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3.4.3 第3課時
新授課
用向量方法研究立體幾何中的度量關系
能用向量方法解決點到平面、平行于平面的直線到平面、相互平行的平面間的距離問題.
空間中常見的距離有：兩點間的距離、點到直線的距離、點到平面的距離、相互平行的直線之間的距離、相互平行的平面之間的距離等.計算距離是空間度量最基本的問題，如何用向量方法求解這些距離呢？
問題引入
知識點：點到平面的距離
思考1：點到平面的距離是什么？
點到平面的距離就等于過這點向平面所作垂線段的長度.
思考2：如何利用向量方法求點到平面的距離？
可以通過一個向量在法向量方向上作投影向量的方法來求解距離.
問題：設點P是平面α外一點，點A是平面α內的已知點，n0是平面α的單位法向量，如何求平面α外一點P到平面α的距離？
過點P作PP′⊥平面α，垂足為P′，
則線段PP′的長度就是點P到平面α的距離，
而
∴向量 在法向量n0方向上的投影向量的長度 就等于線段PP′的長度.
歸納總結
點P到平面α的距離，等于點P與平面α內任意一點A連線所得向量 ，在平面α的單位法向量n0方向上所作投影向量的長度，
即
例1:如圖，在空間直角坐標系中有單位正方體ABCD-A'B'C'D'.
(1)求證： 是平面A'BD的一個法向量；(2)求點C'到平面A'BD的距離.
解：(1)依據題意有A'(0,0,1)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，C'(1,1,1).
例1:如圖，在空間直角坐標系中有單位正方體ABCD-A'B'C'D'.
(1)求證： 是平面A'BD的一個法向量；(2)求點C'到平面A'BD的距離.
又A'B，A'D 平面A'BD，A'B∩A'D=A'，
∴ ⊥平面A'BD，即 是平面A'BD的一個法向量.
∴點C'到平面A'BD的距離為
歸納總結
用向量方法求解點到平面的距離問題的一般步驟
1.確定一個法向量；
2.選擇參考向量；
3.確定參考向量在法向量方向上的投影向量；
4.求投影向量的長度.
例2:在單位正方體ABCD-A'B'C'D'中，點M是側面ABB'A'的中心.判斷直線C'M與平面ACD'是否平行.若平行，請證明你的結論，并求直線C'M到平面ACD'的距離；若不平行，請說明理由.
分析：平面ACD'截正方體得一個三角形，如圖.點C'不在該三角形內，所以C'M 平面ACD'.進一步研究二者的位置關系可以考慮平面ACD'的法向量與 是否垂直.
解：以點D為原點，DA，DC，DD'所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系.
由正方體的棱長為1，得
設n=(x,y,z)是平面ACD'的一個法向量，則
取x=1，得y=z=1，故n=(1,1,1).
∴ ∥平面ACD'.
∴C'M∥平面ACD'.
∴直線C'M上任意一點到平面ACD'的距離都相等，都等于直線C'M到平面ACD'的距離.
又C'M 平面ACD'，
例2:在單位正方體ABCD-A'B'C'D'中，點M是側面ABB'A'的中心.判斷直線C'M與平面ACD'是否平行.若平行，請證明你的結論，并求直線C'M到平面ACD'的距離；若不平行，請說明理由.
∴點C'到平面ACD'的距離為
即直線C'M到平面ACD'的距離為
例3:已知向量 ，對任意的實數a，b，當向量 的長度最小時，求a，b的值.
換句話說，當a，b變化時，點M是平面xOy內的動點.
分析：記向量
由平面向量基本定理可知，對任意的a，b，向量 都在 所確定的平面xOy內，
反之，平面xOy內的任意向量都可以用
來表示，
例3:已知向量 ，對任意的實數a，b，當向量 的長度最小時，求a，b的值.
解：如圖，
由點到平面距離的定義，當且僅當n⊥平面xOy時，線段MY的長度最短.
要使向量 的長度最小,也就是線段MY的長度最短.
這時
例3:已知向量 ，對任意的實數a，b，當向量 的長度最小時，求a，b的值.
由
得
解得
∴向量 的長度最小時，
思考交流：怎樣用向量的方法求解平行于平面的直線到該平面的距離、相互平行的兩個平面間的距離？
將“求解平行于平面的直線到該平面的距離、相互平行的兩個平面間的距離的問題”轉化為“求直線或平面上一點到另一平面的距離”.
根據今天所學，回答下列問題：
1.如何求點到平面的距離？距離公式是什么？
2.如何求解平行于平面的直線到該平面的距離、相互平行的兩個平面間的距離？

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