資源簡介

(共13張PPT)
1.理解基本計數原理，能正確區分“類”和“步”；
2.理解分類加法計數原理和分步乘法計數原理的區別和聯系．
正確選擇加法原理或乘法原理解決問題．
理解兩個計數原理的區別和聯系．
分類加法計數原理
分步乘法計數原理
做一件事的不同方法種數
“分類”問題
各種方法相互獨立；
用其中任何一種方法都可以做完這件事
“分步”問題
各個步驟中的方法互相依存；
只有每一個步驟都完成才算做完這件事
復雜的計數問題
若干個簡單問題的計數問題
分解
整合
為了確保電子郵件的安全，在注冊時，通常要設置電子郵箱密碼．在某網站設置的郵箱中，
（1）若密碼為4位，每位均為0~9這10個數字中的1個，則這樣的密碼共有多少個？
（2）若密碼為4~6位，每位均為0~9這10個數字中的1個，則這樣的密碼共有多少個？
如何確定一個4位數密碼？
第1位
第2位
第3位
第4位
分步進行
解：（1）設置1個4位密碼要分4步進行，每一步確定一位數字，每一位上都可以從0~9這10個數字中任取1個，有10種取法．根據分步計數原理，4位密碼的個數是
10×10×10×10=10000．
（2）設置的密碼為4~6位，每位均為0~9這10個數字中的1個，這樣的密碼共有3類．其中4位密碼、5位密碼、6位密碼的個數分別為104，105，106．根據分類計數原理，設置由數字0~9組成的4~6位密碼的個數是104+105+106=1110000．
9種
9種
9種
9種
答：滿足條件的密碼的個數分別為10000和1110000．
電子元件很容易實現電路的通與斷、電位的高與低等兩種狀態，而這也是最容易控制的兩種狀態．因此計算機內部就采用了每一位只有0或1兩種數字的記數法，即二進制．為了使計算機能夠識別字符，需要對字符進行編碼，每個字符可以用1個或多個字節來表示，其中字節是計算機中數據存儲的最小計量單位，每個字節由8個二進制位構成．
（1）1個字節（8位）最多可以表示多少個不同的字符？
（2）計算機漢字國標碼包含了6763個漢字，一個漢字為一個字符，要對這些漢字進行編碼，每個漢字至少要用多少個字節表示？
問題（1）中要完成的一件事是什么？
確定1個字節的8個二進制位上的數字
2種
2種
2種
2種
…
第1位
第2位
第3位
第8位
根據分步乘法計數原理，
1個字節最多可以表示不同字符的個數是
2×2×2×2×2×2×2×2=28=256．
<6763
>6763
2個字節最多可以表示不同字符的個數是
28×28=256×256=65536．
要對這些漢字進行編碼，每個漢字至少要用2個字節表示．
以上題目（1）的核心是，用1，0兩個數字填充8個數位，有多少種不同的填法？根據題目的解答過程，每個數位有2種選擇，所以有28種不同的填法．
類似的，你能否嘗試求解下面兩個問題：
①有5封不同的信，投到3個不同的信箱，有多少種不同的投法？如果是3封信投到5個信箱呢？
②有5個人要報名去參加3項比賽，每人只能報一項，則有多少種不同的報名方法？如果5個人同時參加了3項比賽，那么關于3項比賽的冠軍，又有多少種不同可能？
5封信投到3個信箱
35
每封信有3種選擇
5封信依次來選信箱
3封信投到5個信箱
53
每封信有5種選擇
3封信依次來選信箱
5個人報名3項比賽
35
每人有3種選擇
5個人依次來報項目
3項冠軍從5個人中選
53
每項有5個人供選擇
3項冠軍依次來選人
a
b
ba
通常，我國民用汽車號牌的編號由兩部分組成：第一部分為用漢字表示的省、自治區、直轄市簡稱和用英文字母表示的發牌機關代號，第二部分為由阿拉伯數字和英文字母組成的序號，如圖所示．
其中，序號的編碼規則為：
（1）由10個阿拉伯數字和除O，I之外的24個英文字母組成；
（2）最多只能有2個英文字母.
如果某地級市發牌機關采用5位序號編碼，那么這個發牌機關最多能發放多少張汽車號牌？
①該問題中要完成的“一件事”是什么？
②如何完成這件事呢？
按照規則生成一個汽車牌照序號
最多有2個字母
有1個字母
沒有字母
有2個字母
分類
10×10×10×10×10=100000
按1個字母的位置分5類
24×10×10×10×10=240000
240000×5=1200000.
按2個字母的位置分10類
24×24×10×10×10=576000
576000×10=5760000
100000+1200000+5760000=7060000
要讓電路從A處到B處接通，可由多少條不同的路徑？
解：電路從A處到B處接通，有三類方法：
第一類，有3種選擇；第二類，有1種選擇；
第三類分兩步，第一步2種選擇，第二步2種選擇，共2×2=4中選擇．
故根據分類加法計數原理，不同的路徑總共有3+1+4=8條．
在1，2，3，…，200中，能夠被5整除的數共有多少個？
解：能夠被5整除的數，末位數字是0或5，其中末位數字是0的數共有20個，末位數字是5的數共有20個．根據分類加法計數原理，能夠被5整除的數共有20+20=40個．
任意畫一條直線，在直線上任取n個分點．
（1）從這n個分點中任取2個點形成一個向量，可得到多少個向量？
（2）從這n個分點中任取2個點形成一條線段，可以得到多少條線段？

分類加法計數原理 分步乘法計數原理
區別 完成一件事，共有n類方法，關鍵詞是“分類” ． 完成一件事，共有n個步驟，關鍵詞是“分步” ．
每類方法都能獨立完成這件事，且每類方法得到的都是最后結果，只需一種方法就可以完成這件事． 任何一步都不能獨立完成這件事，缺少任何一步也不能完成這件事，只有各個步驟都完成了，才能完成這件事．
各類方法之間是互斥的、并列的、獨立的． 各步之間是關聯的、獨立的，“關聯”確保不遺漏，“獨立”確保不重復．
聯系 都是求完成一件事情的方法種數．
本質一樣，乘法原理可以看成是加法原理的簡化，類似于數的運算中乘法是加法的簡化．
解決實際問題時常常需要兩個原理結合應用．
簡單總結一下兩個技術原理的區別和聯系．
計算前
仔細分析
(1)明確要完成的“一件事”是什么； (2)明確需要分類還是分步．
計算中
分類要做到“不重不漏”——分類后再分別對每一類進行計數（可能需要分步），最后用分類加法計數原理求和，得到總數．
分步要做到“步驟完整”——完成了所有步驟，恰好完成任務，當然步與步之間要相互獨立.分步后再計算每一步的方法數（可能需要分類），最后根據分步乘法計數原理，把完成每一步的方法數相乘，得到總數．
回顧用兩個計數原理解決計數問題的過程，嘗試說一說其中的要點都有哪些？
教材P158 A組第5,6題，B組第1題．

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