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第12章
函數與一次函數
八年級數學滬科版·上冊
12.2 第3課時 用待定系數法求一次函數的表達式
新課引入
　　前面，我們學習了一次函數及其圖象和性質，你能寫出兩個具體的一次函數解析式嗎？如何畫出它們的圖象？
　　思考：反過來，已知一個一次函數的圖象經過兩個具體的點，你能求出它的解析式嗎？
兩點法——兩點確定一條直線
引例：某物體沿一個斜坡下滑，它的速度v（單位：m/s）與其下滑的時間t(單位：s)的關系如右圖所示.
(1)請寫出v與t的關系式;
(2)下滑3 s時物體的速度是多少？
v (m/s)
t(s)
O
解：（1）v=2.5t.
（2）v=2.5×3=7.5 (m/s).
5
2
新知探究
　　例1 求正比例函數 的表達式．
解：由正比例函數的定義知
m2－15＝1且m－4≠0，
∴m＝－4，
∴y＝－8x.
方法總結：利用正比例函數的定義確定表達式,自變量的指數為1，系數不為0.
新知探究
想一想：確定正比例函數的表達式需要幾個條件？
確定一次函數的表達式呢？
一個
兩個
新知探究
如圖，已知一次函數的圖象經過P（0，-1），
Q（1，1）兩點. 怎樣確定這個一次函數的解析式呢？
新知探究
一次函數的一般形式是y=kx+b（k，b為常數，k≠0），要求出一次函數的解析式，關鍵是要確定k和b的值（即待定系數）.
函數解析式
y=kx+b
滿足條件的兩點
(x1,y1),(x2,y2)
一次函數的圖象
直線l
選取
解出
畫出
選取
新知探究
因為P（0，-1） 和Q（1，1）都在該函數圖象上，
因此它們的坐標應滿足y=kx+b ， 將這兩點坐標代入該式中，得到一個關于k，b的二元一次方程組：
k·0 + b = -1，
k + b = 1.
｛
｛
解這個方程組，得
k=2，
b=-1.
所以，這個一次函數的解析式為y = 2x- 1.
新知探究
像這樣，通過先設定函數解析式（確定函數模型），再根據已知條件確定解析式中的未知系數，從而求出函數解析式的方法稱為待定系數法.
新知探究
例2 如果知道一個一次函數，當自變量x=4時，函數值y=5;當x=5時，y=2.你能畫出它的圖象，并寫出函數表達式嗎？
解：因為y是x的一次函數，設其表達式為y=kx+b.
由題意，得 解得
4k+b=5,
5k+b=2,
所以函數表達式為 y=-3x+17,
圖象如圖所示.
k=-3,
b=17,
新知探究
利用二元一次方程組求一次函數表達式的一般步驟：
1.用含字母的系數設出一次函數的表達式：y=kx+b.
2.將已知條件代入上述表達式中，得k，b的二元一次方程組.
3.解這個二元一次方程組得k，b.
4.進而求出一次函數的表達式.
新知探究
1.已知一次函數y=kx+5的圖象經過點（-1，2）,
則k=______.
2.已知函數y=2x+b的圖象經過點（a，7）和（-2，a），
則這個函數的表達式為____________.
3
y=2x+5
新知探究
例3 正比例函數與一次函數的圖象如圖所示，它們的交點為A(4，3)，B為一次函數的圖象與y軸的交點，且OB= .求正比例函數與一次函數的表達式．
解：設正比例函數的表達式為y1＝k1x，一次函數
的表達式為y2＝k2x- .
∵點A(4，3)是它們的交點，
∴代入上述表達式中，
得3＝4k1，3＝4k2- .
∴k1＝ ，k2= ，
即正比例函數的表達式為y＝ x.一次函數的表達式為y2＝ x - .
新知探究
某種拖拉機的油箱可儲油40L，加滿油并開始工作后，油箱中的剩余油量y（單位：L）與工作時間x（單位：h） 之間為一次函數關系，函數圖象如圖所示.
（1）求y關于x的函數表達式；
（2）一箱油可供拖拉機工作
幾小時？
y = -5x + 40.
8 h
新知探究
根據圖象確定一次函數表達式的方法：從圖象上選取兩個已知點的坐標，然后運用待定系數法將兩點的橫、縱坐標代入所設表達式中，求出待定系數，從而求出函數表達式．
新知探究
用待定系數法求一次函數表達式
2. 根據已知條件列出關于k、b的方程組；
1. 設所求的一次函數表達式為y=kx+b；
3. 解方程，求出k、b;
4. 把求出的k，b代回表達式即可.
課堂小結
1.一次函數y=kx+b(k≠0)的圖象如圖，則下列結論正確的是 ( )
A．k=2　　　B．k=3　　　C．b=2　　D．b=3
D
y
x
O
2
3
課堂小測
課堂小測
2. 如圖，直線l是一次函數y=kx+b的圖象，填空:
　(1)b=______,k=______;
(2)當x=30時，y=______;
(3)當y=30時，x=______.
2
-18
-42
l
課堂小測
3.已知一次函數的圖象經過(0，5)、(2，－5)兩點，求一次函數的表達式．
解：設一次函數的表達式為y＝kx＋b.根據題意，得
∴－5＝2k＋b，5＝b，
解得b＝5，k＝－5，
∴一次函數的表達式為y＝－5x＋5.
解：設直線l為y=kx+b.
　　∵l與直線y=-2x平行，∴k= -2.
又∵直線過點（0，2），
∴2=-2×0+b,
∴b=2,
∴直線l的表達式為y=-2x+2.
4.已知直線l與直線y=-2x平行，且與y軸交于點(0，2)，求直線l的表達式.
課堂小測
5.在彈性限度內，彈簧的長度y（單位：厘米）是所掛物體質量x（單位：千克）的一次函數.一根彈簧不掛物體時長14.5厘米；當所掛物體的質量為3千克時，彈簧長16厘米.請寫出y與x之間的關系式，并求當所掛物體的質量為4千克時彈簧的長度.
解：設y=kx+b(k≠0).
由題意，得14.5=b, 16=3k+b,
解得b=14.5 ， k=0.5.
所以在彈性限度內，y=0.5x+14.5.
當x=4時，y＝0.5×4＋14.5=16.5（厘米）.
故當所掛物體的質量為4千克時彈簧的長度為16.5厘米.
課堂小測
6. 已知一次函數的圖象過點（0，2），且與兩坐標軸圍成的三角形的面積為2，求此一次函數的表達式.
解：設一次函數的表達式為y=kx+b(k≠0).
∵一次函數y=kx+b的圖象過點（0，2），
∴b=2.
∵一次函數的圖象與x軸的交點是( ，0)，則
解得k=1或-1.
故此一次函數的表達式為y=x+2或y=-x+2.
課堂小測

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