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(共45張PPT)
2.1.2 橢圓的簡單幾何性質
平面內與兩個定點F1，F2的距離的和等于常數2a（2a>|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓.這兩個定點叫做橢圓的焦點,兩個焦點的距離叫做焦距2c.
特別注意:
當2a>|F1F2|時,軌跡是橢圓;
當2a=|F1F2|時,軌跡是線段F1F2;
當2a<|F1F2|時,軌跡不存在.
F1 0 F2 X
Y
M
1.橢圓的定義
溫故知新
分母哪個大，焦點就在哪個軸上
標準方程
圖 形
焦點坐標
a、b、c 的關系
焦點位置的判斷
x
y
F1
F2
P
O
x
y
F1
F2
P
O
2.橢圓的標準方程
焦點在x軸上
焦點在y軸上
o
y
x
橢圓的簡單幾何性質
觀圖，你看到了什么？
一、橢圓的范圍
即
-a≤x≤a -b ≤y≤b
結論:橢圓位于直線x＝±a和y＝±b圍成的矩形里.
o
x
y
-a
a
b
-b
1、范圍：
*
Y
X
O
P（x，y）
P2（-x，y）
P3（-x，-y）
P1（x，-y）
關于x軸對稱
關于y軸對稱
關于原點對稱
2、對稱性：
*
從圖形上看，橢圓關于x軸、y軸、原點對稱。
從方程上看：
（1）把x換成-x方程不變，圖象關于y軸對稱；
（2）把y換成-y方程不變，圖象關于x軸對稱；
（3）把x換成-x，同時把y換成-y方程不變，圖象關于原點成中心對稱。
即標準方程的橢圓是以坐標軸為對稱軸，坐標原點為對稱中心。
練習：1.已知點P(3，6)在 上,則( )
(A) 點(-3,-6)不在橢圓上
(B) 點(3,-6)不在橢圓上
(C) 點(-3,6)在橢圓上
(D) 無法判斷點(-3,-6), (3,-6), (-3,6)是否在橢圓上
三、橢圓的頂點
頂點：橢圓與它的對稱軸的四個交點，叫做橢圓的頂點。
o
x
y
B1(0,b)
B2(0,-b)
A1(-a,0)
A2(a,0)
令x=0,得y=？說明橢圓
與y軸的交點為(0,b)、(0,-b)
令y=0,得x=？說明橢圓
與x軸的交點為(a,0)、(-a,0)
3、頂點：
三、橢圓的頂點
長軸、短軸：線段A1A2、B1B2分別叫做橢圓的長軸和短軸。
o
x
y
B1(0,b)
B2(0,-b)
A1
A2
a、b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。
思考：橢圓的焦點與橢圓的長軸、短軸有什么關系？
焦點落在橢圓的長軸上
長軸：線段A1A2；
長軸長 |A1A2|=2a
短軸：線段B1B2；
短軸長 |B1B2|=2b
焦 距 |F1F2| =2c
①a和b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長；
③焦點必在長軸上；
② a2=b2+c2，
o
x
y
B2(0,b)
B1(0,-b)
A2
(a, 0)
A1
(-a, 0)
b
a
c
橢圓的簡單幾何性質
a
F2
F1
|B2F2|=a；
注 意
*
鞏固提升：1、已知橢圓方程16x2+25y2=400,
10
8
6
80
分析：橢圓方程轉化為標準方程為：
a=5 b=4 c=3
o
x
y
o
x
y
它的長軸長是： 。短軸長是： 。
焦距是 。 離心率等于： 。
焦點坐標是： 。頂點坐標是： 。
外切矩形的面積等于： 。
由橢圓的范圍、對稱性和頂點，再
進行描點畫圖，只須描出較少的點，
就可以得到較正確的圖形.
四、橢圓的離心率
離心率:橢圓的焦距與長軸長的比 ,叫做橢圓的離心率.
離心率的取值范圍：
因為 a > c > 0，所以04、離心率：
因為a>c>0，
所以0 < e <1.
離心率越大，橢圓越扁
離心率越小，橢圓越圓
O
x
y
a
b
●
c
[2]離心率對橢圓形狀的影響：
1）e 越接近 1，c 就越接近 a，從而 b就越小，
橢圓就越扁
2）e 越接近 0，c 就越接近 0，從而 b就越大，
橢圓就越圓
*
思考：當e＝0時，曲線是什么？當e＝1時曲線又是 什么？
如果a=b，則c=0，兩個焦點重合，
橢圓的標準方程就變為圓的方程：
e=0，這時兩個焦點重合，圖形變為圓．
e=1,為線段。
[3]e與a,b的關系:
*
結論：離心率e越大，橢圓越扁；
離心率e越小，橢圓越圓.
鞏固提升：
1.說出橢圓 的范圍,長軸
長,短軸長,焦點坐標,頂點坐標:
2.比較下列每組中兩個橢圓的形狀,哪一個更扁
根據：離心率e越大，橢圓越扁；
離心率e越小，橢圓越圓
3.已知橢圓方程為 則
它的長軸長是： ;
短軸長是： ;
焦距是： ;
離心率等于： ;
焦點坐標是： （0，） ＿＿＿;
頂點坐標是： ＿＿＿＿＿＿＿;
外切矩形的面積等于： 。
2
x
y
Ｏ
A2
(a, 0)
A1
(-a, 0)
B2(0,b)
B1(0,-b)
一個框，四個點，
注意光滑和圓扁,
莫忘對稱要體現．
用曲線的圖形和方程
來研究
橢圓的簡單幾何性質
小結：基本元素
{1}基本量：a、b、c、e、（共四個量）
{2}基本點：頂點、焦點、中心（共七個點）
{3}基本線：對稱軸（共兩條線）
o
x
y
B1(0,b)
B2(0,-b)
A1(-a,0)
A2(a,0)
︱ ︱
F1 F2
方程
圖
形
范圍
對稱性
頂點
離心率
x
y
B1
B2
A1
A2
∣ ∣
F1 F2
A2
A1
B1
B2
0
關于x軸，y軸，原點對稱
x
y
F1
F2
O
例1.求橢圓16x2 + 25y2 =400的長軸和短軸的長、離心率、焦點和頂點坐標.
解：把已知方程化成標準方程
因此，橢圓的長軸長和短軸長分別是
離心率
焦點坐標分別是
四個頂點坐標是
例2．求適合下列條件的橢圓的標準方程：
（1）經過點 、 ；
（2）長軸長等于 ,離心率等于 ．
解:（1）由題意， ,又∵長軸在
軸上，所以，橢圓的標準方程為
（2）由已知， ，
∴ ， ，∴ ，
所以橢圓的標準方程為 或 ．
已知橢圓 的離心率 ，求 的值
由 ，得：
解：當橢圓的焦點在 軸上時，
， ，得 ．
當橢圓的焦點在 軸上時，
， ，得 ．
由 ，得 ，即 ．
∴滿足條件的 或 ．
思考：
例3：酒泉衛星發射中心將一顆人造衛星送入到距地球表面近地點(離地面 近的點)高度約200km,遠地點(離地面最遠的點)高度約350km的橢圓軌道(將地球看作一個球，其半徑約為6371km),求橢圓軌道的標準方程。(注:地心(地球的中心)位于橢圓軌道的一個焦點，且近地點、遠地點與地心共線)
例4、如圖，在圓　　　　　上任取一點P作x軸的垂線段PD，D為垂足。當點P在圓上運動時，線段PD的中點M的軌跡是什么？為什么？
解:設點M坐標為M(x,y), 點P的坐標為
P(x’,y’),則
由題意可得：
因為
所以
即
這就是點M的軌跡方程，它表示一個橢圓。
相關點分析法:即利用中間變量求曲線方程.
o
x
y
P
M
D
1、在下列方程所表示的曲線中,關于x軸,y軸都對稱的是( )
(A)
(B)
(C)
(D)
2、橢圓以坐標軸為對稱軸，離心率 ，長軸長為6，
則橢圓的方程 為（ ）
(A)
(B)
(C)
(D)
或
或
D
C
課堂練習
2、求適合下列條件的橢圓的標準方程
(1) a=6, e= , 焦點在x軸上
(2) 離心率 e=0.8, 焦距為8
求橢圓的標準方程時, 應:
先定位(焦點), 再定量（a、b）
當焦點位置不確定時，要討論，此時有兩個解！
4. 橢圓的一個頂點為 ,其長軸長是短軸長的2倍，求橢圓的標準方程．
分析：題目沒有指出焦點的位置，要考慮兩種位置
橢圓的標準方程為： ；
橢圓的標準方程為： ；
解：（1）當 為長軸端點時， ， ，
（2）當 為短軸端點時， , ，
綜上所述，橢圓的標準方程是 或
你學會了嗎
※對自己說，你有什么收獲？
※對同學說，你有什么提示？
※對老師說，你有什么疑惑？
標準方程
圖 象
范 圍
對 稱 性
頂點坐標
焦點坐標
半 軸 長
焦 距
a,b,c關系
離 心 率
|x|≤ a,|y|≤ b
|x|≤ b,|y|≤ a
關于x軸、y軸成軸對稱；關于原點成中心對稱。
（ a ,0 ）,(0, b)
（ b ,0 ）,(0, a)
(±c,0)
(0, ±c)
長半軸長為a,短半軸長為b.
焦距為2c;
a2=b2+c2
課外閱讀：橢圓第二定義
所以，點M的軌跡是長軸、短軸長分別為10、6的橢圓。
F
l
x
o
y
M
H
d
猜想證明
若動點P(x,y)和定點F(c,0)的距離與它到定直線l: 的距離的比是常數 (0猜想
將上式兩邊平方并化簡得:
0
x
y
P
證明:由已知，得
猜想證明
這是橢圓的標準方程，所以P點的軌跡是長軸長為2a
短軸長為2b
的橢圓.
由此可知,當點M與一個定點的距離和它到一條定直
線的距離的比是一個常數
時,這個點的
軌跡是橢圓,這就是橢圓的第二定義，定點是橢圓的
焦點,定直線叫做橢圓的準線,,常數e是橢圓的離心率.
0
x
y
M
對于橢圓
相應于焦點
的準線
方程是
能不能說M到 的距離與到直線
的距離比也是離心率e呢
)
0
,
(
-c
F

概念分析
由橢圓的對稱性，相應于焦點
的準線方程是
O
x
y
P
F1
F2
O
y
x
P
F1
F2
右準線
上準線
下準線
左準線
上焦點(0,c), 上準線
右焦點(c,0), 右準線
下焦點(0,-c), 下準線
左焦點(-c,0), 左準線
焦點準線
例2 求中心在原點,一條準線方程是x=3，
離心率為 的橢圓標準方程.
解:依題意設橢圓標準方程為
由已知有
解得a=
c=
所求橢圓的標準方程為
例題講解
P（x0，y0）是橢圓 （a＞b＞0）上的一點，F1，F2是左、右焦點，則PF1，PF2叫焦半徑，求證∣PF左∣＝a+ex0 ∣PF右∣＝a-ex0，
例 3
證明:
y
o
P(x0,y0)
x
F1(-C,0)
F1(C,0)
d1
d2
由題意得d1=x0+
d2
=
-
x0
又:
=
=e
=
∴
=ed1=e(x0+
)=
=ed2=e( - x0)=
a+ex0
a-ex0
(法一)
(法二):利用兩點距離公式
焦半徑：
1)P（x0，y0）是橢圓 （a＞b＞0）上的一點，F1，F2是左、右焦點，則PF1，PF2叫焦半徑∣PF左∣＝a+ex0， ∣PF右∣＝a-ex0
2)AB過焦點的弦,
=2a+e(XA+XB)
=2a-e(XA+XB)
Rmax=a+c
Rmin=a-c
3)通經:過焦點且與長軸垂直的弦 d
d=
(當焦點在y軸上時----------- )
例2:在橢圓
距離是到右焦點距離的2倍.
=1求一點P使它到左焦點
+
例2:在橢圓
+
=1求一點P使它到左焦點
距離是到右焦點距離的2倍.
解:設P(x0,y0) 由題意得a=5 c=4 e=
=
a+ex0=5+
x0
=5 -
x0
又
=2
∴
5+ X0
=
2( 5 - X0)
∴
X0=
代入
+
=1
得:y0=±
所以 P( , )
±

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