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3.3.2 第1課時
新授課
空間向量運算的坐標表示及應用
1.掌握空間向量的坐標表示及其運算.
2.理解空間向量平行與垂直的條件.
知識點1：空間向量運算的坐標表示
在空間直角坐標系O-xyz中，分別沿x軸、y軸、z軸正方向作單位向量i，j，k，這三個互相垂直的單位向量就構成空間向量的一組基{i，j，k}，這組基叫作標準正交基.
根據空間向量基本定理，對于任意一個向量p，都存在唯一的三元有序實數組(x，y，z)，使得p=xi+yj+zk.
反之，任意給出一個三元有序實數組(x，y，z)，也可找到唯一的一個向量p=xi+yj+zk與之對應.
x
i
j
O
k
y
z
這樣，就在空間向量與三元有序實數組之間建立了一一對應的關系，把三元有序實數組(x，y，z)叫作向量p在標準正交基{i，j，k}下的坐標，記作
p=(x，y，z).
單位向量i，j，k都叫作坐標向量.
xi，yj，zk實際上分別是向量p在i，j，k方向上所作的投影向量，
x，y，z分別是向量p在i，j，k方向上所作投影向量的數量.
在空間直角坐標系O-xyz中，對于空間任意一個向量p，一定可以把它平移，使它的起點與原點O重合，得到向量
若點P的坐標為(x，y，z)，由空間向量的加法不難得出
=xi+yj+zk(如圖)，于是向量 的坐標也是(x，y，z).
向量p的坐標恰是點P在空間直角坐標系O-xyz中的坐標(x，y，z).
x
i
j
O
k
y
z
P
若點A的坐標為(x1，y1，z1)，點B的坐標為(x2，y2，z2)，
則
也就是說：一個向量在空間直角坐標系中的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標.
練一練
∴C1的坐標為(0,3,2).
1.如圖所示，以長方體ABCD－A1B1C1D1的頂點D為坐標原點，過D的三條棱所在的直線為坐標軸，建立空間直角坐標系，若 的坐標為(4,3,2)，則C1的坐標是( )
A.(0,3,2) B.(0,4,2)
C.(4,0,2) D.(2,3,4)
解：∵ 的坐標為(4,3,2)，D為坐標原點，
∴B1的坐標為(4,3,2)，
∴BC＝4，DC＝3，CC1＝2，
A
設向量a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2)，
根據向量數量積的分配律，以及i·i=j·j=k·k=1，i·j=j·k=i·k=0,
即可得出
因此，空間兩個向量的數量積等于它們對應坐標的乘積之和.
設向量a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2)，根據空間向量的運算法則，不難得到：
例1:已知向量a=(-1,-3,2)，b=(1,2,0),求：
(1) 2a； (2)(a+2b)·(-2a+b).
解：(1)2a=2(-1,-3,2)=(-2,-6,4).
(2)∵a+2b=(-1,-3,2)+2(1,2,0)=(-1,-3,2)+(2,4,0)=(1,1,2)，
-2a+b=-2(-1,-3,2)+(1,2,0)=(2,6,-4)+(1,2,0)=(3,8,-4)；
∴(a+2b)·(-2a+b)=(1,1,2)·(3,8,-4)=1×3+1×8+2×(-4)=3.
練一練
2.已知a＝(-1,2,1)，b＝(2,0,1)，則(2a+3b)·(a-b)＝ .
解：易得2a+3b＝(4,4,5)，a-b＝(-3,2,0)，
-4
則(2a+3b)·(a-b)＝4×(-3)+4×2+5×0＝-4.
知識點2：空間向量平行(共線)和垂直的條件
我們知道，當b≠0時，
如果設向量a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2)，那么當b≠0時，
a∥b 使得a=λb.
a∥b 使得
當b與三個坐標平面都不平行(即x2y2z2≠0)時，
a∥b
類似地，可得
a⊥b a·b=0 x1x2+y1y2+z1z2=0.
練一練
3.判斷下列每對向量是否平行，若平行，請將向量a用向量b表示：
(1)а=(1,2,1)，b=(1,2,-1)；
(2)а=(-2,-4,2)，b=(1,2,-1)；
(3)а=(2,1,1)，b=(4,2,2)；
(4)а=(1,1,0)，b=(-1,-1,0).
不平行
平行，a=-2b
平行，a=-b
平行，a= b
練一練
4.判斷下列每對向量是否垂直：
(1)а=(0,1,2)，b=(1,2,-1)；
(2)а=(-2,2,2)，b=(1,2,-1)；
(3)а=(-2,1,1)，b=(0,2,-2)；
(4)а=(1,1,0)，b=(-1,0,-1).
垂直
垂直
不垂直
垂直
回顧本節課所學知識：
1.空間向量坐標表示.
2.空間向量坐標的運算.
3.空間向量平行與垂直的坐標表示.

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