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3.4.2 第1課時
新授課
用向量方法研究立體幾何中的位置關系
1.能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面平行與垂直的關系.
2.理解用向量方法證明直線、平面間的平行與垂直的關系不同思路.
思考：平行和垂直是立體幾何中主要的位置關系，那么如何用向量方法進行研究呢？
知識點：用向量方法研究立體幾何中的位置關系
思考1：由直線與直線的平行關系, 可以得到這兩條直線的方向向量有什么關系呢？
設l，m分別是直線l，m的方向向量，
使得
l
l
m
m
思考2：由直線與平面的平行關系, 可以得到直線的方向向量與平面的法向量有什么關系呢？
設l是直線l的方向向量，n1是平面α的法向量，
l
n1
思考3：由平面與平面的平行關系, 可以得到這兩個平面的法向量有什么關系呢？
設n1，n2分別是平面α，β的法向量，
使得
思考4：如圖，根據直線、平面的位置關系，判斷直線的方向向量、平面的法向量有什么關系？
l⊥m，n1∥l，n1⊥n2.
設向量l，m分別是直線l，m的方向向量，n1，n2分別是平面α，β的法向量，用直線的方向向量和平面的法向量表達下列各種位置關系.
幾何關系 向量語言
l∥m
l∥α
α∥β
l⊥m
l⊥α
α⊥β
思路1 若只從直線的方向向量和平面的法向量入手考慮，設向量l是直線l的方向向量，n1是平面α的法向量，則只需證明l⊥n1.
想一想：請從不同角度用向量方法證明l∥α.
思路2 考慮向量與平面平行的定義，以及平面向量基本定理，從而得到：將直線l的方向向量l用平面α的一組基線性表示，此時必有l∥α.
由此可知，運用向量證明幾何問題的方法，一方面源于立體幾何中定理的向量化表述, 另一方面也需要結合向量自身的特點.
思路3 直接將線面平行的判定定理向量化，找到m α，且直線l與m的方向向量共線.
歸納總結
設向量l，m分別是直線l，m的方向向量，n1，n2分別是平面α，β的法向量，則
l∥m或l與m重合
l∥α或
α∥β或α與β重合
1.設直線l的方向向量是a，平面α的法向量是n，則“a⊥n”是“l∥α”的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
解析：由l∥α，得a⊥n，
則“a⊥n”是“l∥α”的必要條件，
而a⊥n不一定有l∥α，也可能l α，
則“a⊥n”不是“l∥α”的充分條件.
B
練一練
分析：設m是平面α內的任意一條直線.要證明n⊥α，只需證明n⊥m.如何充分運用條件，表達“m是平面α內的任意一條直線”呢？可以考慮將直線m的方向向量用平面α的一組基表示.
α
n
a
b
m
例1:證明“直線與平面垂直的判定定理”：如果一條直線與一個平面內的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直.
已知：如圖，a，b是平面α內的兩條相交直線，直線n⊥a，且n⊥b.
求證：n⊥α.
例1:證明“直線與平面垂直的判定定理”：如果一條直線與一個平面內的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直.
已知：如圖，a，b是平面α內的兩條相交直線，直線n⊥a，且n⊥b.
求證：n⊥α.
證明：設m是平面α內的任意一條直線.
α
n
a
b
m
a，b，m，n依次為直線a，b，m，n的方向向量，
∵直線a，b相交，∴向量a，b不共線.
在平面α內，根據平面向量基本定理可知存在唯一的實數對(x，y)使得m=xa+yb，
∴n·m=xn·a+yn·b.
α
n
a
b
m
∵n⊥a，且n⊥b，
∴n·a=0，n·b=0，
∴n⊥α.
∴n·m=0，故n⊥m.
例1:證明“直線與平面垂直的判定定理”：如果一條直線與一個平面內的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直.
已知：如圖，a，b是平面α內的兩條相交直線，直線n⊥a，且n⊥b.
求證：n⊥α.
練一練
2.證明“平面與平面垂直的判定定理”：若一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直.
已知：如圖， 求證：
證明：取直線l的方向向量u，平面β的法向量n.
∵ ∴u是平面α的法向量.
∵ 而n是平面β的法向量，∴u⊥n.
∴
例2:證明“兩個平面平行的判定定理”：如果一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行.
已知：如圖，a，b是平面α內的兩條相交直線，且a∥β，b∥β.
求證：α∥β.
證明：設向量a，b分別是直線a，b的方向向量.
α
a
b
∵a∥β，b∥β，∴a∥β，b∥β.
設n是平面β的法向量，則n⊥a，n⊥b.
∴n⊥α，∴α∥β.
∵a，b是平面α內的兩條相交直線，
β
n
根據今天所學，完成下列表格：
幾何關系 向量語言
l∥m
l∥α
α∥β
l⊥m
l⊥α
α⊥β
設向量l，m分別是直線l，m的方向向量，n1，n2分別是平面α，β的法向量，則

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