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(共18張PPT)
2.2.1 雙曲線及其標準方程
新授課
1.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程的推導過程.
2.掌握雙曲線的標準方程及其求法.
3.會利用雙曲線解決一些簡單的實際問題.
回顧：橢圓的定義及標準方程是什么？
定義：與兩個定點的距離之和為常數(大于兩個定點間的距離)的點的軌跡是橢圓.
根據焦點位置的不同，其標準方程為 或
思考：把橢圓定義中的“距離的和”改為“距離的差”，那么點的軌跡會是什么樣的？
知識點1：雙曲線的定義
動手操作：如圖(A)，取一條拉鏈，拉開它的一部分，在拉開的兩邊上各選擇一點，分別固定在點F1，F2上，點F1到點F2的長為2c(c>0).把筆尖放在拉鏈開口的咬合處M，點M到點F1的距離與點M到點F2的距離之差等于2a(c>a>0).
隨著拉鏈逐漸拉開或者閉攏，筆尖就畫出一條曲線.
這條曲線上的點M滿足下面的條件：
|MF1| - |MF2| = 2a.
同理可畫出另一支(如圖B).
這條曲線上的點M滿足下面的條件：
|MF2| - |MF1| = 2a.
這兩條曲線合起來叫作雙曲線，每一條曲線叫作雙曲線的一支.
雙曲線的定義：平面內與兩個定點F1，F2的距離的差的絕對值等于常數 (大于零且小于︱F1F2︱)的點的集合(或軌跡)叫作雙曲線.
概念講解
F1
F2
焦距
焦點
M
① 兩個定點F1、F2——雙曲線的焦點;
②兩個焦點間的距離 |F1F2| ——焦距.
問題：請仿照求橢圓標準方程的方法，根據雙曲線的定義，并選擇恰當的平面直角坐標系來求雙曲線的標準方程.
知識點2：雙曲線的標準方程
給定雙曲線，它的焦點為F1，F2，焦距|F1F2|=2c(c＞0)，雙曲線上任意一點到兩個焦點的距離之差的絕對值為2a(0F1
F2
P
x
O
y
(x,y)
建系
以直線F1F2為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸建立坐標系.
F1
F2
P
x
O
y
(x,y)
設P(x , y)，根據雙曲線的定義，可得| |PF1|-|PF2| |=2a，即|PF1|-|PF2| =±2a.
設點
列式
根據雙曲線的定義可知，2c＞2a＞0,∴c2-a2＞0.
代入上式得：b2x2-a2y2=a2b2.
F1
F2
P
x
O
y
(x,y)
化簡
整理得：
①
雙曲線上任意一點的坐標(x，y)都是方程①的解;
以方程①的解為坐標的點(x，y)與雙曲線的兩個焦點F1(-c，0)，F2(c，0)的距離之差的絕對值都為2a，
令 其中b＞0.
我們稱方程①是雙曲線的標準方程.
即以方程①的解為坐標的點都在雙曲線上．
F1
F2
P
x
O
y
(x,y)
它表示焦點在 x 軸上，兩個焦點分別是 F1（- c，0），F2（c，0）的雙曲線，
這里
①
思考： 如果焦點F1，F2在y軸上，且F1，F2的坐標分別為(0，-c)，(0，c)，那么雙曲線的方程是什么？
F1
F2
P
x
O
y
歸納總結
雙曲線標準方程
圖形
方程
焦點
a,b,c之間的關系
F1(-c,0),F2(c,0)
F1(0,-c)，F2(0,c)
c2=a2+b2 a，b大小不定
F1
F2
P
x
O
y
F1
F2
P
x
O
y
例1:已知雙曲線的兩個焦點分別是F1(-5，0)，F2(5，0)，該雙曲線上的點到兩個焦點距離之差的絕對值是6，求該雙曲線的標準方程.
解：∵雙曲線的焦點在x軸上，
又c=5，a=3，
∴b2=c2-a2=16.
∴所求雙曲線的標準方程為
∴可設它的標準方程為
練一練
1.已知雙曲線的兩個焦點分別為F1(0,－2)，F2(0,2)，且雙曲線經過點P(3,－2)，求該雙曲線的標準方程．
解：由于雙曲線的焦點在y軸上，故可設它的標準方程為
由雙曲線的定義知
∴a = 1．
又c = 2，∴ b = c －a = 4－1=3．
∴所求雙曲線的標準方程為
歸納總結
1.求雙曲線標準方程的步驟：
(1)確定雙曲線的類型，并設出標準方程；
(2)求出a2,b2的值，寫出標準方程.
2.當雙曲線的焦點所在坐標軸不確定時，需分焦點在x軸上和y軸上兩種情況討論，特別地，當已知雙曲線經過兩個點時，可設雙曲線的方程為Ax2+By2=1(AB<0)來求解.
例2:相距2km的兩個哨所A，B聽到遠處傳來的炮彈爆炸聲，在A哨所聽到爆炸聲的時間比在B哨所遲4s.已知當時的聲速為340m/s，試判斷爆炸點在什么樣的曲線上，并求出曲線的方程.
解：設爆炸點為P，由已知，得|PA|-|PB|=340×4=1360(m).
∴點P在以點A，B為焦點的雙曲線并靠近點B的那一支上.
以直線AB為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系(如圖).
∵|AB|=2km=2000m>1360m，|PA|＞|PB|，
例2:相距2km的兩個哨所A，B聽到遠處傳來的炮彈爆炸聲，在A哨所聽到爆炸聲的時間比在B哨所遲4s.已知當時的聲速為340m/s，試判斷爆炸點在什么樣的曲線上，并求出曲線的方程.
由2a=1360，2c=2000，得a=680，c=1000，
∴b2=c2-a2=537600.
∴點P所在曲線是雙曲線的右支，它的方程是
根據今天所學，回答下列問題：
1.雙曲線的定義；
2.雙曲線的標準方程是什么？
3.怎么判斷雙曲線焦點所在位置？

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