資源簡介

(共30張PPT)
6.1.3全概率公式
溫故知新
1. 條件概率：
在事件A發生的條件下，事件B發生的概率稱為條件概率，即
由條件概率公式可得
2. 概率的乘法公式：
3. 條件概率的性質：
條設P(A)>0, 則
(1)P(Ω|A)=1;
(2)如果B和C是兩個互斥事件, 則P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A);
設A和B是兩個獨立事件, 則P(B|A)=P(B)或P(A|B)=P(A).
求復雜事件的概率常分成兩個(或多個)互斥的較簡單的事件之和的概率。
注意順序！先發生的事件，寫在前面
新課導入
在上節計算按對銀行儲蓄卡密碼的概率時，我們首先把一個復雜事件表示為一些簡單事件運算的結果，然后利用概率的加法和乘法公式求其概率。
本節，我們再根據一個求復雜事件概率問題出發學習。
解
引例
因為 Ｂ＝ＡＢ +
，且ＡＢ與
互不相容，所以
＝ 0.6
一個盒子中有６只白球、４只黑球，從中不放回地每次任取１只，連取２次，求第二次取到白球的概率
例
A=“第一次取到白球” B=“第二次取到白球”
實例分析
如圖,有三個箱子，分別編號為1,2,3,其中1號箱裝有1個紅球和4個白 球，2號箱裝有2個紅球和3個白球，3號箱裝有3個紅球，這些球除顏色外完全相同.某人先從三箱中任取一箱，再從中任意摸出一球,求取得紅球的概率.
問題5
按照某種標準,將一個復雜事件表示為兩個互斥事件的并,再由概率的加法公式和乘法公式求得這個復雜事件的概率.
【規律方法】
某電子設備制造廠所用的元件是由三家元件制造廠提供的，根據以往的記錄 有如表的數據：
設這三家元件制造廠的元件在倉庫中是均勻混合的，且無區別的標志.在倉庫中隨機地取一只元件,求它是次品的概率.
元件制造廠 次品率 提供元件的份額
1 0.02 0.15
2 0.01 0.80
3 0.03 0.05
問題6
分析 設事件Bi表示“所取到的產品是由第i家元件制造廠提供的”(i=1,2,3),事件A 表示“取到的是一件次品”.其中B1,B2,B3兩兩互斥,A發生總是伴隨著 B1,B2,B3 之一同時發生.即A=B1A∪B2A ∪ B3A,且B1A,B2A,B3A兩兩互斥.運用互斥事件概率的加法公式和乘法公式，得 P(A) =P(B1A) +P(B2A) +P(B3A)
=F(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)-P(B3)F(A|B3)
=0.15×0.02+ 0.80×0.01+0.05×0.03
=0.0125.
因此，在倉庫中隨機地取一只元件，它是次品的概率為0.0125.
從上述兩個問題可以看出，某一事件A的發生有各種可能的原因，如問題1中摸得的紅球有三種來源:可能取自1號箱，也可能取自2號箱或3號箱；問題2中取到的次品可能產自第1家元件制造廠，也可能產自第2家元件制造廠或第3家元件制造廠.若A是由原因 Bi(Bi=1,2,…n)所引起，則A發生的概率是
P(ABi)=P(Bi)P(A|Bi)
由于每一個原因都 可能導致A發生，且各原因涵蓋所有可能的情形并彼此互斥,故事件A發生的概率是各原 因引起A發生概率的總和，即
設Ω是試驗E的樣本空間，B1，B2，…,Bn為樣本空間的一組事件，若
(1)BiBj= ，其中i≠j(i,j=1,2,…,n),
(2)B1∪B2∪…∪Bn=Ω
則稱B1,B2,…Bn為樣本空間的一個劃分.
條件(1)表示每次試驗B1,B2,…Bn中只能發生一個；
條件(2)表示每次試驗B1,B2,…Bn必有發生一個.
全概率公式
例1 釆購員要購買某種電器元件一包(10個).他的采購方法是:從一包中隨機抽查 3個，如這3個元件都是好的，他才買下這一包.假定含有4個次品的包數占30%,而其余包中各含1個次品，求采購員隨機挑選一包拒絕購買的概率.
從而由全概率公式，可知
因此，釆購員隨機挑選一包
拒絕購買的概率為 .
變式： 某學校有 A，B兩家餐廳，王同學第1天午餐時隨機地選擇一家餐廳用餐. 如果第1天去A餐廳，那么第2天去A餐廳的概率為0.6；如果第1天去B餐廳，那么第2天去A餐廳的概率為0.8. 計算王同學第2天去A餐廳用餐的概率.
設A1＝“第1天去A餐廳”, B1＝“第1天取B餐廳”, A2＝“第2天去A餐廳”, 則
解：
例2 甲、乙、丙三人同時對飛機進行射擊，三人擊中的概率分別為0.4，0.5，0.7.飛機被一人擊中且擊落的概率為0.2,被兩人擊中且擊落的概率為0.6，若三人都擊中，飛機必定被擊落，求飛機被擊落的概率.
解 設事件A表示“飛機被擊落”，事件Bi表示“飛機被i人擊中”(i=0,1,2,3)，則B0，構成樣本空間的一個劃分，且依題意，P(A|B0)=0，P(A|B1)=0.2,P(A|B2)=0.6, P(A|B3) = 1.
再設事件Hi表示“飛機被第i人擊中”i=1，2，3).
則
同理
由全概率公式，可知
因此,飛機被擊落的概率為0.458.
運用全概率公式的一般步驟如下：
（1）求出樣本空間Ω的一個劃分B1，B2，…，Bn；
（2）求P(Bi）(i=l，2，…，n)；
（3）求P(A|Bi） （i=l，2，…,n)；
（4）求目標事件的概率P(A).
可以形象地把全概率公式看成“由原因推結果”，每個原因對結果的發生有一定的“作用”，即結果發生的可能性與各種原因的“作用”大小有關.全概率公式表達了它們之間的關系.
總結
在實際中，還有一類問題是“已知結果求原因".這類問題更為常見，它所求的是條件概率，是已知某結果發生條件下，探求各原因發生的可能性大小.
例3 如圖,有三個箱子，分別編號為1，2，3，其中 1號箱裝有1個紅球和4個白球，2號箱裝有2個紅球和3個白球，3號箱裝有3個紅球，這些球除顏色外完全相同.某人先從三箱中任取一箱,再從中任意摸出一球，發現是紅球，求該球是取自1號箱的概率以及該球取自幾號箱的可能性最大.
解設事件Bi表示“球取自i號箱”(i=1，2，3)，
事件A表示“取得紅球”.
由全概率公式，可得
P(A) = P(B1)F(A|B1)+F(B2)F(A|B2)+F(B3)P(A|B3)
再由條件概率知，
因此，該球是取自1號箱的概率為 ,該球取自3號箱的可能性最大.
解
＝ 0.6
變式1：一個盒子中有６只白球、４只黑球，從中不放回地每次任取１只，連取２次，求第二次取到白球的概率
A={第一次取到白球} B={第二次取到白球}
變式2： 商店銷售一批收音機10臺,其中3臺次品,但是已經售出2臺,問從剩下的收音機中,任取一臺為正品的概率是多少
解: 設A1表示售出的兩臺均為正品,A2表示售出的兩臺為一件正品和一件次品,A3表示售出的兩臺均為次品,則A1,A2,A3是完備事件組.
設B表示從剩下的收音機中任取一臺為正品,
變式3： 設播種用麥種中混有一等，二等，三等，四等四個等級的種子，分別各占95.5％，2％，1.5％，1％，用一等，二等，三等，四等種子長出的穗含50顆以上麥粒的概率分別為0.5，0.15，0.1，0.05，求這批種子所結的穗含有50顆以上麥粒的概率．
解
設從這批種子中任選一顆是一等，二等，三等，四等種子的事件分別是Ａ1，Ａ2，Ａ3，Ａ4，則它們構成完備事件組，又設Ｂ表示任選一顆種子所結的穗含有50粒以上麥粒這一事件，則由全概率公式：
＝95.5％×0.5＋2％×0.15＋1.5％×0.1＋1％×0.05
＝0.4825
【抽象概括】
設B1，B2，…，Bn為樣本空間Ω的一個劃分，若P(A)>0,P(Bi)>0（i=l,2,…，n),則
稱上式為貝葉斯(Bayes)公式.
該公式于1763年由貝葉斯給出.它是在觀察到事件人已發生的條件下，尋找導致人發生的每個原因的概率,貝葉斯公式的思想就是“執果溯因" .
例4 設驗血診斷某種疾病的誤診率僅為5％，即若用A表示驗血陽性，B表示受驗者患病，則
若有10000人受檢，患病者僅50人，其中驗血陽性約47.5人
而9950健康人中，驗血陽性者為9950×0.05＝497.5人
變式1 設某工廠有甲、乙、丙三個車間生產同一種產品，已知各車間的產量分別占全廠產量的25 %， 35%， 40%，而且各車間的次品率依次為 5% ，4%， 2%．現從待出廠的產品中檢查出一個次品，試判斷它是由甲車間生產的概率．
解
設Ａ1 ，Ａ2 ，Ａ3 分別表示產品由甲、乙、丙車間生產，Ｂ表示產品為次品． 顯然，Ａ1 ，Ａ2 ，Ａ3 構成完備事件組．依題意，有
Ｐ(Ａ1)＝ 25% , Ｐ(Ａ2)= 35% , Ｐ(Ａ3)＝ 40%,
Ｐ(Ｂ|Ａ1)＝ 5% , Ｐ(Ｂ|Ａ2)＝4% , Ｐ(Ｂ|Ａ3)＝ 2%
Ｐ(Ａ1|Ｂ)＝
變式2 已知在所有男子中有5%，在所有女子中有0.25%患有色盲癥。隨機抽一人發現患色盲癥，問其為男子的概率是多少？（設男子和女子的人數相等）。
解
設 A表示抽到的為男子，B表示抽到的是女子。
則
C表示抽到的人有色盲癥。
由Bayes公式有
解：
1. 兩批同種規格的產品，第一批占 40%，次品率為5%；第二批占60%，次品率為4%. 將兩批產品混合，從混合產品中任取1件.
(1) 求這件產品是合格品的概率；
(2) 已知取到的是合格品，求它取自第一批產品的概率.
設A＝“取到合格品”, Bi＝“取到的產品來自第i批”(i＝1, 2), 則
鞏固練習
解：
2. 現有12道四選一 的單選題，學生張君對其中9道題有思路，3道題完全沒有思路. 有思路的題做對的概率為0.9，沒有思路的題只好任意猜一個答案，猜對答案的概率為0.25. 張君從這12道題中隨機選擇1題，求他做對該題的概率.
追問：若他做對了該題, 求他選擇的是完全沒有思路的題的概率.
*
4.在數字通信中，信號是由數字0和1組成的序列.由于隨機因素的干擾，發送的信號0或1有可能被錯誤地接收為1或0.已知發送信號0時,接收為0和1的概率分別為0.9和0.1；發送信號1時，接收為1和0的概率分別為0.95和0.05. 假設發送信號0和1是等可能的.
(1) 分別求接收的信號為0和1的概率；
(2) 已知接收的信號為0，求發送的信號是1的概率.
發送0(A)
接收0(B)
4.在數字通信中，信號是由數字0和1組成的序列.由于隨機因素的干擾，發送的信號0或1有可能被錯誤地接收為1或0.已知發送信號0時,接收為0和1的概率分別為0.9和0.1；發送信號1時，接收為1和0的概率分別為0.95和0.05. 假設發送信號0和1是等可能的.
(1) 分別求接收的信號為0和1的概率；
(2) 已知接收的信號為0，求發送的信號是1的概率.
解:
4.在數字通信中，信號是由數字0和1組成的序列.由于隨機因素的干擾，發送的信號0或1有可能被錯誤地接收為1或0.已知發送信號0時,接收為0和1的概率分別為0.9和0.1；發送信號1時，接收為1和0的概率分別為0.95和0.05. 假設發送信號0和1是等可能的.
(1) 分別求接收的信號為0和1的概率；
(2) 已知接收的信號為0，求發送的信號是1的概率.
解：
P( A|B)
=
P( A)P(B| A)
P(B)
0.475
=
0.5×0.05
=
1
19
*
由因求果
執果尋因
1.設事件
2.寫概率
3.代公式
全概率公式　
P(B)＝P(BA1)＋P(BA2)＋…＋P(BAn)
=P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋…＋P(An)P(B|An)
條件概率P(B|A)＝ →
*貝葉斯公式
課堂小結
乘法公式P(AB)＝P(A)P(B|A)

展開更多......

收起↑