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(共12張PPT)
3.4.1 第1課時(shí)
新授課
直線的方向向量與直線的向量表示
1.能用向量語言表述直線.
2.理解直線的方向向量，并會(huì)求直線的方向向量.
3.理解點(diǎn)在直線上的充要條件.
知識(shí)點(diǎn)：直線的方向向量與直線的向量表示
問題2：在空間中，怎樣可以確定一條直線？
問題1：在空間中，如何用向量表示空間中的一個(gè)點(diǎn)？
兩點(diǎn)可以確定一條直線；
直線上的一點(diǎn)及這條直線的方向也可以確定一條直線.
在空間中取一個(gè)定點(diǎn)O，那么空間中任意一點(diǎn)P的位置就可以用向量 來表示，向量 就是點(diǎn)P的位置向量.
概念講解
1.設(shè)點(diǎn)A，B是直線l上不重合的任意兩點(diǎn)，稱 為直線l的方向向量.
注意：
(1) 空間中，一個(gè)向量成為直線l的方向向量，必須具備兩個(gè)條件：①是非零向量；②向量所在的直線與l平行或重合.
(2)與直線l平行的任意非零向量a都是直線的方向向量，且直線l的方向向量有無數(shù)個(gè).
2.已知點(diǎn)M是直線l上的一點(diǎn)，非零向量a是直線l的一個(gè)方向向量，
反之，由幾何知識(shí)不難確定，滿足上式的點(diǎn)P一定在直線l上，因此，我們把這個(gè)式子稱為直線l的向量表示.
那么對(duì)于直線l上的任意一點(diǎn)P，一定存在實(shí)數(shù)t，使得
練一練
1.(多選)若M(1,0,-1)，N(2,1,2)在直線l上，則直線l的方向向量是( )
A.(2,2,6) B.(1,1,3)
C.(3,1,1) D.(-3,0,1)
解：∵M(jìn)，N在直線l上，
故向量(1,1,3)，(2,2,6)都是直線l的方向向量.
AB
例1:在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(4,2,0)，B(1,3,3)，點(diǎn)E是線段AB上的一點(diǎn)，且AE= AB，求點(diǎn)E的坐標(biāo).
解：設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(x1,y1,z1).由題意可知
即
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為
解得
例2:在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(1,1,0)，B(2,3,3)，C(0,1,2)，點(diǎn)D為直線AB上的一點(diǎn)，且CD⊥AB，求
解：依題意知
∴存在實(shí)數(shù)λ，使得
則
∵點(diǎn)D是直線AB上的一點(diǎn)，
∵CD⊥AB，
即
解得
2.已知空間三點(diǎn)O(0,0,0)，A(-1,1,0)，B(0，1,1)，在直線OA上有一點(diǎn)H滿足BH⊥OA，求點(diǎn)H的坐標(biāo).
且點(diǎn)H在直線OA上，可設(shè)H(-λ，λ，0)，
又BH⊥OA，
即(-λ，λ-1，-1)·(-1,1,0)＝0，
解：由題意得
則
練一練
解得
例3:求證：點(diǎn)P在直線AB上的充要條件是對(duì)空間任意一個(gè)確定的點(diǎn)O，存在實(shí)數(shù)t使得
證明：如圖，根據(jù)直線的向量表示可知點(diǎn)P在直線AB上等價(jià)于存在實(shí)數(shù)t，使得
整理得
P
A
B
O
同時(shí)這也是P,A,B三點(diǎn)共線的充要條件.
解：若G，M，N三點(diǎn)共線，
練一練
解得
3.在四面體OABC中，點(diǎn)M，N分別為OA，BC的中點(diǎn)，若 ，且G，M，N三點(diǎn)共線，求x+y.
則存在實(shí)數(shù)λ使得
成立.
回顧本節(jié)課所學(xué)知識(shí)：
1.直線的方向向量及應(yīng)用.
2.直線的向量表示.
3.點(diǎn)在直線上的充要條件.

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