資源簡介

(共13張PPT)
第五章 計數(shù)原理
5.1.3 基本計數(shù)原理的簡單應(yīng)用（1）
1.理解基本計數(shù)原理，能正確區(qū)分“類”和“步”；
2.理解分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理的區(qū)別和聯(lián)系．
正確選擇加法原理或乘法原理解決問題．
理解兩個計數(shù)原理的區(qū)別和聯(lián)系．
分步乘法計數(shù)原理（乘法原理）
分類加法計數(shù)原理（加法原理）
類與類不相交
每一類方法中的每一種方法都可以完成指定事情
步與步有關(guān)聯(lián)
只有所有的步驟都完成才能完成指定事情
分清“要完成的一件事”；
根據(jù)事情確定分類還是分步．
用這兩個原理解決問題
①能夠被5整除的數(shù)的特征是什么？
②該問題中需要完成的“一件事”是什么？
③如何完成“這件事”？
末位數(shù)字是0或5
確定自然數(shù)1~200中末位是0或5的數(shù)的個數(shù)
分末位是0和末位是5兩類進行計數(shù)
解：能夠被5整除的數(shù)，末位數(shù)字是0或5，因此，我們把1，2，3.…，200中能夠被5整除的數(shù)分成2類來計數(shù)：
第1類，末位數(shù)字是0的數(shù)，共有20個；
第2類，末位數(shù)字是5的數(shù)，共有20個.
根據(jù)分類加法計數(shù)原理，在1，2，3.…，200中，能夠被5整除的數(shù)共有N=20+20=40個．
本題能夠順利求解的關(guān)鍵是什么？
準(zhǔn)確指出問題中的“一件事”；
按照明確的標(biāo)準(zhǔn)給問題分類．
在1，2，3，…，200中，能夠被5整除的數(shù)共有多少個？
有一項活動，需在3名教師、8名男學(xué)生和5名女學(xué)生中選人參加.
（1）若只需1名參加，共有多少種選法？
（2）若需教師、男學(xué)生、女學(xué)生各1名參加，共有多少種選法？
兩個小題中各自的要完成的“一件事”是什么？分別如何完成？
(1)“總共選出1人”
(2)“各自選出1人”
3名教師
8名男學(xué)生
5名女學(xué)生
分三類
分三步
第一類，選教師，3種選法；
第二類，選男生，8種選法；
第三類，選女生，5種選法
第一步，選教師，3種選法；
第二步，選男生，8種選法；
第三步，選女生，5種選法
N=3×8×5=120
據(jù)分步乘法計數(shù)原理
N=3+8+5=16
據(jù)分類加法計數(shù)原理
針對“分類”問題；
各種方法相互獨立；
用其中任何一種方法都可以完成“這件事”
兩個原理在解決問題時的有何不同？
針對 “分步”問題；
各步驟中的方法互相依存；
只有每一個步驟都依次完成才算做完成“這件事”
如圖，從A村到B村的道路有3條，從B村到C村的道路有2條，從C村到D村的道路有3條．李明要從A村先到B村，再經(jīng)過C村，最后到D村，共有多少條線路可以選擇？
①本題目要完成的“一件事”是什么？
②如何完成？
第一步，從A村到達B村，
第二步，從B村到達C村，
第三步，從C村到達D村，
分步完成
有3條路可選擇；
有2條路可選擇；
有3條路可選擇．
N=3×2×3=18
據(jù)分步乘法計數(shù)原理
①能否使用加法原理來解決這個問題？②對比兩種解法，思考兩個原理有何聯(lián)系？
從A村經(jīng)過B村到達C村
2+2+2=2×3=6
從C村到達D村
6+6+6=6×3=18
兩個計數(shù)原理本質(zhì)一致
乘法原理是加法原理的簡化
數(shù)的乘法與加法的關(guān)系
要給如圖所示的五個區(qū)域涂色，現(xiàn)有四種顏色可供選擇，要求每個區(qū)域只涂一種顏色，且相鄰區(qū)域所涂顏色不相同，則不同的涂色方案一共有多少種？
D
A
B
C
E
①本題目要完成的“一件事”是什么？
②如何完成？
“用四種顏色給如圖所示的五個區(qū)域涂色，且相鄰區(qū)域不同色”
理清關(guān)系，按區(qū)域分步
第一類，A、C同色：
第一步，給區(qū)域A涂色，有4種選擇；
第二步，給區(qū)域C涂色，有1中選擇；
第三步，給區(qū)域B涂色，有3種選擇；
第四步，給區(qū)域E涂色，有2種選擇；
第五步，給區(qū)域D涂色，有2種選擇．
則根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，
一共有為4×1×3×2×2=48種不同的選擇；
第二類，A、C異色：
第一步，給區(qū)域A涂色，有4種選擇；
第二步，給區(qū)域C涂色，有3種選擇；
第三步，給區(qū)域B涂色，有2種選擇；
第四步，給區(qū)域E涂色，只有1種選擇；
第五步，給區(qū)域D涂色，只有1種選擇．
則根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，
一共有為4×3×2×1×1=24種不同選擇；
綜上，根據(jù)分類加法計數(shù)原理，該圖形的不同涂色方案共有48+24=72種．
解：按A與C顏色的相同和相異分類求解．
要給如圖所示的五個區(qū)域涂色，現(xiàn)有四種顏色可供選擇，要求每個區(qū)域只涂一種顏色，且相鄰區(qū)域所涂顏色不相同，則不同的涂色方案一共有多少種？
D
A
B
C
E
你還有其他解決這個問題的方法嗎？
提示：看位置關(guān)系——A、C對角，B、D對角
此時先確定A、C的顏色，有4種可能，再確定B、D的顏色，有3種可能，再確定E的顏色，有2種可能，所以共有4×3×2=24種不同的可能．
第一類：A、C同色，B、D不同色，
第二類：A、C不同色，B、D同色，
第三類：A、C同色，B、D同色，
此時先確定A、C的顏色，有4種可能，再依次確定B、E、D的顏色，分別有3，2，1種可能，所以共有4×3×2×1=24種不同的可能；
方法同第一類，也共有24種不同的可能；
根據(jù)分類加法計數(shù)原理，該圖形不同的涂色方案共有24+24+24=72種．
有10本不同的數(shù)學(xué)書，9本不同的語文書，8本不同的英語書，從中取出數(shù)學(xué)書、語文書、英語書各1本，共有多少種取法？
解：第一步，取出1本數(shù)學(xué)書，共有10種取法，
第二步，取出1本語文書，共有9種取法，
第三步，取出1本英語書，共有8種取法，
根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有N=10×9×8=720種取法．
要從甲、乙、丙3幅不同的畫中選出2幅，分別掛在左、右兩邊墻上的指定位置，共有多少種不同的掛法？
方法一，分類解決這個問題，
第一類，“甲在左”時，不同的掛法有“甲乙、甲丙”2種；
第二類，“乙在左”時，不同的掛法有“乙甲、乙丙”2種；
第三類， “丙在左”時，不同的掛法有 “丙甲、丙乙”2種．
所以不同的掛法共有2+2+2=6種．
方法三，先選出兩幅畫，再按指定位置掛好．
第一步，從3幅畫中選出2幅，有3種選法：甲乙、甲丙、乙丙；
第二步，將選出的兩幅畫掛好，分別有2種掛法．
所以共有3×2=6種掛法．
方法二，從3幅畫中選出2幅分別掛在左、右兩邊墻上，可以分兩個步驟完成：
第1步，從3幅畫中選1幅掛在左邊墻上，有3種選法；
第2步，從剩下的2幅畫中選1幅掛在右邊墻上，有2種選法．
根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不同掛法的種數(shù)為N=3×2=6．
選1幅掛左邊
選1幅掛右邊
甲
乙
丙
甲
乙
丙
甲
乙
丙
方法二
甲、乙
甲、丙
乙、丙
甲丙
甲乙
乙甲
乙丙
丙乙
丙甲
方法三
分類加法計數(shù)原理 分步乘法計數(shù)原理
區(qū)別 完成一件事，共有n類方法，關(guān)鍵詞是“分類” ． 完成一件事，共有n個步驟，關(guān)鍵詞是“分步” ．
每類方法都能獨立完成這件事，且每類方法得到的都是最后結(jié)果，只需一種方法就可以完成這件事． 任何一步都不能獨立完成這件事，缺少任何一步也不能完成這件事，只有各個步驟都完成了，才能完成這件事．
各類方法之間是互斥的、并列的、獨立的． 各步之間是關(guān)聯(lián)的、獨立的，“關(guān)聯(lián)”確保不遺漏，“獨立”確保不重復(fù)．
聯(lián)系 都是求完成一件事情的方法種數(shù)．
本質(zhì)一樣，乘法原理可以看成是加法原理的簡化，類似于數(shù)的運算中乘法是加法的簡化．
解決實際問題時常常需要兩個原理結(jié)合應(yīng)用．
簡單總結(jié)一下兩個計數(shù)原理的區(qū)別和聯(lián)系．
計算前
仔細(xì)分析
(1)明確要完成的“一件事”是什么； (2)明確需要分類還是分步．
計算中
分類要做到“不重不漏”——分類后再分別對每一類進行計數(shù)（可能需要分步），最后用分類加法計數(shù)原理求和，得到總數(shù)．
分步要做到“步驟完整”——完成了所有步驟，恰好完成任務(wù)，當(dāng)然步與步之間要相互獨立.分步后再計算每一步的方法數(shù)（可能需要分類），最后根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，把完成每一步的方法數(shù)相乘，得到總數(shù)．
回顧用兩個計數(shù)原理解決計數(shù)問題的過程，嘗試說一說其中的要點都有哪些？
教材P158，習(xí)題5-1，A組第1,2,3,4題

展開更多......

收起↑