資源簡介

(共14張PPT)
2.2.2 第1課時
新授課
雙曲線的簡單幾何性質
1.理解并掌握雙曲線范圍、對稱性和頂點的幾何性質.
2.能利用雙曲線的簡單性質求標準方程.
1.雙曲線的標準方程是什么？
2.類比橢圓的幾何性質，應研究雙曲線的哪些幾何性質？如何研究這些性質？
問題引入
F1
F2
x
O
y
知識點1：雙曲線的范圍
問題1：如何用方程(代數方法)研究曲線 中x的范圍？
范圍： x≤-a或x≥a，且y∈R.
因此，雙曲線C在不等式x≤-a與x≥a所表示的區域內，即位于兩條直線x=-a和x=a外側的區域.
-a
a
∴x≤-a或x≥a，且y∈R.
①P(x,y) P1(x,-y)
x軸
方程不變，點在雙曲線上
知識點2：雙曲線的對稱性
問題2：請觀察雙曲線方程 圖象說明雙曲線的對稱性.
F1
F2
x
O
y
(x,y)
(x,-y)
(-x,-y)
(-x,y)
P1
P2
P3
方程不變，點在雙曲線上
②P(x,y) P2(-x,y)
y軸
③P(x,y) P3(-x,-y)
原點
方程不變，點在雙曲線上
綜上，雙曲線既是關于x軸和y軸的軸對稱圖形，也是關于原點的中心對稱圖形.這個對稱中心稱為雙曲線的中心.
F1
F2
x
O
y
(x,y)
(x,-y)
(-x,-y)
(-x,y)
P1
P2
P3
知識點3：雙曲線的頂點
F1
F2
x
O
y
在
中，令y=0，得x=±a，
A1
A2
B1
B2
線段A1A2叫做雙曲線的實軸，它的長為2a，a叫做實半軸長；
雙曲線和x軸有兩個交點
雙曲線的頂點
實軸
線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長為2b，b叫做雙曲線的虛半軸長.
虛軸
方程
焦點
頂點
范圍
對稱性
虛實軸
歸納總結
F1(-c，0)，F2(c，0)
A1(-a，0)，A2(a，0)
x≤-a或x≥a
y≤-a或y≥a
中心：原點；對稱軸：x軸、y軸
實軸長：2a；虛軸長：2b
F1(0，-c)，F2(0，c)
A1(0，-a)，A2(0，a)
例1:求雙曲線x2-4y2=1的焦點、中心、頂點坐標、實軸和虛軸的長，并畫出該雙曲線.
解：將x2-4y2=1化為標準方程
∴實半軸長a=1，虛半軸長b= ，半焦距
∴焦點坐標為
中心坐標為
頂點坐標為
實軸長為2，虛軸長為1.
根據雙曲線的對稱性，先畫雙曲線位于第一象限的部分.為此，由雙曲線的方程解得
計算出一些點，如表(y的值精確到0.01).
x 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0
y 0 0.56 0.87 1.15 1.41 1.94 2.45 2.96 3.46 3.97
在平面直角坐標系中描出上述對應點，并用光滑曲線連起來.根據對稱性，再畫出雙曲線在其他三個象限的部分(如圖).
例2:如圖，火力發電廠的冷卻塔的外形是由雙曲線繞其虛軸所在直線旋轉所得到的曲面.已知塔的總高度為150m，塔頂直徑為70m，塔的最小直徑(喉部直徑)為67m，喉部標高(標高是地面或建筑物上的一點和作為基準的水平面之間的垂直距離)為112.5m，求雙曲線的標準方程(結果精確到0.01)，并畫出該雙曲線.
解：畫出冷卻塔的軸截面，如圖.
為了得到雙曲線的標準方程，以最小直徑處所在直線為x軸，最小直徑的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系，則點A的坐標為(33.5，0).
可設雙曲線方程為
則a=33.5 .
由已知可得點C的坐標為(35，37.5)，代入雙曲線的標準方程有
∴b2≈15359.26 .
∴所求雙曲線的標準方程為
歸納總結
解決和雙曲線有關的實際問題的思路
(2)確定雙曲線的位置及要素，并利用雙曲線的方程或幾何性質求出數學問題的解.
(1)通過數學抽象，找出實際問題中涉及的雙曲線，將原問題轉化為數學問題.
根據今天所學，完成下列表格：
方程
焦點
頂點
范圍
對稱性
虛實軸
F1(-c，0)，F2(c，0)
A1(-a，0)，A2(a，0)
x≤-a或x≥a
y≤-a或y≥a
中心：原點；對稱軸：x軸、y軸
實軸長：2a；虛軸長：2b
F1(0，-c)，F2(0，c)
A1(0，-a)，A2(0，a)

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