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3.4.1 第2課時
新授課
平面的法向量及其應用
1.能用向量語言表述平面.
2.理解平面的法向量，并且會求平面的法向量.
3.會應用平面的法向量解決一些簡單的問題.
如果一條直線l與一個平面α垂直，那么就把直線l的方向向量n叫作平面α的法向量，則n⊥α.
知識點1：平面的法向量
如圖，設點M是平面α內給定的一點，向量n是平面α的一個法向量，那么對于平面α內任意一點P，必有
思考：如何用平面的法向量來描述平面內任意一點的位置呢？
①
α
l
M
P
n
反過來，由立體幾何知識可以證明：滿足①式的點P都在平面α內，所以把①式稱為平面α的一個向量表示式.
①
注意：1.平面α的一個法向量垂直于平面α內的所有向量.
2.一個平面的法向量有無限多個，它們相互平行.
練一練
1.若點A(-1,0,1)，B(1,4,7)在直線l上，若l⊥平面α，則平面α的一個法向量為( )
A.(1,2,3) B.(1,3,2)
C.(2,1,3) D.(3,2,1)
A
知識點2：平面的方程
如圖，在空間直角坐標系中，若n=(A,B,C)，點M的坐標為(x0,y0,z0)，則對于平面α內任意一點P(x,y,z)，有
①
代入①式，得
②
即
由此可見，平面α內任意一點P的坐標(x,y,z)都滿足方程②；
反之，以滿足方程②的(x,y,z)為坐標的任意一點也都在平面α內.
所以方程②叫作平面α的方程.
②
練一練
2.寫出經過A(3,2,1)且與直線l的方向向量n＝(-1,3,4)垂直的平面α的方程.
解：由題意知平面α的法向量為n＝(-1,3,4)，
即x-3y-4z+7＝0.
則-x＋3y+4z-7＝0，
則-(x-3)+3(y-2)+4(z-1)＝0，
例1:已知點A(0,1,1)，B(1,2,1)，C(2,1,3)，求平面ABC的一個法向量的坐標.
解：由已知可得
設n=(x,y,z)是平面ABC的一個法向量，
則
不妨取x=1，得y=z=-1.
∴平面ABC的一個法向量的坐標為(1,-1,-1).
即
歸納總結
求平面法向量的方法與步驟
(4)所求出向量中的三個坐標不是具體的值而是比例關系，設定一個坐標為常數(常數不能為0)便可得到平面的一個法向量.
(2)設平面的法向量為n＝(x,y,z)；
(1)求平面ABC的法向量時，要選取平面內兩不共線向量，如
(3)聯立方程組 并求解；
例2:在長方體ABCD-A'B'C'D'中，已知AB=1，AD=2，AA'=3.
(1)在四邊形BCC'B'內是否存在一點N，使得AN⊥平面A'BD？
(2)求證：AC'與平面A'BD的交點恰為線段AC'的三等分點.
(1)解：以點A為原點，AB，AD，AA'所在直線分別為x軸、y軸、z軸，如圖建立空間直角坐標系，
則B(1,0,0)，D(0,2,0)，A'(0,0,3).
設N(1,y,z)是四邊形BCC'B'內一點，
則
例2:在長方體ABCD-A'B'C'D'中，已知AB=1，AD=2，AA'=3.
(1)在四邊形BCC'B'內是否存在一點N，使得AN⊥平面A'BD？
(2)求證：AC'與平面A'BD的交點恰為線段AC'的三等分點.
令
得
解得
∴在四邊形BCC'B'內存在一點 ，使得AN⊥平面A'BD.
(2)分析：要證明AC'與平面A'BD的交點恰為線段AC'的三等分點，可以將直線AC'的方程與平面A'BD的方程聯立求得交點坐標，再驗證其恰為線段AC'的三等分點；也可以先求出線段AC'三等分點的坐標，再驗證其在平面A'BD內.
例2:在長方體ABCD-A'B'C'D'中，已知AB=1，AD=2，AA'=3.
(1)在四邊形BCC'B'內是否存在一點N，使得AN⊥平面A'BD？
(2)求證：AC'與平面A'BD的交點恰為線段AC'的三等分點.
又B(1,0,0)，
化簡，得(6,3,2)·(x-1,y,z)=0，即6x+3y+2z=6.①
設點E為線段AC'的一個三等分點，且滿足
(2)證明：由(1)可知 是平面A'BD的一個法向量；
∴平面A'BD的方程為
例2:在長方體ABCD-A'B'C'D'中，已知AB=1，AD=2，AA'=3.
(1)在四邊形BCC'B'內是否存在一點N，使得AN⊥平面A'BD？
(2)求證：AC'與平面A'BD的交點恰為線段AC'的三等分點.
由
可知
代入方程①檢驗可知，點E的坐標滿足平面A'BD的方程①.
說明：（2）中只展示了第二種證明方法，第一種證明方法請同學們課下完成.
即點E的坐標為
∴AC'的三等分點E在平面A'BD內，即AC'與平面A'BD的交點是線段AC'的三等分點.
6x+3y+2z=6.①
根據今天所學，回答下列問題：
1.什么是平面的法向量？
2.平面的方程是什么？
3. 求平面法向量的方法與步驟是什么？

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