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(共14張PPT)
2.4.2 直線與圓錐曲線的
綜合問題
新授課
1.進一步熟悉直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.
2.掌握弦長公式，會求解與弦長有關(guān)的問題.
解：由題意知橢圓C的左焦點F1的坐標為(-1，0)，直線AB的方程為y=-2(x+1).
解方程組 得
例1:如圖，已知斜率為-2的直線經(jīng)過橢圓C: 的左焦點F1，與橢圓相交于A，B兩點，求：(1)線段AB的中點M的坐標；(2)|AB|的值.
(1)設(shè)線段AB的中點M的坐標為(x，y)，則
例1:如圖，已知斜率為-2的直線經(jīng)過橢圓C: 的左焦點F1，與橢圓相交于A，B兩點，求：(1)線段AB的中點M的坐標；(2)|AB|的值.
∴線段AB的中點M的坐標為
思考：如果不求出A、B兩點的坐標，還能求出|AB|的值嗎？
解法二：由題意知橢圓C的左焦點F1的坐標為(-1，0)，直線AB的方程為y=-2(x+1).
例1:如圖，已知斜率為-2的直線經(jīng)過橢圓C: 的左焦點F，與橢圓相交于A，B兩點，求：(1)線段AB的中點M的坐標；(2)|AB|的值.
聯(lián)立方程組
①
②
將①代入②，整理得24x2+40x=0，其中 ＞0.
設(shè)A,B的坐標為(x1,y1) ,(x2,y2),則
由兩點間的距離公式得
歸納總結(jié)
求弦長問題的方法:
(1)如果交點坐標易求,可直接用兩點間距離公式代入求弦長，
(2)有時為了簡化計算,常設(shè)而不求,運用韋達定理來處理.
中點坐標公式：若點P1，P2 的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，且線段 P1P2 的中點M的坐標為(x，y)，則：
1.過雙曲線 的右焦點F2，傾斜角為30°的直線交雙曲線于A,B兩點，求|AB|.
設(shè)A,B的坐標為(x1,y1),(x2,y2),則
與雙曲線方程聯(lián)立消去y,得5x2+6x-27=0.
解:設(shè)直線AB的方程為
由兩點間的距離公式得
練一練
例2:已知直線l過橢圓C: 的中心，且交橢圓C于A，B兩點，求|AB|的取值范圍.
解：(1)當直線l的斜率不存在時(如圖1)，直線l:x=0，
代入橢圓方程解得A(0， )，B(0， )，∴|AB|=
(2)當直線l的斜率存在時(如圖2)，設(shè)直線l的方程為y=kx.
將橢圓方程化簡、整理，得x2+2y2=4.
將直線和橢圓方程聯(lián)立，得
①
②
圖1
圖2
例2:已知直線l過橢圓C: 的中心，且交橢圓C于A，B兩點，求|AB|的取值范圍.
將②代入①，化簡整理得(2k2+1)x2=4.③
顯然，無論k取何值，方程③都有實數(shù)解，
由兩點間的距離公式，可得
④
圖2
例2:已知直線l過橢圓C: 的中心，且交橢圓C于A，B兩點，求|AB|的取值范圍.
為了便于求|AB|的取值范圍，將④進行變形整理，得
∵4k2+2≥2，由不等式的性質(zhì)可得
綜合(1)和(2)的結(jié)果，|AB|的取值范圍為[2 ，4].
圖2
歸納總結(jié)
當直線的斜率存在時，斜率為k的直線l與橢圓相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩個不同的點，則弦長公式的常見形式有如下幾種：
注意：(1)一定先有判別式大于零，才有兩根之和、兩根之積.
(2)對于斜率不確定的問題，要分類討論.
思考交流：某同學給出了例2的如下解決方法：
解：考慮到直線l與橢圓C的兩個交點A，B是關(guān)于中心O對稱的，
∴|AB|=2|OA|=
∵點A在橢圓C上，∴xA2+2yA2=4，整理，得xA=4-2yA2.
將其代入上式，消去xA可得|AB|=
由上述函數(shù)關(guān)系可以求出0≤|AB|≤4.
請對該同學的上述解法進行評價.
此法綜合運用的橢圓的中心對稱性質(zhì)，設(shè)而不求，優(yōu)化了整體運算.
但是卻沒有根據(jù)圖象，考慮yA的實際范圍，故而導致最終取值錯誤.
歸納總結(jié)
反思上述“思考交流”求解解析幾何問題的過程，
一方面可以再次感受到數(shù)形結(jié)合思維方式的作用，
另一方面也可以感受到，還應該在分析圖形的基礎(chǔ)上對題目中的幾何要素進行合理代數(shù)化表達.
根據(jù)今天所學，回答下列問題：
1.中點坐標公式和弦長公式分別是什么？
2.求弦長問題通常有哪兩種方法？
3.求解解析幾何問題需注意什么？

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