在ΔOFK中，∠FOK+∠OFK+2∠OKF=180°，∠OFK=90°,
∴∠OKF=43°，
∵FH//OG,
∴∠IFH=∠OKF=43°,
故答案為:43°.
K
對應中考
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結
2.（2023·江蘇徐州·中考真題）如圖，在△ABC中，若DE//BC,FG//AC,
∠BDE=120°,∠DFG=115°，則∠C=. .
[詳解]解:∵∠BDE=120°,∠DFG=115°，∠BDE+∠ADE=180°，∠DFG+∠BFG=180°，
∠ADE=60°，∠BFG=65°,
∵DE//BC,FG//AC，
∴∠B=∠ADE=60°，∠A=∠BFG=65°，
∵∠A+∠B+∠C=180°,
∴∠C=180°-65°-60°=55°，
故答案為:55°.
對應中考
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結
3.（2024·西藏·中考真題）如圖，已知直線l1//l2于點 D, ∠1=50°, 則∠2 的度數是( )
A. 40° B. 45° C. 50° D. 60°
[詳解]解: ∵l1//l2，∠1=50°
∴∠ABC=∠1=50°,
∵AB⊥CD，
∴∠BDC = 90°,
∴∠2=180°-90°-50°=40°, 故 A 正確.
故選: A.
對應中考
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結
4.（2024·四川涼山·中考真題）如圖, △ABC中, ∠BCD=30°, ∠ACB =80°, CD是邊AB上的高, AE是∠CAB的平分線, 則∠AEB的度數是 .
[答案]100°
[詳解]解:∵∠BCD=30°,∠ACB=80°,
∴∠ACD=50°,
∵CD 是邊AB上的高，
∴∠ADC=90°,
∴∠DAC=40°,
∵AE 是 ∠CAB的平分線，
:∠CAE =∠DAC=20°,
∴∠AEB=∠CAE +∠ACB =20°+80°=100°.
對應中考
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結
5.（2024·湖南·中考真題）等腰三角形的一個底角為40°，則它的頂角的度數是 .
[詳解]解:∵等腰三角形的一個底角的度數為40°,
∴它的頂角度數為:180°-40°×2=100°.
故答案為:100°.
課堂小結
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結
我親歷了什么
我知道了什么
我會什么
三角形內角和定理
直角三角形的兩個銳角互余
三角形內角和定理的推導
課堂小結
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結
三角形的
內角和定理
證明
為了證明三個角的和為180°，轉化為一個平角，這種轉化思想是數學中的常用方法。
內容
三角形內角和等于180 °
在這里，為了證明的需要，在原來的圖形上添加的線叫做輔助線。
在平面幾何里，輔助線通常畫成虛線。
★作輔助線
直角三角形的兩個銳角互余。
課堂小結
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結
課后作業
A層：P16：13.3習題：1、2、3.
B層：P16：13.3習題：4、5.
下課

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