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(共13張PPT)
3.4.2 第2課時
新授課
用向量方法研究立體幾何中的位置關系
1.理解并掌握三垂線定理及其逆定理.
2.會用空間向量解決立體幾何問題，掌握其一般步驟.
例1:已知：如圖，AB⊥α，垂足為點B，
求證：l⊥AC.
證明：設向量l是直線l的方向向量.
由l⊥BC可知，
本例所證明的結論，通常稱為三垂線定理.這里，直線BC實際上是斜線AC在平面α內的投影.
歸納總結
三垂線定理：若平面內的一條直線與平面的一條斜線在這個平面內的投影垂直，則它也和這條斜線垂直.
類似地可以得到：
三垂線定理的逆定理：若平面內的一條直線和這個平面的一條斜線垂直，則它也和這條斜線在這個平面內的投影垂直.
練一練
1.已知：如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD.
(1)所有棱中，與直線PB垂直的有 ；
(2)PC⊥BD的一個充要條件是 ；
(3)四個側面中，是直角三角形的有 個；
(4)若AB=AD=AP，試在圖中作出平面PDC的一個法向量.
DA，CB
AB=AD
4
在平面PAD中，過點A作AH⊥PD， 即為平面PDC的一個法向量.
H
例2:已知：如圖，直三棱柱ABC-A'B'C'中，
點M，N分別為A'B和B'C'的中點.
(1)求證：MN∥平面A'ACC'；(2)求證：平面CMN⊥平面A'MN.
證明：由直三棱柱ABC-A'B'C'，可知A'A⊥平面ABC.
故以點A為原點，AB，AC，AA'所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系.
又
設AA'=1，
則
例2:已知：如圖，直三棱柱ABC-A'B'C'中，
點M，N分別為A'B和B'C'的中點.
(1)求證：MN∥平面A'ACC'；(2)求證：平面CMN⊥平面A'MN.
∵點M，N分別為A'B和B'C'的中點，
(1)由圖易知 是平面A'ACC'的一個法向量.
∴ ∥平面 A'ACC'.
又∵ 平面A'ACC'，∴MN∥平面A'ACC'.
例2:已知：如圖，直三棱柱ABC-A'B'C'中，
點M，N分別為A'B和B'C'的中點.
(1)求證：MN∥平面A'ACC'；(2)求證：平面CMN⊥平面A'MN.
(2)依題意有
設n1=(x，y，z)是平面CMN的一個法向量，
則
不妨取y=1，得
例2:已知：如圖，直三棱柱ABC-A'B'C'中，
點M，N分別為A'B和B'C'的中點.
(1)求證：MN∥平面A'ACC'；(2)求證：平面CMN⊥平面A'MN.
同理可得平面A'MN的一個法向量
∴平面CMN⊥平面A'MN.
歸納總結
利用空間向量解決立體幾何問題的一般步驟
1.建立適當的空間直角坐標系，求對應點的坐標；
4.把向量運算的結果“翻譯”為幾何結論.
3.運用向量方法求解；
2.用坐標表示空間向量；
練一練
2.如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F分別是BB1，D1B1的中點.求證：EF⊥平面B1AC.
證明：設正方體的棱長為2，建立如圖所示的空間直角坐標系，
設平面B1AC的法向量為n＝(x，y，z)，
則A(2,0,0)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)，E(2,2,1)，F(1,1,2).
練一練
2.如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F分別是BB1，D1B1的中點.求證：EF⊥平面B1AC.
令x＝1，則y＝1，z＝-1，
∴n＝(1,1,-1)，
∴EF⊥平面B1AC.
根據今天所學，回答下列問題：
1.三垂線定理及其逆定理分別是什么？
2.利用空間向量解決立體幾何問題的一般步驟是什么？

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