資源簡介

(共35張PPT)
人教版（2024）
八年級上冊
15.3.1 等腰三角形
第1課時 等腰三角形的性質(zhì)
第十五章·軸對稱
等腰三角形的性質(zhì)
知識目標(biāo)
1.理解等腰三角形的定義及其基本性質(zhì)。
2.掌握等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)。
3.學(xué)會利用等腰三角形的性質(zhì)進行幾何證明和計算。
能力目標(biāo)
1.能夠通過折疊等腰三角形，直觀理解其對稱性和性質(zhì)。
2.能夠運用等腰三角形的性質(zhì)進行幾何推理和證明。
3.能夠解決與等腰三角形相關(guān)的實際問題，如計算角度和邊長。
素質(zhì)目標(biāo)
1.培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和空間想象能力。
2.通過幾何圖形的對稱性，增強學(xué)生對數(shù)學(xué)美的感受。
3.培養(yǎng)學(xué)生嚴謹?shù)目茖W(xué)態(tài)度和細致的觀察能力。
教學(xué)難點
教學(xué)重點
等腰三角形的定義及其基本性質(zhì)、等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)及其證明
等腰三角形“三線合一”性質(zhì)的直觀理解和證明、計算角度和邊長
情景導(dǎo)入
1
合作探究
2
抽象概括
3
示范講解
4
課堂練習(xí)
5
課堂小結(jié)
6
情景導(dǎo)入
合作探究
抽象概念
示范講解
課堂練習(xí)
課堂小結(jié)
情景激趣
生活中的等腰三角形
情景導(dǎo)入
合作探究
抽象概念
示范講解
課堂練習(xí)
課堂小結(jié)
情景激趣
回顧：等腰三角形
等腰三角形
頂角
底角
腰
底邊
有兩邊相等的三角形是等腰三角形
相等的兩邊叫做腰，另一邊叫做底邊
兩腰的夾角叫做頂角
腰與底邊的的夾角叫做底角
情景導(dǎo)入
合作探究
抽象概念
示范講解
課堂練習(xí)
課堂小結(jié)
情景激趣
思考：為什么是水平的？
建筑工人在蓋房子時，用一塊等腰三角板放在梁上，從頂點系一重物，如果系重物的繩子正好經(jīng)過三角板底邊中點，就說房梁是水平的，你知道為什么嗎？
分析問題，尋找對應(yīng)
如圖，把一張長方形的紙按圖中虛線對折，并剪去陰影部分，再把它展開，得到的△ABC有什么特點？
分組討論
情境導(dǎo)入
合作探究
抽象概括
課堂練習(xí)
示范講解
課堂小結(jié)
A
C
B
分析問題，尋找對應(yīng)
如圖，把一張長方形的紙按圖中虛線對折，并剪去陰影部分，再把它展開，得到的△ABC有什么特點？
分組討論
情境導(dǎo)入
合作探究
抽象概括
課堂練習(xí)
示范講解
課堂小結(jié)
A
B
C
AB=AC
等腰三角形
分析問題，尋找對應(yīng)
如圖，把一張長方形的紙按圖中虛線對折，并剪去陰影部分，再把它展開，得到的△ABC有什么特點？
分組討論
情境導(dǎo)入
合作探究
抽象概括
課堂練習(xí)
示范講解
課堂小結(jié)
A
B
C
D
△ABC是軸對稱圖形嗎，對稱軸在哪兒？
AD
分析問題，尋找對應(yīng)
觀察重合的線段和角，猜想等腰三角形的性質(zhì)
分組討論
情境導(dǎo)入
合作探究
抽象概括
課堂練習(xí)
示范講解
課堂小結(jié)
A
B
C
D
相等的線段 相等的角
AB=AC
BD=CD
AD=AD
∠B=∠C
∠BAD=∠CAD
∠ADB=∠ADC
等腰三角形的性質(zhì)
情境導(dǎo)入
合作探究
抽象概括
課堂練習(xí)
示范講解
課堂小結(jié)
怎么證明呢？
性質(zhì)1：等腰三角形的兩個底角相等(簡寫成“等邊對等角”)
先變成符號形式
已知：△ABC中，AB=AC．
求證：∠B=∠C．
作底邊BC的中線AD，則BD=CD
在△ABD和△ACD中，
A
B
C
D
AB=AC，
∵ BD=CD，
AD=AD，
∴△BAD≌△CAD（SSS）．
∴∠B=∠C．
這樣就證明了“等邊對等角”
等腰三角形的性質(zhì)
情境導(dǎo)入
合作探究
抽象概括
課堂練習(xí)
示范講解
課堂小結(jié)
A
B
C
D
∵△BAD≌△CAD
∴∠BAD=∠CAD，∠BDA=∠CDA．
∵∠BDA+∠CDA=180°，
∴∠ADB=90°．
∴AD⊥BC．
說明中線AD是底邊BC的高
∵△BAD≌△CAD
∴∠BAD=∠CAD．
∴AD平方∠BAC．
說明中線AD也是∠BAC的角平分線
AD同時是底邊BC上的中線，高和角平分線．
等腰三角形的性質(zhì)
情境導(dǎo)入
合作探究
抽象概括
課堂練習(xí)
示范講解
課堂小結(jié)
A
B
C
D
性質(zhì)1：等腰三角形的兩個底角相等（簡寫成：等邊對等角）.
性質(zhì)2：等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線及底邊上的高線互相重合（簡寫成：三線合一）.
等腰三角形的性質(zhì)
情境導(dǎo)入
合作探究
抽象概括
課堂練習(xí)
示范講解
課堂小結(jié)
性質(zhì)1：等腰三角形的兩個底角相等（簡寫成：等邊對等角）.
A
B
C
符號語言：
∵AB=AC
∴∠B=∠C（等邊對等角）
等腰三角形的性質(zhì)
情境導(dǎo)入
合作探究
抽象概括
課堂練習(xí)
示范講解
課堂小結(jié)
A
B
C
性質(zhì)2：等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線及底邊上的高線互相重合（簡寫成：三線合一）.
D
符號語言：
①∵AB=AC，AD⊥BC
∴BD=CD，∠BAD=∠CAD
②∵AB=AC，AD⊥BC
∴BD=CD，∠BAD=∠CAD
③∵AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD
例題講解
情境導(dǎo)入
合作探究
抽象概括
課堂練習(xí)
示范講解
課堂小結(jié)
如圖，在△ABC中，AB=AC，點D在AC上，且BD=BC=AD．求△ABC各角的度數(shù)．
例1
A
B
C
D
找出圖中所有相等的角；
找一找，圖中有幾個等腰三角形？
∠A=∠ABD,∠C=∠BDC=∠ABC.
△ABC,△ABD，△BCD.
技巧：看到等腰，就把等角標(biāo)出來．
例題講解
情境導(dǎo)入
合作探究
抽象概括
課堂練習(xí)
示范講解
課堂小結(jié)
如圖，在△ABC中，AB=AC，點D在AC上，且BD=BC=AD．求△ABC各角的度數(shù)．
例1
A
B
C
D
x
⌒
2x
⌒
⌒
2x
解
∵AB=AC，BD=BC=AD，
∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD（等邊對等角）.
設(shè)∠A=x°,則∠BDC=∠A+∠ABD=2x°,
從而∠ABC=∠C=∠BDC=2x°,
于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180，
解得x=36°，
在△ABC中，∠A=36°，∠ABC=∠C=72°.
例題講解
情境導(dǎo)入
合作探究
抽象概括
課堂練習(xí)
示范講解
課堂小結(jié)
建筑工人在蓋房子時，用一塊等腰三角板放在梁上，從頂點系一重物，如果系重物的繩子正好經(jīng)過三角板底邊中點，就說房梁是水平的，你知道為什么嗎？
例2
解
由“三線合一”可知繩子一定會垂直房梁，而繩子肯定是豎直的，所以房梁是水平的．
例題講解
情境導(dǎo)入
合作探究
抽象概括
課堂練習(xí)
示范講解
課堂小結(jié)
已知：如圖，房屋的頂角∠BAC=100 ,，過屋頂A的立柱AD⊥BC，屋椽AB=AC．求頂架上∠B、∠C、∠BAD、∠CAD的度數(shù)．
例3
解
∵AD平分∠BAC（三線合一），而∠BAC=100°，
∴∠BAD=∠CAD=100°÷2=50°
∵∠ADB=90°（因為AD⊥BC）
∴∠B=40°（已求得）
∴∠BAD=180°-∠ADB-∠B=180°-90°-40°=50°
同理 ∠C = 40°，∠CAD = 50°
⌒
50°
⌒
50°
⌒
40°
⌒
40°
等腰三角形的性質(zhì)
情境導(dǎo)入
合作探究
抽象概括
課堂練習(xí)
示范講解
課堂小結(jié)
A
B
C
D
公式：在等腰三角形中：
① 頂角+2×底角=180°
② 頂角=180°－2×底角
對照練習(xí)
情境導(dǎo)入
合作探究
抽象概括
課堂練習(xí)
示范講解
課堂小結(jié)
1.在下列等腰三角形中，分別求出它們的底角的度數(shù).
72°
30°
對照練習(xí)
情境導(dǎo)入
合作探究
抽象概括
課堂練習(xí)
示范講解
課堂小結(jié)
A
B
C
D
2.如圖，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°.求∠B 和∠C的度數(shù).
⌒
26°
找一找，圖中有幾個等腰三角形？
△ADC,△ABD.
解：由AB = AD，得△ABD為等腰三角形，
因此，∠ABD = ∠ADB（等邊對等角）。
由AD = DC，得△ADC為等腰三角形，
因此，∠DAC = ∠C（等邊對等角）。
∠DAC +∠C=77°，得∠C=38.5°。
對照練習(xí)
情境導(dǎo)入
合作探究
抽象概括
課堂練習(xí)
示范講解
課堂小結(jié)
3.求證：如果三角形一條邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是直角三角形.
A
B
C
D
符號語言：
已知在△ABC中，DA是BC邊上的中線，且AD= BC
求證AB⊥AC
對照練習(xí)
情境導(dǎo)入
合作探究
抽象概括
課堂練習(xí)
示范講解
課堂小結(jié)
3.求證：如果三角形一條邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是直角三角形.
證明：∵AD是BC邊上的中線，DC=BD
又∵AD= BC=DC=BD,
∴∠B = ∠BAD，∠CAD = ∠C（等邊對等角）,
根據(jù)三角形內(nèi)角和定理： △ABD 中，∠B+∠BAD+∠ADB=180°
即2∠BAD+∠ADB=180°①，
在 △ACD 中，∠C+∠CAD+∠ADC=180 °即2∠CAD+∠ADC=180°②，
①＋②得：2∠BAD+2∠CAD+∠ADB+∠ADC=360°，
2（∠BAD+∠CAD）+180°=360°得2∠BAC=180°,
∴∠BAC =90°
∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形.
法二：延長AD至E，使得AD=DE，連接BE、CE，證明四邊形EBAC是矩形，即可作答
A
B
C
D
E
對照練習(xí)
情境導(dǎo)入
合作探究
抽象概括
課堂練習(xí)
示范講解
課堂小結(jié)
4.（1）等腰三角形一個底角為75°,它的另外兩個角為 ；
（2）等腰三角形一個角為36°,它的另外兩個角為 ；
（3）等腰三角形一個角為120°,它的另外兩個角為 .
75°, 30°
72°,72°或36°,108°
30°，30°
對應(yīng)中考
情境導(dǎo)入
合作探究
抽象概括
課堂練習(xí)
示范講解
課堂小結(jié)
1.（2025·陜西·中考真題） 如圖, 在△ABC中, ∠ACB =90°, ∠A=20°, CD為AB邊上的中線, DE⊥AC, 則圖中與∠A 互余的角共有( )
A. 2個 B. 3個 C. 4個 D. 5個
互余的兩個角的和為90°
【分析】該題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠B =70°，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出CD= AD = BD, 根據(jù)等邊對等角得出∠DCA =∠A =20°,∠DCB=∠B =70°,再結(jié)合DE⊥AC 根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠CDE =70°,∠ADE=70°,最后根據(jù)余角的性質(zhì)求解即可.
對應(yīng)中考
情境導(dǎo)入
合作探究
抽象概括
課堂練習(xí)
示范講解
課堂小結(jié)
1.（2025·陜西·中考真題） 如圖, 在△ABC中, ∠ACB =90°, ∠A=20°, CD為AB邊上的中線, DE⊥AC, 則圖中與∠A 互余的角共有( )
A. 2個 B. 3個 C. 4個 D. 5個
互余的兩個角的和為90°
【詳解】解:在△ABC中, ∠ACB =90°, ∠A =20°,
∴∠B =180°-∠A-∠ACB = 180°-90°-20°= 70°,
∵CD為AB邊上的中線，
∴CD=AD=BD,
∴∠DCA =∠A =20°,∠DCB =∠B = 70°,∠CDB = 2∠A =40°,
∵DE⊥AC,
∴∠CDE =180°-90°-∠DCA = 70°,∠ADE = 180°-90°-∠A = 70°,
∴圖中與∠A 互余的角是∠B,∠DCB,∠CDE,∠ADE, 共有4個,
故選: C.
對應(yīng)中考
情境導(dǎo)入
合作探究
抽象概括
課堂練習(xí)
示范講解
課堂小結(jié)
2.（2025·四川涼山·中考真題） 如圖, AB=AC,AE = AD, 點 E在 BD 上, ∠EAD =∠BAC,∠BDC =56°, 則∠ABC 的度數(shù)為( )
A. 56° B. 60° C. 62° D.64°
【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，等邊對等角，先證明∠BAE=∠CAD, 再利用SAS可證明△BAE≌△CAD 得到∠ABE =∠ACD, 利用三角形內(nèi)角和定理可證明∠BAO=∠CDO =56°，據(jù)此根據(jù)等邊對等角和三角形內(nèi)角和定理可求出答案.
O
對應(yīng)中考
情境導(dǎo)入
合作探究
抽象概括
課堂練習(xí)
示范講解
課堂小結(jié)
2.（2025·四川涼山·中考真題） 如圖, AB=AC,AE = AD, 點 E在 BD 上, ∠EAD =∠BAC,∠BDC =56°, 則∠ABC 的度數(shù)為( )
A. 56° B. 60° C. 62° D.64°
【詳解】解: ∵∠EAD =∠BAC,
∴∠EAD-∠CAE=∠BAC-∠CAE, 即∠BAE =∠CAD,
在△BAE和△CAD中,
∴△BAE≌△CAD(SAS),
∴∠ABE =∠ACD;
如圖所示, 設(shè)AC, BD 交于O,
∵∠AOB+∠ABO+∠BAO=180°, ∠COD+∠DCO+∠COD =180°,∠AOB =∠COD,
∴∠BAO=∠CDO =56°,
∵AB =AC, ∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°,
O
對應(yīng)中考
情境導(dǎo)入
合作探究
抽象概括
課堂練習(xí)
示范講解
課堂小結(jié)
2.（2025·四川涼山·中考真題） 如圖, AB=AC,AE = AD, 點 E在 BD 上, ∠EAD =∠BAC,∠BDC =56°, 則∠ABC 的度數(shù)為( )
A. 56° B. 60° C. 62° D.64°
故選: C.
O
課堂小結(jié)
情境導(dǎo)入
合作探究
抽象概括
課堂練習(xí)
示范講解
課堂小結(jié)
我親歷了什么
我知道了什么
我會什么
理解等腰三角形的2個性質(zhì)
等腰三角形的3個公式
證明等邊對等角、三線合一
① 頂角+2×底角=180°
② 頂角=180°－2×底角
課堂小結(jié)
情境導(dǎo)入
合作探究
抽象概括
課堂練習(xí)
示范講解
課堂小結(jié)
等腰三角形的性質(zhì)
A
B
C
D
性質(zhì)1：等腰三角形的兩個底角相等（簡寫成：等邊對等角）.
性質(zhì)2：等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線及底邊上的高線互相重合（簡寫成：三線合一）.
課堂小結(jié)
情境導(dǎo)入
合作探究
抽象概括
課堂練習(xí)
示范講解
課堂小結(jié)
公式：在等腰三角形中：
① 頂角+2×底角=180°
② 頂角=180°－2×底角
課堂小結(jié)
情境導(dǎo)入
合作探究
抽象概括
課堂練習(xí)
示范講解
課堂小結(jié)
課后作業(yè)
A層：P84.15.3習(xí)題：1、3、4.
B層：P84.15.3習(xí)題：7、8、10.
下課

展開更多......

收起↑