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2.3.1 拋物線及其標準方程
新授課
1.認識拋物線的幾何特征，理解拋物線的定義及其焦點、準線的概念.
2.會求簡單的拋物線方程.
按照教材P67第2-3段進行操作，請回答問題：
1.你能發現點P滿足的幾何條件嗎？
2.它的軌跡是什么形狀？
知識點1：拋物線的定義
1.點P運動的過程中，始終有|PF|＝|PB|，即點P與定點F的距離等于它到定直線l的距離；
2.點P的軌跡形狀與二次函數的圖象相似.
概念講解
拋物線的定義：平面內與一個定點F和一條直線l (l不經過點F)的距離相等的點的集合(軌跡)叫作拋物線.
定點F叫做拋物線的焦點,定直線l叫作拋物線的準線.
l
F
P
B
焦點
準線
問題:類比橢圓、雙曲線標準方程的建立過程，你認為應如何建立平面直角坐標系，使所建立的拋物線的方程簡單？
取經過焦點F且垂直于直線l的直線為x軸，垂足為K，并以線段KF的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系Oxy.
l
F
M
H
K
O
y
x
設拋物線的焦點到準線的距離為p(p>0)，則|KF|=p，那么焦點F的坐標為 準線l的方程為
知識點2：拋物線的標準方程
設點M(x，y)是拋物線上的任意一點，點M到準線l的距離為d，則|MF|=d.
l
F
M
H
K
O
y
x
因為
所以
將上式兩邊平方并化簡，得
①
這說明拋物線上的任意一點的坐標都滿足方程①.
思考：請你嘗試證明以方程①的解為坐標的點都在拋物線上.
拋物線的標準方程：
l
F
M
H
K
O
y
x
焦點在x軸正半軸上，坐標是 準線方程是 其中p是拋物線的焦點到準線的距離.
概念講解
例1:根據下列條件，求拋物線的標準方程：
(1)焦點坐標為(2,0)；(2)準線方程為
解：設拋物線的標準方程為y2=2px(p＞0).
∴所求拋物線的標準方程為y2=8x.
(1)其焦點坐標為( ，0)，根據題意有 =2，故2p=8.
∴所求拋物線的標準方程為y2=6x.
(2)其準線方程為 ，根據題意有 ，故2p=6.
練一練
1.根據下列條件，寫出拋物線的標準方程：
(1)焦點坐標是( ,0)；
(2)準線方程是x +3=0；
(3)焦點在x軸的正半軸，且到準線的距離為3.
y2 =2x；
y2 =12x；
y2 =6x.
例2:已知拋物線的焦點在x軸正半軸上，焦點到準線的距離為 ，求拋物線的標準方程、焦點坐標和準線方程.
解：設拋物線的標準方程為y2=2px(p＞0).
∴所求拋物線的標準方程為y2=x.
∵拋物線的焦點到準線的距離
其焦點坐標為( ，0)，其準線方程為
練一練
2.求下列拋物線的焦點坐標、準線方程和焦點到準線的距離：
(1)y2=12x； (2)2y2-x=0.
解：(1)焦點為(3,0)，準線方程為x=-3，焦點到準線的距離為6；
(2)焦點為( ,0)，準線方程為x=- ，焦點到準線的距離為 .
根據今天所學，回答下列問題：
1.什么叫作拋物線？
2.焦點在x軸正半軸的拋物線的標準方程是什么？其焦點坐標和準線方程是什么？

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