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(共22張PPT)
三角形的高、中線與角平分線
CONTENTS
了解三角形的高、中線與角平分線的概念；
了解三角形的重心的概念；
能正確畫出一個三角形的高、中線、角平分線，并掌握其相關性質.
01
02
03
回顧我們之前所學的垂線、線段中點、角平分線的概念
垂線：當兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線
線段中點：把一條線段分成兩條相等的線段的點
角平分線：一條射線把一個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線
三角形的高
過三角形的一個頂點做它對邊的垂線，頂點和垂足所連接的線段，叫做三角形這邊的高，簡稱三角形的高。
B
A
C
三角形高的幾何語言：
∵AO是△ABC的高
∴AO⊥BC，
∠AOC=∠AOB=90°(高的定義)
O
思考
對于任意三角形，是否也滿足“三條中線相交于一點”？
分別畫出下列銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形的三條中線，
并觀察三條中線是否相交于一點.
三角形的三條中線 ，且
相交于一點
該交點位于三角形內部
三角形三條中線的交點，叫做三角形的的 .
重心
思考
如圖，在△ABC 中，AD 是△ABC 的中線，AE 是△ABC 的高．
試判斷△ABD 和△ACD 的面積有什么關系，為什么？
B
C
D
E
A
通過以上問題你能發現什么規律？
三角形的中線能將三角形的面積平分.
相等，因為兩個三角形等底同高，所以它們面積相等.
D
2. 如果一個三角形的三條高的交點恰是三角形的一個頂點，那么這個三角形是（ ）
A.銳角三角形 B.直角三角形
C.鈍角三角形 D.銳角三角形
3.三角形的三條高相交于一點，此一點定在（ ）
A. 三角形的內部 B.三角形的外部
C.三角形的一條邊上 D. 不能確定
1.下列各組圖形中，哪一組圖形中AD是△ABC 的高( )
A
D
C
B
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A.
B.
C.
D.
B
D
拓展練習
三角形的高與垂線有區別嗎？
三角形的高是線段而垂線是直線.
三角形的三條高的特性：
高所在的直線是否相交
高之間是否相交
高在三角形內部的數量
鈍角三角形
直角三角形
銳角三角形
3
1
1
相交
相交
不相交
相交
相交
相交
三角形的三條高所在直線交于一點
三條高所在直線的
交點的位置
三角形內部
直角頂點
三角形外部
A
B
C
定義：連接三角形的一個頂點和它所對的邊的中點，所得線段叫做三角形的這條邊上的中線.如圖，AD就是△ABC的中線.
幾何表達形式：如圖，AD是△ABC的邊BC上的中線，或點 D 是邊 BC 的中點或 BD = CD = BC
三角形的中線將這個三角形分為面積相等的兩個三角形
三角形的中線是一條線段
D
畫一畫：分別畫出銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形的三條中線，并觀察它們中線的交點有什么規律？
A
B
C
D
E
F
A
B
C
銳角三角形
直角三角形
A
B
C
鈍角三角形
三角形的三條中線交于三角形內部一點,這一點我們稱為三角形的重心.
思考
你能類比三角形的中線的定義，說明什么是三角形的角平分線嗎？
在三角形中，一個內角的 與它的 相交，這個角
的 與 之間的線段，叫做三角形的角平分線.
平分線
對邊
頂點
交點
如圖，在△ABC 中，∠1=∠2
則 是∠A的角平分線
1
2
A
B
C
D
AD
如圖，在△ABC 中，AD是∠A的角平分線
則___________
∠1=∠2
思考
A
B
C
D
相同點是： ∠ABD = ∠CBD；
不同點是：前者是線段，后者是射線.
三角形的角平分線與角的平分線相同嗎
思考
每一個三角形都有 個內角，因此每一個三角形都有 條角平分線.
如圖，畫出三角形的角平分線.
3
3
這三條角平分線之間有怎樣的位置關系
銳角三角形的三條角平分線是在三角形的內部還是外部
銳角三角形的三條角平分線交于同一點.
銳角三角形的三條角平分線都在三角形的內部.
思考
思考
對于任意三角形，是否也滿足“三條角平分線相交于一點”？
分別畫出下列銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形的三條角平分線，
并觀察三條角平分線是否相交于一點.
三角形的三條角平分線 ，且 ，
該點稱為三角形的 .
相交于一點
該交點位于三角形內部
三角形的角平分線是一條 .
線段
內心
B
B
B
高線
中線
角平分線
從三角形的一個頂點，向它的對邊所在直線作垂線，頂點和垂足之間的線段，叫作三角形的高線，簡稱三角形的高.
在三角形中，連接一個頂點與它對邊的中點的線段叫做三角形的中線
在三角形中，一個角的平分線與它的對邊相交，這個角的頂點與交點之間的線段叫做三角形的角平分線
三 角 形
小結
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