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(共14張PPT)
3.4.3 第2課時
新授課
用向量方法研究立體幾何中的度量關系
1.會用向量法求二面角的大小.
2.能正確區分平面法向量所成的角與二面角的平面角的關系.
知識點1：兩個平面所成的角
問題1：兩個平面所成的角與二面角的平面角有何區別？
我們把這四個二面角中不大于90° 的二面角稱為平面α與平面β所成的角.
平面α與平面β相交，形成四個二面角，
區別：二面角的范圍是[0，π]，而兩個平面所成的角的范圍是
問題2：二面角的平面角與兩平面的法向量所成夾角有何關系？
如圖，過二面角α-l-β內一點P作PA⊥α于點A，作PB⊥β于點B，
設平面PAB交直線l于點O，連接AO，BO，
不難證明：l⊥平面PAB，于是∠AOB就是二面角α-l-β的平面角.
則 (或 )是平面α的一個法向量， (或 )是平面β的一個法向量.
∵在四邊形PAOB中，∠PAO=∠PBO=
歸納總結
一般地，已知n1，n2分別為平面α，β的法向量，則二面角α-l-β的平面角與兩法向量所成角〈n1，n2〉相等(如圖(1))或互補(如圖(2)).
練一練
解析：由于二面角的范圍是[0，π]，而二面角的兩個半平面α與β的法向量都有兩個方向，
1.已知二面角α-l-β的兩個半平面α與β的法向量分別為a，b，若〈a，b〉＝ ，則二面角α-l-β的平面角的大小為( )
A. B. C. 或 D. 或
C
因此二面角α-l-β的平面角的大小為 或
例1:如圖，在空間直角坐標系中有單位正方體ABCD-A'B'C'D'，求二面角
A'-DC-A的平面角.
解：由AA'⊥平面ABCD，可知n1=(0,0,1)是平面ABCD的一個法向量.
∵A'(0,0,1)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，
則
設n2=(x,y,z)是平面A'DC的一個法向量，
即
例1:如圖，在空間直角坐標系中有單位正方體ABCD-A'B'C'D'，求二面角
A'-DC-A的平面角.
∴取n2=(0,1,1)，得
∴平面角為
由圖可知二面角A'-DC-A的平面角為銳角，
練一練
2.如圖所示，點A，B，C分別在空間直角坐標系Oxyz的三條坐標軸上， ＝(0,0,2)，平面ABC的一個法向量為n＝(2,1,2)，二面角O-AB-C的平面角為θ，則cos θ等于( )
A. B. C. D.
B
例2:如圖，已知二面角α-l-β的平面角為 ，點B，C在棱l上，
AB⊥l，CD⊥l，AB=2，BC=1，CD=3，求AD的長.
解：∵AB⊥l，CD⊥l，二面角α-l-β的平面角為
例2:如圖，已知二面角α-l-β的平面角為 ，點B，C在棱l上，
AB⊥l，CD⊥l，AB=2，BC=1，CD=3，求AD的長.
歸納總結
求解與二面角有關的線段長度問題，涉及到的兩直線的方向向量所成的角是二面角的平面角或其補角要結合實際圖形來確定.
練一練
3.如圖，在120°的二面角α-l-β中，A∈l，B∈l，AC α，BD β且AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分別為A，B.已知AC=AB=BD=6，則CD= .
12
根據今天所學，回答下列問題：
1.兩個平面所成的角與二面角的平面角有何區別？
2.二面角的平面角與兩平面的法向量所成夾角有何關系？

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