資源簡介

(共16張PPT)
2.3.2 第1課時
新授課
拋物線的簡單幾何性質
1.掌握拋物線的簡單幾何性質；
2.了解焦點在坐標軸不同位置上的拋物線的標準方程；
3.會用待定系數法求拋物線方程.
問題導入
問題：根據拋物線的標準方程可以得到拋物線的哪些幾何性質呢？
知識點1：拋物線的幾何性質
拋物線在y軸的右側，開口向右；
當x的值增大時，|y|的值也增大，說明拋物線向右上方和右下方無限延伸.
由 可知，對于拋物線上的點M(x,y)，
x≥0,y∈R.
1.范圍
l
F
M
K
O
y
x
2.對稱性
(x0,y0)
(x0,-y0)
根據y2=2px(p＞0)①的結構特點，可以發現：若(x0，y0)滿足方程①，則(x0，-y0)也滿足方程①，
l
F
M
K
O
y
x
∴拋物線y2=2px(p＞0)是關于x軸對稱的曲線.
拋物線和它的對稱軸的交點叫作拋物線的頂點.
3.頂點
在方程①中，當y=0時，x=0，因此，拋物線的頂點就是坐標原點.
4.離心率
由拋物線的定義可知，e = 1．
l
F
M
K
O
y
x
拋物線上的點M 到焦點F的距離和它到準線的距離d的比 叫作拋物線的離心率，用e表示.
歸納總結
(1)拋物線只位于半個坐標平面內，雖然它也可以無限延伸，但沒有漸近線；
(2)拋物線只有一條對稱軸,沒有對稱中心;
(3)拋物線只有一個頂點，一個焦點，一條準線；
(4)拋物線的離心率e是確定的，e=1.
思考交流：在建立橢圓和雙曲線的標準方程時，由于焦點在平面直角坐標系中的位置不同，它們各有兩種形式的標準方程，你認為拋物線的標準方程一共有幾種形式？請寫出相應的標準方程和準線方程及其幾何性質.
y
x
o
知識點2：幾種拋物線的形式
圖形
標準方程
焦點坐標
準線方程
范圍
對稱性
頂點
離心率
y2 = 2px
y2 = -2px
x2 = 2py
x2 = -2py
l
F
y
x
O
l
F
y
x
O
l
F
y
x
O
x≥0, y∈R
x≤0, y∈R
x∈R, y≥0
x∈R, y≤0
l
F
y
x
O
關于x軸對稱
關于y軸對稱
(0,0)
e=1
不同拋物線的簡單幾何性質
例1:求頂點在原點，經過點( ，-6)，且以坐標軸為對稱軸的拋物線的標準方程.
如圖.
解：∵點( ，-6)在第四象限，
∴若x軸是拋物線的對稱軸，則設拋物線的標準方程為
∵點( ，-6)在拋物線上，
解得
∴所求拋物線的標準方程為
例1:求頂點在原點，經過點( ，-6)，且以坐標軸為對稱軸的拋物線的標準方程.
如圖.
若y軸是拋物線的對稱軸，
同理可得拋物線的標準方程為
歸納總結
用待定系數法求拋物線方程的步驟
根據條件確定拋物線的焦點在哪條坐標軸上及開口方向
定位置
設方程
根據焦點和開口方向設出標準方程
尋關系
根據條件列出關于p的方程
得方程
解方程，將p代入所設方程為所求
練一練
1.求下列拋物線的焦點坐標和準線方程.
(1)y2=20x;
(2)x2= y;
(3)2y2+5x=0;
(4)x2+8y=0.
焦點F (5,0), 準線方程為x=-5；
焦點F (0, ), 準線方程為y=
焦點F ( ,0), 準線方程為x=
焦點F (0, -2), 準線方程為y=2.
練一練
解：∵點(-3，-1)在第三象限，
若拋物線的標準方程為y2＝-2px(p>0)，
∴設所求拋物線的標準方程為y2＝-2px(p>0)或x2＝-2py(p>0).
將點(-3，-1)代入方程，解得
此時拋物線的標準方程為
2.求頂點在原點，經過點(-3，-1)，且以坐標軸為對稱軸的拋物線的標準方程.
練一練
2.求頂點在原點，經過點(-3，-1)，且以坐標軸為對稱軸的拋物線的標準方程.
若拋物線的標準方程為x2＝-2py(p>0)，
此時拋物線的標準方程為x2＝-9y.
將點(-3，-1)代入方程，解得
故所求拋物線的標準方程為 或x2=-9y.
根據今天所學，回答下列問題：
1.拋物線的形式有哪幾種？其焦點坐標、準線方程、幾何性質分別是什么？
2.用待定系數法求拋物線方程的步驟是什么？

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