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6.3 第1課時
新授課
離散型隨機變量的均值
已知在10件產品中有2件不合格品.從這10件產品中任取3件，用X表示取得產品中的不合格品的件數.可求得X的分布列如表:
k 0 1 2
P(X＝k)
取3件該產品時，平均會取到幾件不合格品？如何計算呢？
1.通過實例理解離散型隨機變量均值的含義，了解隨機變量的均值與樣本均值的區別與聯系.
2.能計算簡單離散型隨機變量的均值.
知識點一：離散型隨機變量的均值的概念
情境 有12個西瓜，其中有4個質量是5kg,3個質量是6kg,5個質量是7kg,求這12個西瓜的平均質量.
由平均數的意義，西瓜的平均質量為
①
①式也可寫成如下形式：
②
其中 分別為質量是5kg,6kg和7kg的西瓜個數在總個數中所占的比例.
思考：類似的，如何求解前面“取不合格品的問題”的平均取值呢？
根據X的分布列，有
③
③式表示，在一次的抽取中，3件產品中平均有0.6件是不合格品.
k 0 1 2
P(X＝k)
概念生成
設離散型隨機變量X的分布列如表:
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
為隨機變量X的均值或數學期望（簡稱期望）.
則稱
注意點：
(1)均值EX刻畫的是X取值的“中心位置”，反映了離散型隨機變量X取值的平均水平，是隨機變量X的一個重要特征.
(2)兩個不同的分布可以有相同的均值.
(3)均值EX是隨機變量X取各個值的加權平均，由X的分布列完全確定.
(4)而均值只是刻畫了隨機變量取值的“中心位置”這一重要特征，并不能完全決定隨機變量的性質.
思考：隨機變量的均值與樣本均值的聯系與區別是什么？
區別：隨機變量的均值是一個確定的數，而樣本均值具有隨機性，它圍繞隨機變量的均值波動.
聯系：隨著重復試驗次數的增加，樣本均值的波動幅度一般會越來越小.常用隨機變量的觀測值的均值去估計隨機變量的均值.
事件的頻率
事件的概率
穩定到
樣本的均值
隨機變量的均值
穩定到
類比
類比
例1 設隨機變量X服從參數為p的兩點分布，求EX.
所以EX =0·P(X=0)+1·P(X=1)
因此，當X服從參數為p的兩點分布時，其均值EX=p.
=0·(1-p)+1·p
=p.
解：因為
P(X=0)=1-p，P(X=1)=p，
在籃球比賽中，罰球命中1次得1分，不中得0分.如果某運動員罰球命中的概率為0.8，那么他罰球1次的得分X的均值是多少？
解：因為
P(X=1)=0.8，P(X=0)=0.2，
所以
E(X)=1×P(X=1)+0×P(X=0)=1×0.8+0×0.2 =0.8.
即該運動員罰球1次的得分X的均值是0.8.
練一練
例2 設X表示拋擲一枚均勻骰子擲出的點數，求EX.
解：依題意知X的分布列為
P(X=i)= （i=1,2,3,45,6),
如表：
X 1 2 3 4 5 6
P(X=i)
根據均值的定義可知
怎么解釋這個
均值 呢？
例3 一個袋子里裝有除顏色外完全相同的3個紅球和2個黃球，從中同時取出2個，則取出的紅球個數的均值是多少？
解：設X表示取出紅球的個數，則X的取值為0,1,2.
;
;
故X的分布列如表：
X 1 2 3
P
根據均值的定義可知
(1)確定取值：根據隨機變量X的意義，寫出X可能取得的全部值；
(2)求概率：求X取每個值的概率；
(3)寫分布列：寫出X的分布列；
(4)求均值：由均值的定義求出E(X).
求離散型隨機變量的均值的步驟：
歸納總結
例4 根據氣象預報，某地區近期暴發小洪水的概率為0.25，暴發大洪水的概率為0.01.該地區某工地上有一臺大型設備，為保護設備，有以下3種方案：
方案1：運走設備，搬運費為3800元
方案2：建一保護圍墻，建設費為2000元，但圍墻只能防小洪水，
方案3：不采取措施，希望不發生洪水，此時遇到大洪水時要損失60000元，遇到小洪水時要損失10000元.
你會選擇哪一種方案呢？
解：設方案1、方案2、方案3的總損失分別為X1，X2，X3
方案1，無論有無洪水，都損失3800元.因此，P(X1=3800)=1，E(X1)=3800.
方案2，遇到大洪水時，總損失為2000+60000=62000元；沒有大洪水時，總損失為2000元.因此，P(X2=62000)=0.01，P(X2=2000)=0.99.
E(X2)=62000×0.01+2000×0.99=2600.
方案3，P(X3=60000)=0.01，P(X3=10000)=0.25，P(X3=0)=0.74.
E(X3)=60000×0.01+10000×0.25+0×0.74=3100.
因此，從期望損失最小的角度，應采取方案2.
根據今天所學，回答下列問題：
1.隨機變量的均值與樣本均值的聯系與區別是什么？
2.求離散型隨機變量均值的步驟分為哪幾步？

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