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(共18張PPT)
2.4.1 直線與圓錐曲線的交點
新授課
1.會用代數法來判斷直線與圓錐曲線交點的個數.
2.會由直線與圓錐曲線的交點個數，求參數的范圍.
前面已經學習了直線以及圓、橢圓、雙曲線和拋物線等一系列的特殊曲線，通過平面直角坐標系，把圓錐曲線上的點和相應的圓錐曲線方程的解建立了一一對應的關系，直線與圓錐曲線交點的個數可以通過作出圖象來確定.那么，我們是否還可以通過方程組的解的個數確定兩者的交點個數呢？
問題導入
例1:如圖,求直線l:y=-x+1與橢圓C: 的交點坐標.
解：直線l與橢圓C的交點坐標是方程組 的解.
將①代入②，得
代入②，得方程組的解為
方程組可化為
①
②
解得
∴直線l與橢圓C的交點坐標為
例2:已知橢圓C: ，若直線l:x-y+m=0與橢圓C有唯一的公共點，求實數m的值.
解：如圖，由直線l的方程特征可知，隨著m的變化，直線l平行移動，若與橢圓C有唯一的公共點，則直線方程和橢圓方程應有唯一的公共解.
聯立直線與橢圓的方程，得
O
x
y
l
方程組可化為
①
②
將②代入①，并整理得
③
∵方程③是一元二次方程，
∴它有唯一的實數解的充要條件是
解得 或
∴當直線l與橢圓C有唯一的公共點時，實數m的值為 或
O
x
y
l
例2:已知橢圓C: ，若直線l:x-y+m=0與橢圓C有唯一的公共點，求實數m的值.
歸納總結
判斷直線與橢圓位置關系的方法步驟：
聯立橢圓方程與直線方程組成方程組
消去一個未知數，得到關于x(或y)的
元二次方程，并計算判別式 的值
＞0 直線和橢圓相交；
=0 直線和橢圓相切；
＜0 直線和橢圓相離.
算
聯
判
練一練
由題意知 =144k2-24(3k2+2)=0，
1.若直線y＝kx+2與橢圓 相切，則斜率k的值是( )
A. B. C. D.
解得
解：由 ，得(3k2+2)x2+12kx+6=0，
C
例3:已知直線l經過點A(0，1)，且與拋物線C:y2=x有唯一的公共點，求直線l的方程.
解：如圖.
(1)當直線l的斜率不存在時，直線l:x=0(y軸)與拋物線C相切于原點，符合條件.
(2)當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y=kx+1.
由方程組 消去y并整理，得kx2+(2k-1)x+1=0.(*)
A
x
y
O
·
·
·
例3:已知直線l經過點A(0，1)，且與拋物線C:y2=x有唯一的公共點，求直線l的方程.
①當k2=0時，直線l的方程為y=1，此時，方程組有唯一的實數解，符合條件；
A
x
y
O
·
·
·
②當k2≠0時，方程(*)有唯一的實數解的充要條件是 =(2k-1)2-4k2=0.
解得k= .此時，方程組有唯一的實數解，符合條件.
綜上，滿足題意的直線l有三條：
歸納總結
設直線l：y＝kx+m，拋物線：y2＝2px(p>0)，將直線方程與拋物線方程聯立整理成關于x的方程k2x2+2(km-p)x+m2＝0.
(1)若k≠0，當Δ>0時，直線與拋物線相交，有兩個公共點；
當Δ＝0時，直線與拋物線相切，有一個公共點；
當Δ<0時，直線與拋物線相離，沒有公共點.
(2)若k＝0，直線與拋物線有一個交點，此時直線平行于拋物線的對稱軸或與對稱軸重合.
練一練
2.已知拋物線方程為y2＝8x，若過點Q(-2,0)的直線l與拋物線有公共點，則直線l的斜率的取值范圍是 .
[-1,1]
因此直線l的斜率的取值范圍是[-1,1].
解：由題意知，直線l的斜率存在，
設直線l的方程為y＝k(x+2)，代入拋物線方程，消去y并整理，
得k2x2+(4k2-8)x+4k2＝0，
當k＝0時，顯然滿足題意；
當k≠0時，Δ＝(4k2-8)2-4k2·4k2＝64(1-k2)≥0，
解得-1≤k<0或0例4:討論直線l:y=kx+1與雙曲線C:x2-y2=1的公共點的個數.
解：聯立方程組
消去y，整理，得(1-k2)x2-2kx-2=0.
(1)當k=1時，x=-1；
(2)當k=-1時，x=1；
(3)當k≠±1時， =4k2+8(1-k2)=8-4k2.
若 ＞0，則 ；若 =0，則 ；
若 ＜0，則 或
例4:討論直線l:y=kx+1與雙曲線C:x2-y2=1的公共點的個數.
綜上，當 或 時，直線l與雙曲線C沒有公共點；
當 時，直線l與雙曲線C相切于一點；
當 時，直線l與雙曲線C相交于一點；
當 或 或 時，
直線l與雙曲線C有兩個公共點；
如圖.
把直線與雙曲線的方程聯立成方程組，通過消元后化為ax2+bx+c＝0的形式，在a≠0的情況下考察方程的判別式.
(1)Δ>0時，直線與雙曲線有兩個不同的公共點.
(2)Δ＝0時，直線與雙曲線只有一個公共點.
(3)Δ<0時，直線與雙曲線沒有公共點.
當a＝0時，此時直線與雙曲線的漸近線平行，直線與雙曲線有一個公共點.
注意：直線與雙曲線的關系中，一解不一定相切，相交不一定兩解，兩解不一定同支.
歸納總結
練一練
代入雙曲線方程，得(4-k2)x2-(2k-2k2)x-k2+2k-5＝0.
3.已知雙曲線 ，過點P(1,1)的直線l與雙曲線只有一個公共點，求直線l的斜率k.
解：(ⅰ)當直線l的斜率不存在時，
l：x＝1與雙曲線相切，符合題意.
(ⅱ)當直線l的斜率存在時，
設l的方程為y＝k(x-1)+1，
l與雙曲線的漸近線平行，l與雙曲線只有一個公共點；
練一練
3.已知雙曲線 ，過點P(1,1)的直線l與雙曲線只有一個公共點，求直線l的斜率k.
當4-k2＝0時，k＝±2，
當4-k2≠0時，依題意得 =0，得
綜上，k= 或k=±2或k不存在.
根據今天所學，回答下列問題：
1.判斷直線與橢圓位置關系的方法步驟.
2.如何判斷直線與拋物線的位置關系？直線與雙曲線呢？

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