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5.4 第1課時
新授課
二項式定理的推導
根據多項式的乘法法則，容易知道(a+b)2=a2+2ab+b2,
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3,如果稱等式的右邊為左邊的展開式，那么如何求出(a+b)n的展開式？
1.能用多項式法則和計數原理推導出二項式定理.
2.會用二項式定理解決與二項展開式有關的簡單問題.
請計算(a+b)2，(a+b)3和(a+b)4，分析其運算過程，并用組合數表示各項系數.
知識點一：二項式定理
根據多項式乘法法則，
項的形式：
展開式共有：
當 時，
2個(a+b)都不選b.
a2的系數為 ,即a2系數為1；
3項
當 時，
當 時，
1個(a+b)中選a，另一個(a+b)中選b.
2個(a+b)都選b.
ab的系數為 ,即ab系數為2；
b2的系數為 ,即b2系數為1.
展開式共有：
項的形式：
系數為
系數為
4項
3個(a+b)都選a.
2個(a+b)中選a，1個(a+b)中選b.
系數為
系數為
1個(a+b)中選a，2個(a+b)中選b.
3個(a+b)中都選b.
a4
a3b
ab3
b4
a2b2
問題：根據以上分析，猜想(a+b)n的展開式是怎樣的？
各項是從n個因式中各取一個字母相乘得到關于a,b的n次單項式，有
項的形式：
展開式共有：
n+1項.
從n個因式中都取b，系數為
從n個因式中取k個b，系數為
從n個因式中取2個b，系數為
從n個因式中取1個b，系數為
從n個因式中都不取b，系數為
項的系數：
……
……
二項式定理：
(a+b)n的二項展開式
上式可簡寫成
二項式系數
概念生成
式中的 用Tk+1表示，稱為二項展開式中第（k+1）項，又稱為二項式通項， 記作
二項式定理：
知識點二：二項式定理的應用
例1 求 的展開式.
解：根據二項式定理，
例2 求 的展開式.
解：根據二項式定理，
例3 求 的展開式.
解：根據二項式定理，
例4 求 的展開式中x4y3的系數.
解：設展開式中的第k+1項為含x4y3的項，
令7-k=4,得k=3,
則
∴x4y3的系數為
求二項展開式的特定項的系數的一般步驟：
歸納總結
1.寫出通項公式，其所有的字母的指數恰好都是題目要求的項；
2.合并通項公式中同一字母的指數；
3.根據具體要求，令字母的指數符合題目要求；
4.再計算求得二項展開式的特定項的系數.
求 的展開式中x3的系數.
練一練
解：設展開式中的第k+1項為含x3的項，
令9-2k=3,得k=3,
則
∴x3的系數為
根據今天所學,回答下列問題：
1.二項式定理是怎樣推導的？
2.二項式系數和展開式通項分別是什么？

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