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(共12張PPT)
3.1.2 空間兩點(diǎn)間的距離公式
新授課
1.了解推導(dǎo)空間兩點(diǎn)間的距離公式的過程.
2.會用空間兩點(diǎn)間的距離公式求空間中兩點(diǎn)間的距離.
距離是幾何中的基本度量，幾何問題和一些實際問題經(jīng)常涉及距離.兩點(diǎn)間的距離也就是以這兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的長度.
思考：在空間直角坐標(biāo)系中，兩點(diǎn)間的距離與兩點(diǎn)的坐標(biāo)有何關(guān)系
知識點(diǎn)：空間兩點(diǎn)間的距離公式
在空間直角坐標(biāo)系中，給定P(x1,y1,z1)，Q(x2,y2,z2)兩點(diǎn).
特殊情況：若其中一點(diǎn)為原點(diǎn)，不妨設(shè)點(diǎn)Q為原點(diǎn)O，過點(diǎn)P分別作與三條坐標(biāo)軸垂直的平面，則被各坐標(biāo)平面所截可得長方體A1P1C1O-APCB(如圖1)，且長方體的棱長滿足|OA1|=|x1|，|OC1|=|y1|，|OB|=|z1|.
圖1
由圖1可知，P，O兩點(diǎn)間的距離就是長方體A1P1C1O-APCB的對角線PO的長度.
根據(jù)長方體對角線的長與各棱長的關(guān)系，得|PO|2=|OA1|2+|OC1|2+|OB|2,
即
由上述方法得到啟發(fā)：空間中兩點(diǎn)間的距離可以轉(zhuǎn)化為長方體對角線的長度.
圖1
一般情況：對于空間任意P,Q兩點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作與三條坐標(biāo)軸垂直的平面，過點(diǎn)Q也分別作與三條坐標(biāo)軸垂直的平面(如圖2)，
當(dāng)這六個平面均不重合時，它們圍成一個長方體PCBA-EFQD，且長方體的各棱所在的直線均與某條坐標(biāo)軸平行或重合.
由圖易知，C，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1,y2,z1)，(x2,y2,z1)，
∵CB平行于x軸，∴|CB|=|x2-x1|.
同理有|PC|=|y2-y1|，|BQ|=|z2-z1|.
圖2
圖2
∴|PQ|2=|CB|2+|PC|2+|BQ|2，
即
當(dāng)這六個平面中至少有兩個平面重合時，不妨設(shè)垂直于軸的兩個平面重合(z1=z2)，作出其余四個平面與xOy平面的交線(如圖3).
易證明：四邊形PQQ1P1為矩形或線段PQ與P1Q1重合，∴|PQ|=|P1Q1|.
圖3
圖3
由圖3易知，P1，Q1兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1,y1,0)，(x2,y2,0)，
再根據(jù)平面上兩點(diǎn)間的距離公式，有
于是仍有
概念講解
已知空間中P(x1,y1,z1)，Q(x2,y2,z2)兩點(diǎn)，則P，Q兩點(diǎn)間的距離為
這就是空間兩點(diǎn)間的距離公式.
思考交流：方程x2+y2+z2=1表示什么圖形？
解：∵x2+y2+z2=1，
∴方程x2+y2+z2=1表示以原點(diǎn)O為球心，以1為半徑的球面.
例1:給定空間直角坐標(biāo)系，在x軸上找一點(diǎn)P，使它與點(diǎn)P0(4,1,2)的距離為
解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是(x,0,0)，由題意，得|P0P|=
∴(x-4)2=25，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(9,0,0)或(-1,0,0).
即
解得x=9或x=-1.
練一練
1.設(shè)點(diǎn)P在x軸上，它到P1 的距離是到點(diǎn)P2(0,1,-1)的距離的2倍，求點(diǎn)P的坐標(biāo).
解：∵P在x軸上，∴設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x,0,0)，
∴x＝±1，
∵|PP1|＝2|PP2|，
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為(1,0,0)或(-1,0,0).
空間兩點(diǎn)間距離公式是什么？回顧其推導(dǎo)過程.

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