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6.4 第1課時
新授課
二項分布
1.通過具體實例，了解n重伯努利試驗的概念.
2.掌握二項分布及其數字特征，并能解決簡單的實際問題.
知識點一：n重伯努利試驗的概念
某射擊運動員進行了4次射擊，假設每次射擊命中目標的概率都為 ，且各次命中目標與否是相互獨立的.用X表示這4次射擊中命中目標的次數，如何表示X的分布列和均值呢？
命中目標
沒有命中目標
X的可能取值為
0,1,2,3,4.
用事件Ak(k=1,2,3,4)表示“第k次射擊命中目標”，
用事件Bk(k=0,1,2,3,4)表示“運動員進行4次射擊，命中目標k次”.
當X=0,即4次都沒有命中目標(事件B0發生)時，由于 ,每次射擊都是獨立的，從而
當X=1,即4次恰有1次命中目標(事件B1發生)時，由于
，從而
當X=k(k=0,1,2,3,4)時，4次射擊中有k次命中目標，有(4-k)次沒有命中目標(事件Bk發生)，這包含 種情況 ,根據互斥事件的概率加法公式和相互獨立事件的概率乘法公式，可得
X的分布列就可以寫成如表的形式：
X 0 1 2 3 4
P
在上面的問題中，將一次射擊看成做了一次試驗，思考并回答下列問題：
(1)一共進行了幾次試驗？每次試驗有幾種可能的結果？
(2)如果將每次試驗的兩種結果分別稱為“成功”（命中目標）和“失敗”（沒有命中目標），那么每次試驗成功的概率是多少？它們相同嗎？
(3)各次試驗是否相互獨立？在隨機變量X的分布列的計算中，獨立性具體應用在哪里？
(1)4次；2種.
(2)成功的概率是 ；相同.
(3)相互獨立.
概念生成
一般地，在相同條件下重復做n次伯努利試驗，且每次試驗的結果都不受其他試驗結果的影響，稱這樣的n次獨立重復試驗為n重伯努利試驗.
一般地，在n重伯努利試驗中，用X表示這n次試驗中成功的次數，且每次成功的概率均為p，則X的分布列可以表示為
若一個隨機變量X的分布列如上所述，則稱X服從參數為n，p的二項分布，
簡記為X~B(n，p)
注：兩點分布是二項分布在參數n=1時的特殊情況.
練一練
下列隨機變量X服從二項分布嗎？如果服從二項分布,其參數n,p分別是什么？
(1)拋擲n枚均勻的相同骰子，X表示“擲出的點數為1”的骰子數；
(2)n個新生嬰兒，X表示男嬰的個數；
(3)某產品的次品率為p,X表示n個產品中的次品的個數；
(4)女性患色盲的概率為0.25%，X表示任取n個女性中患色盲的人數.
(2)X~B(n, )；
(3)X~B(n, p)；
(4)X~B(n, 0.0025).
解：(1)X~B(n, )；
判斷隨機變量X是否服從二項分布的方法：
歸納總結
(1)要看該試驗是不是在相同的條件下可以重復進行.
(2)每次試驗相互獨立，互不影響.
例1 某公司安裝了3臺報警器，它們彼此獨立工作，且發生險情時每臺報警器報警的概率均為0.9.求發生險情時，下列事件的概率：
(1)3臺都沒報警；(2)恰有1臺報警；(3)恰有2臺報警；
(4)3臺都報警；(5)至少有2臺報警；(6)至少有1臺報警.
解:設X表示在發生險情時3臺報警器中報警的臺數，由題意知X~B(3,0.9),它的
分布列為
P(X=k)= (k=0,1,2,3),
k 0 1 2 3
P(X=k) 0.001 0.027 0.243 0.729
如表：
(1)3臺都沒報警的概率為P(X=0)=0.001;
(5)至少有2臺報警的概率為P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=0.243+0.729=0.972;
(2)恰有1臺報警的概率為P(X=1)=0.027;
(6)至少有1臺報警的概率為P(X≥1)=1-P(X=0)=1-0.001=0.999.
(3)恰有2臺報警的概率為P(X=2)=0.243;
(4)3臺都報警的概率為P(X=3)=0.729;
例2 一批產品中，次品率為 .現連續抽取4次，每次抽取1件產品，用隨機變量ξ表示抽取的次品的件數，求Eξ和Dξ.
解:由題意知 ,它的分布列為
k 0 1 2 3 4
P(ξ=k)
如表：
一般地，若隨機變量X~B(n,p)，則
歸納總結
特殊地，若隨機變量X服從參數為p的兩點分布，則
EX=np,DX=np(1-p).
EX=P,DX=p(1-p).
某廣場上有4盞裝飾燈，晚上每盞燈都隨機地閃爍紅燈或綠燈，每盞燈出現紅燈的概率都是 ，出現綠燈的概率都是 .記這4盞燈中出現紅燈的數量為ξ，當這4盞裝飾燈閃爍一次時：
(1)求ξ的均值；(2)求ξ的方差.
練一練
解：∵ξ服從二項分布，即X~B(4, )，
∴Eξ= Dξ=
解：設X為5臺機床中正常工作的臺數，則X服從參數為n=5,p=0.2的二項分布，即
例3 某車間有5臺機床，每臺機床正常工作與否彼此獨立，且正常工作的概率均為0.2.設每臺機床正常工作時的電功率為10kW,但因電力系統發生故障現總功率只能為30kW,問此時車間不能正常工作的概率有多大(結果精確到0,001)
分析:如果令X為5臺機床中正常工作的臺數，那么X服從二項分布嗎？如果服從，其參數n，p分別是什么？
由題意可得:P(X≥4)=P(X=4)+P(X=5)
二項分布的實際應用類問題的求解步驟:
(1)根據題意設出隨機變量.
(2)分析隨機變量服從二項分布.
(3)求出參數n和p的值.
(4)根據二項分布的相關計算公式求解.
歸納總結
已知一批豌豆種子的發芽率為0.9，假設每顆種子是否發芽相互獨立.
(1)設10顆豌豆種子播種后發芽的種子數為X，求X＝8的概率及X的均值(結果精確到0.1)；附：0.98≈0.430.
(2)試問每穴至少要播種幾顆種子，才能確保每穴至少有1顆發芽的概率不低于0.999
練一練
解：(1)依題意得X～B(10,0.9)，
則
EX＝10×0.9＝9.
已知一批豌豆種子的發芽率為0.9，假設每顆種子是否發芽相互獨立.
(2)試問每穴至少要播種幾顆種子，才能確保每穴至少有1顆發芽的概率不低于0.999
解：(2)設每穴至少要播種n顆種子，才能確保每穴至少有1顆發芽的概率不低于0.999，
則1-(1-0.9)n＝1-0.1n≥0.999，
則0.1n≤0.001，
解得：n≥3，
故每穴至少要播種3顆種子，才能確保每穴至少有1顆發芽的概率不低于0.999.
針對本節課所學內容，說說你都學到了哪些知識？
二項分布
X的分布列：
若隨機變量X~B(n,p)，則EX=np,DX=np(1-p)
二項分布記為：X~B(n，p)
若隨機變量X服從參數為p的兩點分布，則EX=p,DX=p(1-p)

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