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3.4.3 第4課時
新授課
用向量方法研究立體幾何中的度量關系
經歷點到直線距離公式的推導過程，會用公式解決空間內的距離問題.
回顧：如何求平面內直線l外一點P到直線l距離？請寫出大致思路.
1.綜合幾何法：如圖(1)，過點P作直線l的垂線，垂足為點D1，一般轉化為求三角形的高，即PD1的長度.
2.解析幾何法：如圖(2)，確定點P的坐標及直線l的方程，利用點到直線的距離公式即可得點P到直線l的距離PD2的長度.
3.平面法向量法：如圖(3)，先求出直線l的單位法向量n0，再求向量 在法向量n0方向上的投影向量的長度 即可.
知識點：點到直線的距離
問題1：如圖，設點P是直線l外一定點，l0是直線l的單位方向向量，過點P作直線l的垂線，垂足為點P'，則垂線段PP'的長度就是點P到直線l的距離.如何求這個距離呢
事實上，在平面向量中就是這樣做的.
按照前面的思路，若能求出垂線段PP'的方向向量，則可在直線l上任取一點A，求 在向量 方向上的投影向量的長度即可.
然而在空間中，求垂線段的方向向量較為困難.
然后在Rt△PP'A中運用勾股定理求得|PP'|即可.
但直線l的方向向量已知，所以可先求出 在l0方向上的投影數量，
在Rt△PP'A中，
于是，點P到直線l的距離為
思考：除了這種方法，你還能怎樣推導出點到直線的距離公式呢？
問題2：如圖，設點P是直線l外一定點，l0是直線l的單位方向向量，點A是直線l上任意給定的一點，如何在直線l上找到一點Q，使得|PQ|最小
因此只需求λ的值，使得|PQ|最小即可.
對于直線l上任意一點Q，總存在實數λ，使得
∴ 是關于λ的二次函數.
問題2：如圖，設點P是直線l外一定點，l0是直線l的單位方向向量，點A是直線l上任意給定的一點，如何在直線l上找到一點Q，使得|PQ|最小
當 時， 最小，
最小值為
∴點P到直線l的距離為
利用向量投影求解距離主要是運用距離的幾何屬性，而上述利用距離的最小性求解則主要是運用代數方法.
歸納總結
若點P是直線l外一點，l0是直線l的單位方向向量，點A是直線l上任意給定的一點，則點P到直線l的距離為
注意：相互平行的兩條直線間的距離可以轉化為一條直線上任意一點到另一條直線的距離.
例1:如圖，在空間直角坐標系中有長方體ABCD-A'B'C'D'，AB=1，BC=2，
AA'=3.用向量的方法求點B到直線A'C的距離.
解：依題意有A'(0,0,3)，C(1,2,0)，B(1,0,0).
∴點B到直線A'C的距離為
在 方向上的投影數量為
用向量法求點到直線的距離的一般步驟
1.求直線的方向向量.
2.計算所求點與直線上某一點所構成的向量在直線的方向向量上的投影向量的長度.
3.利用勾股定理求解.另外，要注意平行直線間的距離與點到直線的距離之間的轉化.
歸納總結
練一練
解析：∵A(0,0,2)，B(1,0,2)，C(0,2,0)，
1.已知A(0,0,2)，B(1,0,2)，C(0,2,0) ，則點A到直線BC的距離為( )
A. B.1 C. D.
∴點A到直線BC的距離為
A
根據今天所學，回答下列問題：
1.點到直線的距離公式是什么？如何推導？

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