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3.4.3 第1課時
新授課
用向量方法研究立體幾何中的度量關(guān)系
1.會用向量法求線線角、線面角.
2.能正確區(qū)分向量夾角與所求線線角、線面角的關(guān)系.
在必修課程中，我們學(xué)習(xí)過異面直線所成的角，直線與平面相交所成的角，以及兩個平面相交所成的二面角.
那么，在空間中怎樣描述這些角呢？這些角的大小與直線的方向向量、平面的法向量有何關(guān)系？
知識點1：兩條直線所成的角
當(dāng)兩條直線平行時，規(guī)定它們所成的角為0；
當(dāng)兩條直線a與b是異面直線時，
在空間任取一點O，過點O作直線a'和b'，使得a'∥a，b'∥b,
當(dāng)兩條直線a與b相交時，我們把兩條直線交角中范圍在 內(nèi)的角叫作兩條直線所成的角(如圖①)；
a
b
圖①
把a'，b'所成的角叫作異面直線a與b所成的角(如圖②).
圖②
a
b
a'
b'
O
思考1：若向量a，b分別為直線a，b的方向向量，則直線a與b所成的角θ與兩個方向向量所成的角〈a，b〉有怎樣的關(guān)系？
歸納總結(jié)
若向量a，b分別為直線a，b的方向向量，則直線a與b所成的角θ∈
且θ與兩個方向向量所成的角〈a，b〉相等或互補.
也就是說，當(dāng) 時，
當(dāng) 時，
故
cos θ＝|cos〈a，b〉|.
例1:如圖，在空間直角坐標(biāo)系中有長方體ABCD-A'B'C'D'，AB=2，BC=1，AA'=3.求AC'與A'D所成角的余弦值.
解：設(shè)s1，s2分別是AC'和A'D的一個方向向量，取
∵A(0,0,0)，C'(2,1,3)，A'(0,0,3)，D(0,1,0)，
設(shè)AC'與A'D所成角為θ，
故AC'與A'D所成角的余弦值為
則
練一練
1.如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，已知M，N分別是BD和AD的中點，求B1M與D1N所成角的余弦值.
解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為2，
則B1(2,2,2)，M(1,1,0)，D1(0,0,2)，N(1,0,0)，
故AC'與A'D所成角的余弦值為
知識點2：直線和平面所成的角
平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的投影所成的銳角就是這條直線與這
個平面所成的角.
當(dāng)一條直線與一個平面平行或在這個平面內(nèi)時，規(guī)定這條直線與這個平面所成角的大小為0；
當(dāng)一條直線與一個平面垂直時，規(guī)定這條直線與這個平面所成角的大小為
思考2：觀察如圖直線l的一個方向向量l與平面α的一個法向量n兩者的夾角〈l，n〉與直線l和平面α所成的角θ的關(guān)系是什么？
歸納總結(jié)
設(shè)向量l為直線l的一個方向向量，n是平面α的一個法向量，
故
sin θ＝|cos〈l，n〉|.
則直線l與平面α所成的角θ∈
且θ= 或θ=
解：由正三棱柱知AA'⊥平面ABC，故以點A為原點，AC，AA'所在直線分別為y軸、z軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系.
易知n=(1,0,0)是平面ACC'A'的一個法向量.
由△ABC是邊長為2的正三角形，可得
例2:如圖，在正三棱柱ABC-A'B'C'中，底面邊長為2，AA'= ，求直線AB'與側(cè)面ACC'A'所成角的正弦值.
設(shè)直線AB'與側(cè)面ACC'A'所成角為θ，
故直線AB'與側(cè)面ACC'A'所成角的正弦值為
則
例2:如圖，在正三棱柱ABC-A'B'C'中，底面邊長為2，AA'= ，求直線AB'與側(cè)面ACC'A'所成角的正弦值.
歸納總結(jié)
利用平面的法向量求直線與平面夾角的基本步驟
(1)建立空間直角坐標(biāo)系.
(2)求直線的方向向量u.
(3)求平面的法向量n.
(4)設(shè)線面角為θ，則sin θ＝
練一練
解：平面α的一個法向量n=(2,1,1)，直線l的一個方向向量為a=(1,2,3)，
2.若平面α的一個法向量n=(2,1,1)，直線l的一個方向向量為a=(1,2,3)，則l與α所成角的正弦值為( )
A. B. C. D.
∴l(xiāng)與α所成角的正弦值為
B
根據(jù)今天所學(xué)，回答下列問題：
1.如何用向量法求空間內(nèi)的線線、線面夾角？

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