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(共52張PPT)
湘教版 數(shù)學(xué) 必修第一 冊(cè)
課 標(biāo) 要 求
1.理解任意角的概念,能區(qū)分各類(lèi)角的概念.
2.掌握象限角的概念,并會(huì)用集合表示象限角.
3.理解終邊相同的角的含義及表示,并能解決有關(guān)問(wèn)題.
基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過(guò)
知識(shí)點(diǎn)一　任意角
1.角的概念:角可以看作是平面內(nèi)　　　　　繞著其端點(diǎn)
　　　　 　　所成的圖形.
2.角的分類(lèi):按旋轉(zhuǎn)方向可將角分為三類(lèi)
類(lèi)型 定義 圖示
正角 一條射線繞著端點(diǎn)以逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所成的角
負(fù)角 一條射線繞著端點(diǎn)以　　　　方向旋轉(zhuǎn)所成的角
零角 不旋轉(zhuǎn)所成的角
一條射線
從初始位置旋轉(zhuǎn)到終止位置時(shí)
順時(shí)針
名師點(diǎn)睛
角的概念推廣后,角的大小可以任意取值.把角放在直角坐標(biāo)系中進(jìn)行研究,對(duì)于一個(gè)給定的角,都有唯一的一條終邊與之對(duì)應(yīng),并使得角具有代數(shù)和幾何雙重意義.
過(guò)關(guān)自診
1.經(jīng)過(guò)1個(gè)小時(shí),時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)的角度是　　　　.
2.始邊與終邊重合的角一定是零角嗎
-30°
提示 不一定.只有始邊沒(méi)做任何旋轉(zhuǎn),始邊與終邊重合的角才是零角.
知識(shí)點(diǎn)二　象限角與終邊相同的角
1.象限角
在平面直角坐標(biāo)系中,取角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),角的始邊為x軸的非負(fù)半軸,那么,角的終邊落在　　　　　　,就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限角;如果角的終邊在坐標(biāo)軸上,就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限.
常稱為軸線角
2.終邊相同的角
所有與角α終邊相同的角用集合表示出來(lái),即　　　　　　　 　　.
第幾象限
{β|β=α+k·360°,k∈Z}
名師點(diǎn)睛
對(duì)于集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}的理解應(yīng)注意三點(diǎn):
(1)α是任意角.
(2)“k∈Z”有三層含義:
①特殊性:每取一個(gè)整數(shù)值就對(duì)應(yīng)一個(gè)具體的角.
②一般性:表示所有與角α終邊相同的角(包括α自身).
③從幾何意義上看,k表示角的終邊按一定的方向旋轉(zhuǎn)的圈數(shù),k取正整數(shù)時(shí),逆時(shí)針旋轉(zhuǎn);k取負(fù)整數(shù)時(shí),順時(shí)針旋轉(zhuǎn);k=0時(shí),沒(méi)有旋轉(zhuǎn).
(3)集合中“k·360°”與“α”之間用“+”連接,如k·360°-30°應(yīng)看成k·360°+(-30°),表示與-30°角終邊相同的角.
過(guò)關(guān)自診
1.判斷正誤.(正確的畫(huà)√,錯(cuò)誤的畫(huà)×)
(1)鈍角是第二象限角.(　　)
(2)第二象限角是鈍角.(　　)
(3)第二象限角大于第一象限角.(　　)
2.已知0°≤α<360°,且α與600°角終邊相同,則α=　　　　,它是第
　　　　象限角.
√
×
×
240°
三
解析 因?yàn)?00°=360°+240°,所以240°角與600°角終邊相同,
且0°≤240°<360°,故α=240°,它是第三象限角.
3.判定下列各角是第幾象限角:
(1)-60°;(2)945°;(3)-950°12'.
解 (1)因?yàn)?60°角的終邊在第四象限,所以它是第四象限角.
(2)因?yàn)?45°=225°+2×360°,所以945°與225°角的終邊相同,
而225°角的終邊在第三象限,所以945°角是第三象限角.
(3)因?yàn)?950°12'=129°48'+(-3)×360°,而129°48'角的終邊在第二象限,所以-950°12'角是第二象限角.
重難探究·能力素養(yǎng)速提升
探究點(diǎn)一 任意角的概念
【例1】 (多選題)下列說(shuō)法不正確的是(　　)
A.三角形的內(nèi)角不一定是第一、二象限角
B.始邊相同,終邊相同的角不一定相等
C.鈍角比第三象限角小
D.小于180°的角是鈍角、直角或銳角
CD
解析 A中90°的角既不是第一象限角,也不是第二象限角,故A正確;B中始邊相同,終邊相同的角不一定相等,如360°和720°,故B正確;C中鈍角是大于-100°的角,而-100°的角是第三象限角,故C不正確;D中零角小于180°,但它既不是鈍角,也不是直角或銳角,故D不正確.
規(guī)律方法　理解與角的概念有關(guān)問(wèn)題的關(guān)鍵
正確理解象限角與銳角、直角、鈍角、平角、周角等概念,弄清角的始邊與終邊及旋轉(zhuǎn)方向與大小.另外需要掌握判斷結(jié)論正確與否的技巧,判斷結(jié)論正確需要證明,而判斷結(jié)論不正確只需舉一個(gè)反例即可.
變式訓(xùn)練1
(1)經(jīng)過(guò)2個(gè)小時(shí),鐘表的時(shí)針和分針轉(zhuǎn)過(guò)的角度分別是(　　)
A.60°,720° B.-60°,-720°
C.-30°,-360° D.-60°,720°
B
解析 鐘表的時(shí)針和分針都是順時(shí)針旋轉(zhuǎn),因此轉(zhuǎn)過(guò)的角度都是負(fù)的,
而 ×360°=60°,2×360°=720°,
故鐘表的時(shí)針和分針轉(zhuǎn)過(guò)的角度分別是-60°,-720°.
(2)下列說(shuō)法中正確的是(　　)
A.第一象限角一定不是負(fù)角
B.第二象限角大于第一象限角
C.第二象限角是鈍角
D.若β=α+k·360°(k∈Z),則α與β終邊相同
D
解析 因?yàn)?330°角是第一象限角,但它是負(fù)角,所以A不正確.
由于120°角是第二象限角,390°角是第一象限角,顯然390°>120°,
所以B不正確.
由于480°角是第二象限角,但它不是鈍角,所以C不正確.
若β=α+k·360°(k∈Z),則α與β終邊相同,滿足終邊相同角的表示,正確.
故選D.
探究點(diǎn)二 坐標(biāo)系中角的概念及其表示
角度1 終邊相同的角的求解
【例2】 寫(xiě)出與75°角終邊相同的角的集合,并求在360°~1 080°內(nèi)與75°角終邊相同的角.
解 與75°角終邊相同的角的集合為S={β|β=k·360°+75°,k∈Z}.
又k∈Z,所以k=1或k=2.
當(dāng)k=1時(shí),β=435°;當(dāng)k=2時(shí),β=795°.
綜上所述,與75°角終邊相同且在360°~1 080°內(nèi)的角為435°角和795°角.
規(guī)律方法　求與已知角α終邊相同的角時(shí),要先將這樣的角表示成k·360°+α(k∈Z)的形式,然后采用賦值法求解或解不等式,確定k的值,求出滿足條件的角.
角度2 終邊在確定直線上的角的集合
【例3】 寫(xiě)出終邊在如圖所示的直線上的角的集合.
解 (1)在0°~360°內(nèi),終邊在直線y=0上的角有兩個(gè),即0°和180°,又所有與0°角終邊相同的角的集合為S1={β|β=0°+k·360°,k∈Z},所有與180°角終邊相同的角的集合為S2={β|β=180°+k·360°,k∈Z},于是,終邊在直線y=0上的角的集合為S=S1∪S2={β|β=k·180°,k∈Z}.
(2)由圖形易知,在0°~360°內(nèi),終邊在直線y=-x上的角有兩個(gè),即135°和315°,因此,終邊在直線y=-x上的角的集合為S={β|β=135°+k·360°,k∈Z}∪{β|β=315°+k·360°,k∈Z}
={β|β=135°+k·180°,k∈Z}.
(3)終邊在直線y=x上的角的集合為{β|β=45°+k·180°,k∈Z},結(jié)合(2)知所求角的集合為S={β|β=45°+k·180°,k∈Z}∪{β|β=135°+k·180°,k∈Z} ={β|β=45°+2k·90°,k∈Z}∪{β|β=45°+(2k+1)·90°,k∈Z}
={β|β=45°+k·90°,k∈Z}.
規(guī)律方法　1.終邊共線的角的寫(xiě)法:
(1)分別寫(xiě)出每條終邊所代表的角的集合,再取并集,在取并集時(shí)要化簡(jiǎn)合并,小心出錯(cuò).
(2)在其中一條終邊上找一個(gè)角,然后加上180°的整數(shù)倍.
2.終邊落在x軸的非負(fù)半軸、x軸的非正半軸、x軸、y軸的非負(fù)半軸、y軸的非正半軸、y軸、坐標(biāo)軸上的角的集合
終邊落在x軸的非負(fù)半軸上的角的集合為{x|x=k·360°,k∈Z};
終邊落在x軸的非正半軸上的角的集合為{x|x=k·360°+180°,k∈Z};
終邊落在x軸上的角的集合為{x|x=k·180°,k∈Z};
終邊落在y軸的非負(fù)半軸上的角的集合為{x|x=k·360°+90°,k∈Z};
終邊落在y軸的非正半軸上的角的集合為{x|x=k·360°-90°,k∈Z};
終邊落在y軸上的角的集合為{x|x=k·180°+90°,k∈Z};
終邊落在坐標(biāo)軸上的角的集合為{x|x=k·90°,k∈Z}.
角度3 區(qū)域角的求解
【例4】 如圖所示.
(1)分別寫(xiě)出終邊落在OA,OB位置上的角的集合;
(2)寫(xiě)出終邊落在陰影部分(包括邊界)的角的集合.
解 (1)終邊落在OA位置上的角的集合為{α|α=90°+45°+k·360°,k∈Z}={α|α=135°+k·360°,k∈Z},
終邊落在OB位置上的角的集合為{β|β=-30°+k·360°,k∈Z}.
(2)由圖可知,陰影部分角的集合是由所有介于[-30°,135°]之間的所有與之終邊相同的角組成的集合,
故該區(qū)域可表示為{α|-30°+k·360°≤α≤135°+k·360°,k∈Z}.
變式探究1
若將本例4(1)改為如圖所示的圖形,那么陰影部分(包括邊界)表示的終邊相同的角的集合如何表示
解 在0°~360°內(nèi),陰影部分(包括邊界)表示的范圍可表示為150°≤β≤225°,
則所有滿足條件的角β為{β|k·360°+150°≤β≤k·360°+225°,k∈Z}.
變式探究2
若將本例4(2)改為如圖所示的圖形,那么終邊落在陰影部分(包括實(shí)線邊界)的角的集合如何表示
解 在0°~360°內(nèi),終邊落在陰影部分(包括實(shí)線邊界)的角為60°≤β<105°與240°≤β<285°,所以所有滿足題意的角β為{β|k·360°+60°≤βn·180°+105°,n∈Z}.
故角β的取值集合為{β|n·180°+60°≤β規(guī)律方法　區(qū)域角是指終邊落在坐標(biāo)系的某個(gè)區(qū)域內(nèi)的角.其寫(xiě)法可分為三步:
(1)借助圖形,在直角坐標(biāo)系中先按逆時(shí)針的方向找到區(qū)域的起始邊界和終止邊界;
(2)按由小到大的順序分別標(biāo)出起始邊界和終止邊界對(duì)應(yīng)的-360°~360°范圍內(nèi)的角α和β;
(3)分別將起始邊界、終止邊界的對(duì)應(yīng)角α,β加上360°的整數(shù)倍,即可求得區(qū)域角.
【例5】 已知α是第二象限角:
(1)求角 所在的象限;
(2)求角2α所在的象限.
解 (1)(方法1)∵α是第二象限角,
∴k·360°+90°<α(方法2)如圖,先將各象限分成2等份,再?gòu)膞軸正半軸的上方起,按逆時(shí)針?lè)较?依次將各區(qū)域標(biāo)上一、二、三、四,
(2)∵k·360°+90°<α∴k·720°+180°<2α∴角2α的終邊在第三或第四象限或在y軸的非正半軸上.
變式訓(xùn)練2
若α是第一象限角,則- 是(　　)
A.第一象限角 B.第一、四象限角
C.第二象限角 D.第二、四象限角
D
學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)
A 級(jí) 必備知識(shí)基礎(chǔ)練
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1.475°角的終邊所在的象限是(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
B
解析 因?yàn)?75°=360°+115°,又因?yàn)?15°是第二象限角,而475°與115°終邊相同,故475°角的終邊所在的象限是第二象限.故選B.
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2.若α是第四象限角,則180°+α一定是(　　)
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
B
解析 ∵α是第四象限角,
∴k·360°-90°<α∴k·360°+90°<180°+α∴180°+α在第二象限,故選B.
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3.[2024甘肅酒泉高二校考學(xué)業(yè)考試]將x軸正半軸繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°,得到角α,則下列與α終邊相同的角是(　　)
A.330° B.-330°
C.210° D.-210°
B
解析 由題意得與α終邊相同的角的集合為{α|α=30°+k·360°,k∈Z},當(dāng)k=-1時(shí),α=-330°,B正確,其他選項(xiàng)經(jīng)過(guò)驗(yàn)證均不正確.故選B.
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4.如圖,終邊在陰影部分(含邊界)的角的集合是(　　)
A.{α|-45°≤α≤120°}
B.{α|120°≤α≤315°}
C.{α|-45°+k·360°≤α≤120°+k·360°,k∈Z}
D.{α|120°+k·360°≤α≤315°+k·360°,k∈Z}
C
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解析 如題圖,終邊落在陰影部分(含邊界)的角的集合是
{α|-45°+k·360°≤α≤120°+k·360°,k∈Z}.故選C.
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5.已知角α,β的終邊關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱,且α=-60°,則β=
　　　 　　.
-30°+k·360°,k∈Z
解析 在-90°到0°的范圍內(nèi),-60°角的終邊關(guān)于直線y=-x對(duì)稱的射線的對(duì)應(yīng)角為-45°+15°=-30°,所以β=-30°+k·360°,k∈Z.
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6.在與角1 030°終邊相同的角中最大的負(fù)角是　　　　　;最小的正角是
　　　　　　　.
-50°
310°
解析 與1 030°終邊相同的角的一般形式為β=k·360°+1 030°(k∈Z),
由-360°得-1 390°故所求的最大負(fù)角為β=-50°.
由0°得-1 030°故所求的最小正角為β=310°.
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{β|β=60°+n·180°,n∈Z}
S={β|β=60°+k·360°,k∈Z}∪{β|β=240°+k·360°,k∈Z}
={β|β=60°+2k·180°,k∈Z}∪{β|β=60°+(2k+1)·180°,k∈Z}
={β|β=60°+n·180°,n∈Z}.
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B 級(jí) 關(guān)鍵能力提升練
8.下列各角中,與27°角終邊相同的是(　　)
A.63° B.153°
C.207° D.387°
D
解析 與27°角終邊相同的角的集合為{α|α=27°+k·360°,k∈Z},取k=1,可得α=387°.故與27°角終邊相同的是387°.故選D.
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9.射線OA繞端點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°到達(dá)OB位置,由OB位置繞端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到達(dá)OC位置,得∠AOC=-150°,則射線OB旋轉(zhuǎn)的方向與角度分別為(　　)
A.逆時(shí)針,270° B.順時(shí)針,270°
C.逆時(shí)針,30° D.順時(shí)針,30°
B
解析 由題意可知,∠AOB=120°,設(shè)∠BOC=θ,
所以∠AOC=∠AOB+∠BOC=120°+θ=-150°,解得θ=-270°,
故需要射線OB繞端點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)270°.
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A.M=P B.M P
C.M P D.M∩P=
B
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11.(多選題)已知A={第一象限角},B={銳角},C={小于90°的角},那么A,B,C的關(guān)系是(　　)
A.B=A∩C B.B∪C=C
C.B∩A=B D.A=B=C
BC
解析 A∩C除了銳角,還包括其他角,比如-330°角,所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.
銳角是小于90°的角,故B選項(xiàng)正確.
銳角是第一象限角,故C選項(xiàng)正確.
A,B,C集合中角的范圍不一樣,所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.
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12.(多選題)已知角2α的終邊在x軸的上方,那么角α可能是(　　)
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
AC
解析 因?yàn)榻?α的終邊在x軸的上方,
所以k·360°<2α則有k·180°<α故當(dāng)k=2n,n∈Z時(shí),n·360°<α當(dāng)k=2n+1,n∈Z時(shí),n·360°+180°<α1
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13.角α,β的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱,若α=30°,則β=　　　　　　　　　　　.
150°+k·360°,k∈Z
解析 ∵30°與150°的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱,
∴β的終邊與150°角的終邊相同.∴β=150°+k·360°,k∈Z.
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14.若角β的終邊與60°角的終邊相同,在[0°,360°)內(nèi),終邊與角 的終邊相同的角為　　　　 　.
20°,140°,260°
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15.已知α=-1 910°.
(1)把α寫(xiě)成β+k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式,并指出它是第幾象限角;
(2)求θ,使θ與α的終邊相同,且-720°≤θ<0°.
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解 (1)設(shè)α=β+k·360°(k∈Z),
則β=-1 910°-k·360°(k∈Z).
k的最大整數(shù)解為k=-6,求出相應(yīng)的β=250°,
于是α=250°-6×360°,它是第三象限角.
(2)令θ=250°+n·360°(n∈Z),
取n=-1,-2就得到符合-720°≤θ<0°的角.
250°-360°=-110°,250°-720°=-470°.
故θ=-110°或θ=-470°.
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C 級(jí) 學(xué)科素養(yǎng)創(chuàng)新練
16.自行車(chē)大鏈輪有36齒,小鏈輪有n齒,當(dāng)大鏈輪轉(zhuǎn)過(guò)一周時(shí),小鏈輪轉(zhuǎn)過(guò)的角度的絕對(duì)值是540度,則n=　　　　　.
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17.已知α,β都是銳角,且α+β的終邊與-280°角的終邊相同,α-β的終邊與670°角的終邊相同,求角α,β的大小.
解 由題意可知,α+β=-280°+k·360°,k∈Z.
∵α,β都是銳角,∴0°<α+β<180°.
取k=1,得α+β=80°.①
α-β=670°+k·360°,k∈Z.
∵α,β都是銳角,∴-90°<α-β<90°.
取k=-2,得α-β=-50°.②
由①②,得α=15°,β=65°.

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