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5.4 第2課時(shí)
新授課
二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)
回顧：二項(xiàng)式定理:
二項(xiàng)式系數(shù):
通項(xiàng):
1.了解楊輝三角，會(huì)用楊輝三角求二項(xiàng)式乘方次數(shù)較小時(shí)的各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù).
2.理解二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)并靈活運(yùn)用.
當(dāng)n依次取1，2，3，...時(shí)，(a+b)n展開式的二項(xiàng)式系數(shù)如圖.
知識(shí)點(diǎn)一：楊輝三角
如圖的表叫作二項(xiàng)系數(shù)表，歷史上
也稱為楊輝三角.
觀察上圖，你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？
①在同一行中,每行兩端都是1,與這兩個(gè)1“等距離”的二項(xiàng)式系數(shù)相等.
對(duì)稱性
變化趨勢(shì)：
先增大后減小.
增減性與最大值
即
因?yàn)?br/>當(dāng)
，即 時(shí)，
由對(duì)稱性知， 時(shí)，
Cnk隨k的增加而增加；
Cnk隨k的增加而減小.
當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，中間的一項(xiàng) 取得最大值；
當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，中間的兩項(xiàng) 和 相等,且同時(shí)取得最大值.
觀察上圖，你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？
②在相鄰的兩行中,除1以外的每一個(gè)數(shù)都等于它“肩上”兩個(gè)數(shù)的和.
例1 根據(jù)楊輝三角，寫出(a+b)7的二項(xiàng)式系數(shù).
解：由楊輝三角知道，(a+b)6的各二項(xiàng)系數(shù)為1,6,15,20,15,6,1.根據(jù)其規(guī)律，有
1
6
15
20
6
15
1
1
1
7
21
35
21
7
35
∴(a+b)7的各二項(xiàng)系數(shù)為1，7，21，35，35，21，7，1.
變式 如圖是與楊輝三角有類似性質(zhì)的三角形數(shù)壘，a，b是某行的前兩個(gè)數(shù)，當(dāng)a＝7時(shí)，b等于（ ）
A.20 B.21 C.22 D.23
C
練一練
1.在(a＋b)20展開式中,與第五項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相同的項(xiàng)是( )
A.第15項(xiàng) B.第16項(xiàng)
C.第17項(xiàng) D.第18項(xiàng)
C
2.在(a＋b)10展開式中,二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是( ).
A.第6項(xiàng) B.第7項(xiàng)
C.第6項(xiàng)和第7項(xiàng) D.第5項(xiàng)和第7項(xiàng)
A
例2 求證
解：由二項(xiàng)式定理有
令a=b=1，則得
賦值法
知識(shí)點(diǎn)二：二項(xiàng)展開式的系數(shù)和問題
分析：∵ 中的a，b可以取任意實(shí)數(shù)，∴ 可以通過(guò)對(duì)a,b適當(dāng)賦值來(lái)得到上述等式.
(a+b)n的展開式的各二項(xiàng)式系數(shù)的和等于2n.
變式 求證:在(a+b)n 的展開式中,奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和.
令a=1，b=-1，則得
即
因此
證明：在展開式
中，
奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和.
練一練
解：(1)令展開式左、右兩邊x＝1，得各項(xiàng)系數(shù)和為1；
(2)各二項(xiàng)式系數(shù)之和為26＝64.
在(2x－1)6展開式中,求：
(1)各項(xiàng)系數(shù)的和;
(2)各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和.
歸納總結(jié)
一般地， 展開式的二項(xiàng)式系數(shù) 有如下性質(zhì)：
(1)
(2)
(4)
(3)
當(dāng) 時(shí)，
當(dāng) 時(shí)，
(5)
根據(jù)今天所學(xué),回答下列問題：
1.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)分別是什么？

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