資源簡介

(共15張PPT)
3.3.2 第2課時
新授課
空間向量運算的坐標表示及應用
1.進一步熟悉空間向量的坐標表示.
2.能利用空間向量的坐標解決一些簡單的長度與夾角問題.
復習回顧：空間向量運算的坐標表示有哪些？
設向量a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2)，則
知識點：空間向量的長度與夾角的坐標表示
設向量a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2)，根據空間向量運算的坐標表示，可以得到：
若點A的坐標為(a1，b1，c1)，點B的坐標為(a2，b2，c2)，
則
例1:已知空間三點A(1,0,0)，B(3,1,1)，C(2,0,1)，求線段AB的長和∠BAC的大小.
解：
又∵兩個向量的夾角取值范圍為[0，π]，
歸納總結
1.求空間中線段的長度即對應空間向量的模，因此空間兩點間的距離公式就是空間向量模的計算.
2.(1)〈a，b〉∈[0，π].
(2)空間兩直線夾角可轉化為兩向量的夾角，設直線AB與CD所成的角為θ，則
練一練
1.已知A(1,0,1)，B(1,1,1)，C(2,3,2)，D(0,2,3)，寫出向量
的坐標，并求出它們的長度.
2.已知空間向量a＝(0,1,1)，b＝(-1,0,1)，則a與b的夾角為 .
解：∵空間向量a＝(0,1,1)，b＝(-1,0,1)，
∴a與b的夾角θ滿足
例2:如圖，三棱柱ABC-A'B'C'中，側棱與底面垂直，CA=CB=1，∠BCA=
棱AA'=2，點M，N分別是A'B'和A'A的中點.
(1)求 ；(2)求 的值；(3)求證：
解：如圖，以點C為原點，CA，CB，CC'所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系.
(1)由題意，得B(0,1,0)，N(1,0,1).
則
例2:如圖，三棱柱ABC-A'B'C'中，側棱與底面垂直，CA=CB=1，∠BCA=
棱AA'=2，點M，N分別是A'B'和A'A的中點.
(1)求 ；(2)求 的值；(3)求證：
(2)由題意,得B(0,1,0)，C(0,0,0)，A'(1,0,2)，B'(0,1,2).
例2:如圖，三棱柱ABC-A'B'C'中，側棱與底面垂直，CA=CB=1，∠BCA=
棱AA'=2，點M，N分別是A'B'和A'A的中點.
(1)求 ；(2)求 的值；(3)求證：
(3)由題意,得A'(1,0,2)，B(0,1,0)，C'(0,0,2)，
歸納總結
空間向量的坐標運算的一般步驟
(1)建系：根據題目中的幾何圖形建立恰當的空間直角坐標系.
(2)求坐標：①求出相關點的坐標；②寫出向量的坐標.
(3)論證、計算：結合公式進行論證、計算.
(4)轉化：轉化為平行與垂直、夾角與距離問題.
練一練
3.在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分別是DD1，BD，BB1的中點.
(1)求證：EF⊥CF；(2)求EF與CG所成角的余弦值.
解：以點D為原點，以 為x，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz，
則
根據今天所學，回答下列問題：
1.如何根據空間向量坐標求長度及夾角？解題時需要注意什么？
2.空間向量的坐標運算的一般步驟有哪些？

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