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(共30張PPT)
5.3組合問題
分類加法計數(shù)原理：
完成一件事，有n類不同方案，在第1類方案中有m1種不同的方法,在第2類方案中有m2種不同的方法 ……在第n類方案中有mn種不同的方法.那么完成這件事共有 種不同的方法.
分步乘法計數(shù)原理：
完成一件事，需要分成n個步驟，做第1步有m1種不同的方法,做第2步有m2種不同的方法……，做第n步有mn種不同的方法.那么完成這件事共
有 種不同的方法.
溫故知新
弄清兩個原理的區(qū)別與聯(lián)系，是正確使用這兩個原理的前提和條件,
這兩個原理都是指完成一件事而言的,其區(qū)別在于：
（ 1）分類計數(shù)原理是“分類”，每類辦法中的每一種方法都能獨立完成一件事；
（2）分步計數(shù)原理是“分步”；每種方法都只能做這件事的一步，不能獨立完成這件事 !
溫故知新
1、排列：
從n個不同元素中取出m (m n)個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列。
說明：
1、元素不能重復。
2、“按一定順序”就是與位置有關，這是判斷一個問題是否是排列問題的關鍵。
3、兩個排列相同，當且僅當這兩個排列中的元素完全相同，而且元素的排列順序也完全相同。
4、m＜n時的排列叫選排列，m＝n時的排列叫全排列。
5、為了使寫出的所有排列情況既不重復也不遺漏，可以采用“樹形圖”。
（有序性）
（互異性）
溫故知新
從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素,按照一定的順序排成一列,叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列
從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有排列的個數(shù),叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)
當兩個排列的元素完全相同,且元素的排列順序相同稱兩個排列相同
An =n(n-1)(n-2) …(n-m+1)
m
m≤n
規(guī)定0！=1
溫故知新
問題一：從甲、乙、丙3名同學中選出2名去參加某天的一項活動，其中1名同學參加上午的活動，1名同學參加下午的活動，有多少種不同的選法？
問題二：從甲、乙、丙3名同學中選出2名去參加某天一項活動，有多少種不同的選法？
甲、乙；甲、丙；乙、丙
3
情境創(chuàng)設
從已知的3個不同元素中每次取出2個元素 ,并成一組
問題2
從已知的3 個不同元素中每次取出2個元素 ,按照一定的順序排成一列.
問題1
排列
組合
有
順
序
無
順
序
問題3 從a，b，c，d這4個元素中取出2個元素，共有多少種可能？

問題4　某次團代會，要從5名候選人中選出3名擔任代表，共有多少種方案？

一般地，從n個不同元素中取出m（m≤n）個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合．
思考：排列與組合的概念有什么共同點與不同點？
概念講解
組合定義:
組合定義: 一般地，從n個不同元素中取出m（m≤n）個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合．
排列定義: 一般地，從n個不同元素中取出m (m≤n) 個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從 n 個不同元素中取出 m 個元素的一個排列.
共同點: 都要“從n個不同元素中任取m個元素”
不同點: 排列與元素的順序有關，
而組合則與元素的順序無關.
概念講解
思考一:ab與ba是相同的排列還是相同的組合 為什么
思考二:兩個相同的排列有什么特點 兩個相同的組合呢
１）元素相同；
２）元素排列順序相同.
元素相同
概念理解
構造排列分成兩步完成，先取后排；而構造組合就是其中一個步驟.
思考三:組合與排列有聯(lián)系嗎
鞏固概念：1.判斷下列問題是組合問題還是排列問題
(1)設集合A={a,b,c,d,e}，則集合A的含有3個元素的子集有多少個
(2)某鐵路線上有5個車站，則這條鐵路線上共需準備多少種車票
有多少種不同的火車票價？
組合問題
排列問題
(3)10名同學分成人數(shù)相同的數(shù)學和英語兩個學習小組,共有多少種分法
組合問題
(4)10人聚會，見面后每兩人之間要握手相互問候,共需握手多少次
組合問題
(5)從4個風景點中選出2個游覽,有多少種不同的方法
組合問題
(6)從4個風景點中選出2個,并確定這2個風景點的游覽順序,有多少種不同的方法
排列問題
組合問題
組合是選擇的結果，排列
是選擇后再排序的結果.
2.從 a , b , c三個不同的元素中取出兩個元素的所有組合分別是:
ab , ac , bc
3.已知4個元素a , b , c , d ,寫出每次取出兩個元素的所有組合.
a
b c d
b
c d
c
d
ab , ac , ad , bc , bd , cd
(3個)
(6個)
鞏固概念
練習:中國、美國、古巴、俄羅斯四國女排邀請賽，通過單循環(huán)決出冠亞軍．
（1）列出所有各場比賽的雙方；
（2）列出所有冠亞軍的可能情況。
(1) 中國—美國 中國—古巴 中國—俄羅斯
美國—古巴 美國—俄羅斯 古巴—俄羅斯
（2）
冠軍 中 中 中 美 美 美 古 古 古 俄 俄 俄
亞軍 美 古 俄 中 古 俄 中 美 俄 中 美 古
3.2組合數(shù)及其性質
寫出從a,b,c,d 四個元素中任取三個元素的所有組合。
abc ， abd ， acd ， bcd .
b
c
d
d
c
b
a
c
d
引例
組合
排列
abc
abd
acd
bcd
abc bac cab
acb bca cba
abd bad dab
adb bda dba
acd cad dac
adc cda dca
bcd cbd dbc
bdc cdb dcb
不寫出所有組合，怎樣才能知道組合的種數(shù)？
你發(fā)現(xiàn)了什么
如何計算:
組合數(shù)公式
排列與組合是有區(qū)別的，但它們又有聯(lián)系．
根據(jù)分步計數(shù)原理，得到：
因此：
一般地，求從 個不同元素中取出 個元素的排列數(shù)，可以分為以下2步：
第1步，先求出從這 個不同元素中取出 個元素的組合數(shù) ．
第2步，求每一個組合中 個元素的全排列數(shù) ．
這里 ，且 ，這個公式叫做組合數(shù)公式．
組合數(shù)公式:
從 n 個不同元中取出m個元素的排列數(shù)


例2. 已知平面內有12個點，任何3個點均不在同一直線上，以每3個點為頂點畫一個三角形，一共可以畫多少個三角形？
分析: 已知“任何3個點均不在同一直線上”，所以在12個點中任取3個點都可以構成 一個三角形,且這3個點不必考慮順序,如 ABC, ACB, BAC, BOA , CAB , CBA 都表示同一個三角形.因此，這是一個從12個不同元素中取出3個元素的組合問題.

問題5：分別計算“從10人中選出6人參加比賽”與“從10人中選出4人不參加比賽”的方法數(shù).
探究組合數(shù)的其性質


問題6：從10名普通戰(zhàn)士和1名班長中選出5名參加軍事比武大賽，共有多少種方案


組合數(shù)的兩個性質
鞏固.計算:
組合數(shù)的兩個性質：
性質1：
性質2：
例3 計算：（1）
和
（2）
和
（3）
（4）
（5）
解:原式
=
(4)原式
或, 原式
(5)原式
例4 解方程(1)
(2)
解 (1)原方程化為：
且
不合題意，舍去，
(2)原方程化為：
例5
排列
組合
組合的概念
組合數(shù)的概念
組合是選擇的結果，
排列是選擇后再排序的結果
聯(lián)系
課堂小結
兩個重要性質:

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