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(共13張PPT)
3.3.1 空間向量基本定理
新授課
1.理解并掌握空間向量基本定理及其意義.
2.會用一組基表示空間向量.
回顧平面向量基本定理，如果a，b是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于該平面內的任一向量p，有且只有一對實數x，y，使p＝xa＋yb.若a，b不共線，我們把{a，b}叫作表示這一平面內所有向量的一組基.
類似地，任意一個空間向量p能否用任意三個不共面的向量a，b，c表示呢？
a
b
c
p
知識點：空間向量基本定理
如圖，過空間任意一點O作
∵向量a,b,c不共面，∴O,A,B,C四點不共面.
作
當點P不在直線OC上時，過點P作與OC平行的直線交平面AOB于點Q，則
故存在實數z，使得
P
A
B
C
O
Q
a
b
c
p
在平面AOB內，由平面向量基本定理可知：
從而，存在唯一的三元有序實數組(x，y，z)，使得
當點P在直線OC上，則p∥c，故存在唯一的實數x，使得p=zc.
從而也存在唯一的三元有序實數組(x，y，z)=(0，0，z)，使得p=xa+yb+zc.
存在唯一的有序實數對(x，y)，使得
P
A
B
C
O
Q
概念講解
空間向量基本定理：如果向量a,b,c是空間三個不共面的向量，p是空間任意一個向量，那么存在唯一的三元有序實數組(x,y,z)，使得p= xa+ yb+zc．
{a, b, c}
基
基向量
如果三個向量a,b,c不共面，那么所有空間向量組成的集合就是{p|p= xa+ yb+zc，x,y,z∈R}．這個集合可看作由向量a,b,c生成的．
空間任意三個不共面的向量都可以構成空間的一個基
如何證明其唯一性呢？
下面證明空間向量基本定理中三元有序實數組的唯一性.
證明：假設還有另一個三元有序實數組(x'，y'，z')也滿足p=x'a+y'b+z'c，
則0=(x-x')a+(y-y')b+(z-z')c.
也就是說，向量a可以被向量b，c線性表示，
不難得出，此時向量a應該與向量b，c共面，這與a，b，c是空間三個不共面的向量矛盾，
∴x=x'，同理可得y=y'，z=z'，
∴空間向量基本定理中三元有序實數組具有唯一性.
不妨設x≠x'，則
練一練
1.設p：a，b，c是三個非零向量；q：{a，b，c}為空間的一組基，則p是q的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
解：當非零向量a，b，c不共面時，{a，b，c}可以當一組基，否則不能當，當{a，b，c}為一組基時，一定有a，b，c為非零向量.
因此p q，q p.
B
2.(多選)若{a，b，c}是空間一組基，則下列各組中能構成空間的一組基的是( )
A.{a,2b,3c} B.{a＋b，b＋c，c＋a}
C.{a＋b＋c，b＋c，c} D.{a＋2b,2b＋3c,3a－9c}
解：∵{a，b，c}是空間的一組基，∴a，b，c不共面，
練一練
∴這三個向量是共面向量，故不能構成空間的一組基.
對于D，{a＋2b,2b＋3c,3a－9c}滿足3a－9c＝3[(a＋2b)－(2b＋3c)]，
對于A，B，C選項，每組都是不共面的向量，能構成空間的一組基；
ABC
解：∵點M是 A'B'C'D'的對角線的交點，
例1:如圖，在平行六面體ABCD-A'B'C'D'中，點M是 A'B'C'D'的對角線的交點，點N是棱BC的中點.如果 試用a，b，c表示
又
用一組基表示向量的步驟
(1)定基：根據已知條件，確定三個不共面的向量構成空間的一組基.
(2)找目標：用確定的基(或已知基)表示目標向量，需要根據三角形法則及平行四邊形法則，結合相等向量的代換、向量的運算進行變形、化簡，最后求出結果.
(3)下結論：利用空間向量的一組基{a，b，c}可以表示出空間所有向量.表示要徹底，結果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量.
歸納總結
練一練
解：
3.如圖，M是四面體OABC的棱BC的中點，點N在線段OM上，點P在線段AN上，且 用向量 表示
A
B
M
N
P
O
C
根據今天所學，回答下列問題：
1.空間向量基本定理是什么？
2.用一組基表示向量的步驟是什么？

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