資源簡介

(共36張PPT)
人教版（2024）
八年級上冊
13.3.2 三角形的外角
第十三章 · 三角形
三角形的外角
知識目標
1.明確三角形外角的定義，能準確識別圖形中的外角；
2.理解三角形外角的性質定理，并能運用該性質進行簡單計算或證明；
3.通過對比內角與外角的關系，培養幾何中“轉化”思想。
能力目標
1.在復雜圖形中快速定位外角，區分內外角的不同特征；
2.利用外角性質解決求角度數、驗證結論等問題，培養從已知條件推導未知的思維路徑；
3.將實際問題抽象為幾何模型。
素質目標
1.滲透“轉化”思想（將未知轉化為已知、復雜轉化為簡單），感悟數學中化歸方法的價值；
2.通過探究外角性質的證明過程，體會嚴謹論證的必要性，培養質疑與驗證的習慣。
教學難點
教學重點
熟練運用“外角=兩非鄰內角和”進行角度計算、比較大小及簡單證明
動態圖形中外角的識別、自主選擇恰當方法實現“轉化”
情景導入
1
合作探究
2
抽象概括
3
示范講解
4
課堂練習
5
課堂小結
6
情景導入
合作探究
抽象概念
示范講解
課堂練習
課堂小結
情景激趣
回顧：內角
三角形的
內角和定理
證明
為了證明三個角的和為180°，轉化為一個平角，這種轉化思想是數學中的常用方法。
內容
三角形內角和等于180 °
在這里，為了證明的需要，在原來的圖形上添加的線叫做輔助線。
在平面幾何里，輔助線通常畫成虛線。
★作輔助線
直角三角形的兩個銳角互余。
情景導入
合作探究
抽象概念
示范講解
課堂練習
課堂小結
情景激趣
思考：某建筑系的學生站在C處想檢測∠A與∠B的和是否符合設計要求，攜帶測角工具進行測量，但是∠A太高無法測量，∠B靠近水面也無法測量，你能幫助他求出∠A+∠B嗎？
A
B
C
情景導入
合作探究
抽象概念
示范講解
課堂練習
課堂小結
列舉實例
思考：把ΔABC中的一邊BC延長，得到∠ACD，∠ACD還是三角形的內角嗎？
C
B
A
D
像這樣，三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角.
∠ACD是△ABC的一個外角
三角形的外角
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結
像這樣，三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角.
三個特征:
1.外角的頂點在三角形的一個頂點上;
2.外角的一條邊是三角形的一條邊;
3.外角的另一條邊是三角形的某條邊的延長線
分析問題，尋找對應
如圖，延長AC到E,∠BCE是不是△ABC的一個外角？∠DCE是不是△ABC的一個外角？
分組討論
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結
E
C
B
A
D
∠BCE是△ABC的一個外角
∠DCE不是△ABC的一個外角.
分析問題，尋找對應
如圖，∠ACD與∠BCE有什么關系？在三角形的每個頂點處有多少個外角？
分組討論
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結
E
C
B
A
D
∠ACD 與∠BCE為對頂角，∠ACD =∠BCE；在三角形的每個頂點處有2個外角.
分析問題，尋找對應
畫出△ABC的所有外角，共有幾個呢
分組討論
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結
每一個三角形都有6個外角．
每一個頂點相對應的外角都有2個，且這2個角為_______.
研究三角形的外角和時，通常每個頂點處取一個外角。
A
B
C
1
2
4
3
5
6
∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6.
對頂角
分析問題，尋找對應
如圖 在△ABC 中, ∠A = 70°, ∠B = 60°, ∠ACD 是△ABC的一個外角. 能由∠A, ∠B 求出∠ACD 嗎 如果能, ∠ACD與∠A, ∠B 有什么關系
分組討論
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結
70°
60°
∠ACD是∠ACB的鄰補角，
所以∠ACD = 180°-∠ACB
= 180°- 50°
= 130°.
∵∠A+∠B= 70°+ 60°= 130°，
∴∠ACD =∠A+∠B.
分析問題，尋找對應
已知:如圖所示,ΔABC中,D為BC延長線上一點.
求證:∠ACD=∠A+∠B.
證明猜想
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結
法一：
證明:∵∠A+∠B+∠ACB=180°,
∴∠A+∠B=180°-∠ACB.
∵∠ACD+∠ACB=180°,
∴∠ACD=180°-∠ACB.
∴∠ACD=∠A+∠B.
分析問題，尋找對應
已知:如圖所示,ΔABC中,D為BC延長線上一點.
求證:∠ACD=∠A+∠B.
證明猜想
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結
E
法二：過點C作CE∥AB.
(
(
(
(
過點A作AE∥BC.
過點B作BE∥AC.
E
E
(
(
(
(
(
(
(
(
作平行線
轉化角
分析問題，尋找對應
如圖，試比較∠1 、∠A的大小； ∠1 、∠B的大小.
證明猜想
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結
解：∵∠1=∠A+∠B,
∴∠1＞∠A.
三角形的外角大于任意一個與它不相鄰的內角.
同理∠1＞∠B.
三角形的外角
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結
三角形內角和定理的推論
三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和.
符號語言
∵ ∠ACD是△ABC的一個外角
∴ ∠ACD= ∠A+ ∠B.
口訣：“外角=兩非鄰內角和”
三角形的外角
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結
辨析三角形內角、外角
（1）位置關系：相鄰和不相鄰.
（2）數量關系：外角與相鄰內角互補，
外角大于不相鄰的任何一個內角.
例題講解
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結
如圖,∠BAE,∠CBF,∠ACD是△ABC的三個外角，它們的和是多少
例1
解
由三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和，得
∠BAE= ∠2+ ∠3，
∠CBF= ∠1+ ∠3,
∠ACD= ∠1+ ∠2.
又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °，
所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD=2(∠1+ ∠2+ ∠3)=360 °.
你還能給出其他解法嗎
例題講解
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結
如圖,∠BAE,∠CBF,∠ACD是△ABC的三個外角，它們的和是多少
例1
解
如圖，∠BAE+∠1=180 ° ① ，
∠CBF +∠2=180 ° ②，
∠ACD +∠3=180 ° ③，
又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °，
①+ ②+ ③得∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD+(∠1+ ∠2+ ∠3)=540 °，
所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD=540 °-180°=360°.
例題講解
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結
如圖,∠BAE,∠CBF,∠ACD是△ABC的三個外角，它們的和是多少
例1
解
過 A 作 AM 平行于 BC，
所以∠ACD = ∠EAM，
∠CBF = ∠BAM，
所以 ∠BAE +∠CBF +∠ACD
= ∠BAE +∠BAM +∠EAM = 360°.
M
三角形的外角和
三角形的外角和等于 360°.
例題講解
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結
快速搶答
例2
A
B
D
C
1
2
4
3
>
>
∠DAC
∠C
∠BAD
∠B
∠1= ______+______
∠2= ______+______
∠2____∠3
∠2____∠4
例題講解
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結
如圖，下列各角是△ABC 的外角的是（ ）
A.∠4
B.∠3
C.∠2
D.∠1
例3
1
A
B
C
3
2
4
B
例題講解
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結
例4
下面的推理題把小明難住了.他希望同學們能盡快的幫他解決下面的問題.
根據下列線索推理出這個三角形有關的角.
線索1：在△ABC中，∠B=∠C ；
線索2：它的一個外角是100 ；
問題：它的各個內角各是多少度？
100°
B
C
A
50°，50°，80°
或80°，80°，20°.
解：它的各個內角分別為
100°
B
C
A
對照練習
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結

1.說出下列各圖形中∠1和∠2的度數：
∠1 = 40°
∠2 = 140°
∠1 = 110°
∠2 = 70°
∠1 = 50°
∠2 = 140°
（1） （2） （3）
對照練習
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結

1.說出下列各圖形中∠1和∠2的度數：
（4） （5） （6）
∠1 = 55°
∠2 = 70°
∠1 = 80°
∠2 = 40°
∠1 = 60°
∠2 = 30°
對照練習
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結
2.如圖，是一個五角星，求∠A +∠B +∠C +∠D +∠E 的度數.
解：∵∠AFG =∠B +∠D，
∠AGF =∠C +∠E，
∠A +∠AFG +∠AGF =180°，
∴∠A +∠B +∠C +∠D +∠E = 180°.
對照練習
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結
3.如圖，∠A=51°，∠B=20°，∠C=30°，求∠BDC的度數.
A
B
C
D
(
(
(
51 °
20 °
30 °
解一：連接BC.
∵ ∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°,∠A= 51°,
∴ ∠ABC+∠ACB =180°-51°=129°.
∵∠ABD=20°,∠ACD=30°,
∴ ∠DBC+∠DCB = ∠ABC+∠ACB-(∠ABD+ ∠ACD )=129°-50°=79°.
∴ ∠BDC=180°-(∠DBC+∠DCB) =180°- 79°=101°.
對照練習
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結
3.如圖，∠A=51°，∠B=20°，∠C=30°，求∠BDC的度數.
A
B
C
D
(
(
(
51 °
20 °
30 °
解二：延長BD交AC于點E.
∠1=∠A+∠B，
∠BDC=∠1+∠C.
∴∠BDC=∠A+∠B+∠C
=51°+20°+30°=101°.
E
對應中考
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結
1.（2025·遼寧·中考真題）如圖，點C在∠AOB的邊OA上，CD⊥OB，垂足為D，DE//OA，若∠EDB=40°，則∠ACD的度數為( )
A.50°
B.120°
C.130°
D.140°
[答案]C
[分析]本題考查平行線的性質，三角形的外角，根據平行線的性質，得到∠O=∠EDB，再根據三角形的外角的性質，求出∠ACD的度數即可
[詳解]解::CD⊥OB，DE // OA.∠EDB=40°，
∴∠CDO=90°,∠O=∠EDB=40°，
∴∠ACD=∠CDO+∠O=90°+40°=130°;
故選C.
對應中考
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結
2.（2025·山東威海·中考真題）如圖，直線CF//DE，∠ACB=90°，∠A=30°.若∠1=18°.則∠2等于( )
A.42°
B.38°
C.36°
D.30°
[答案]A
[詳解]∵∠ACB=90°，∠1=18°
∴∠GCD=180°-∠ACB-21=72°
∵CF//DE
∴∠CDE=∠GCD=72°
∵∠LA=30°
∴∠2=2CDE-∠A=42°.
故選:A.
對應中考
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結
3.（2025·福建·中考真題）某數學興趣小組為探究平行線的有關性質，用一副三角尺按如圖所示的方式擺放，其中點4，E，C，F在同一條直線上，
∠BAC=∠EDF=90°,∠B=45°,∠DEF=60°.當AD//BC時，∠ADE的大小為( )
A.5° B.15° C.25° D.35°
[答案]B
[詳解]解:∵∠BAC=90°，∠B=45°，
∴∠ACB=45°，
∵AD//BC,
∴∠DAE=∠ACB=45°，
∴∠DEF= ∠DAE+∠ADE=60°
∴∠ADE=15°;
故選:B.
對應中考
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結
4.（2025·山東煙臺·中考真題）如圖是一款兒童小推車的示意圖，若AB//CD，∠1=30°，∠2=70°，則∠3的度數為( )
A.40°
B.35°
C.30°
D.20°
[答案]A
[詳解]解：∵AB//CD，∠1=30°，
∴∠A=∠1=30°，
∵∠2=70°,
∠2=∠3+∠A.
∴∠3=70°-30°=40°;
故選:A.
對應中考
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結
5.（2024·四川攀枝花·中考真題）將一把直尺與一塊含有30°角的直角三角板按如圖方式放置，若∠3=65°，則∠2為( )
A.50°
B.55°
C.60°
D.65°
[答案]A
[詳解]解：如圖所示，
∵AB//CD
∴∠BAC=∠3=65°
∴∠1=90°-∠BAC=25°
∴∠2=∠1+∠E=55°
A B
C D
課堂小結
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結
我親歷了什么
我知道了什么
我會什么
理解三角形的外角的概念
口訣：“外角=兩非鄰內角和”
對比內角與外角的關系
課堂小結
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結
三角形的外角
定義
三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫作三角形的外角.
性質
三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和
三角形的外角和
三角形的外角和等于360°.
外角與相鄰內角互補，
外角大于不相鄰的任何一個內角.
課堂小結
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結
課后作業
A層：P9：習題13.3：8題.
B層：P9：習題13.3：11題.
下 課

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