資源簡介

(共44張PPT)
湘教版 數學 必修第一 冊
課 標 要 求
1.了解弧度制,體會引入弧度制的必要性.
2.能進行弧度與角度的互化,熟悉特殊角的弧度數.
3.掌握弧度制中扇形的弧長和面積公式,會應用公式解決簡單的問題.
基礎落實·必備知識一遍過
知識點一　度量角的兩種單位制
角度
制 定義 用“　　　”作為單位來度量角的單位制
1度的角 把周角分成360等份,每一份叫作1度的角
弧度
制 定義 以“　　　　”為單位來度量角的單位制
1弧度
的角 長度等于　　　　的弧所對的圓心角叫作1弧度的角,1弧度記作1　　　　
度
弧度
半徑長
rad
過關自診
在大小不同的圓中,長度為1的弧所對的圓心角相等嗎
提示 不相等.因為弧長等于1,在大小不同的圓中,由于半徑不同,圓心角也不同.
知識點二　弧度數的計算與互化
1.弧度數的計算
(1)正角的弧度數是一個　　　　.
(2)負角的弧度數是一個　　　　.
(3)零角的弧度數是　　　　.
(4)如果半徑為r的圓的圓心角α所對的弧長為l,那么,角α的弧度數的絕對值是|α|=　　　.
正數
負數
0
2.角度制與弧度制的換算
3.一些特殊角與弧度數的對應關系
過關自診
1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)
(1)“1弧度的角”的大小和所在圓的半徑大小無關.(　　)
(2)160°化為弧度數是 π rad.(　　)
√
√
2.下列換算結果錯誤的是(　　)
C
知識點三　扇形的弧長和面積公式
設扇形的半徑為r,弧長為l,α為其圓心角且α=x rad,則
扇形 x為弧度數
扇形的弧長 l=|x|r
扇形的面積
過關自診
設扇形的弧長為18 cm,半徑為12 cm,求這個扇形的面積.
重難探究·能力素養速提升
探究點一 弧度制的概念
【例1】 (多選題)下列說法中正確的是(　 　)
A.弧度角與實數之間建立了一一對應的關系
C.根據弧度的定義,180°一定等于π弧度
D.無論是用角度制還是用弧度制度量角,角的大小均與圓的半徑的大小有關
ABC
解析 無論是用角度制還是用弧度制度量角,角的大小均與圓的半徑的大小無關,而是與弧長和半徑的比值有關,故D項錯誤.
規律方法　1.用角度制和弧度制度量零角,單位不同,但數量相同(都是0);用角度制和弧度制度量任一非零角,單位不同,數量也不同.
2.以弧度為單位表示角的大小時,“弧度”或“rad”通常省略不寫,但以度為單位表示角的大小時,“度”或“°”不能省去.
3.以弧度為單位度量角時,常把弧度數寫成nπ(n∈R)的形式.若無特別要求,不必把π寫成小數,如45°= rad,不必寫成45°≈0.785 rad.
變式訓練1
下列說法正確的是(　　)
A.1弧度是長度等于半徑的弧
B.1弧度是1°的圓心角所對的弧
C.1弧度是長度等于半徑的圓弧所對的圓心角
D.1弧度等于1°
C
解析 1弧度角的定義:長度等于半徑的圓弧所對的圓心角叫作1弧度的角.由題意可知,只有C正確.
探究點二 角度與弧度的互化與應用
【例2】 (1)①將112°30'化為弧度為　　　　　.
-75°
規律方法　角度制與弧度制互化的關鍵與方法
(1)關鍵:抓住互化公式π rad=180°是關鍵;
(3)角度化弧度時,應先將分、秒化成度,再化成弧度.
變式訓練2
(1)將-157°30'化成弧度為　　　　　.
-396°
探究點三 用弧度表示角或范圍
【例3】 用弧度表示終邊落在圖中所示陰影部分內(不包括邊界)的角的集合.
規律方法　用弧度制表示角應注意的問題:
(1)用弧度表示區域角,實質是角度表示區域角在弧度制下的應用,必要時,需進行角度與弧度的換算.注意單位要統一,角度數與弧度數不能混用.
(2)在表示角的集合時,可以先寫出一周角范圍(如-π~π,0~2π)內的角,再加上2kπ,k∈Z.
(3)終邊在同一直線上的角的集合可以合并為{x|x=α+kπ,k∈Z};終邊在相互垂直的兩直線上的角的集合可以合并為 ,在進行區間的合并時,一定要做到準確無誤.
變式訓練3
以弧度為單位,寫出終邊落在直線y=-x上的角的集合.
探究點四 弧長公式與扇形面積公式的應用
【例4】 (1)已知扇形的周長為8 cm,圓心角為2,求該扇形的面積;
解 設扇形的半徑為r cm,弧長為l cm,由圓心角為2 rad,
依據弧長公式可得l=2r,從而扇形的周長為l+2r=4r=8,解得r=2,則l=4.
(2)已知扇形的周長為10 cm,面積等于4 cm2,求其圓心角的弧度數.
變式探究
本例(1)中,將條件“圓心角為2”去掉,求扇形面積的最大值.
規律方法　弧度制下有關弧長、扇形面積問題的解題策略
(1)扇形的弧長公式和面積公式涉及四個量:面積S,弧長l,圓心角α,半徑r,已知其中的三個量一定能求得第四個量(通過方程求得),已知其中的兩個量能求得剩余的兩個量(通過方程組求得).
(2)在研究有關扇形的相關量的最值時,往往轉化為二次函數的最值問題.
(3)注意扇形圓心角弧度數的取值范圍是(0,2π),實際問題中注意根據這一范圍進行取舍.
學以致用·隨堂檢測促達標
A 級 必備知識基礎練
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1.已知扇形的半徑是2,面積為8,則此扇形的圓心角的弧度數是(　　)
A.4 B.2
C.8 D.1
A
解析 設扇形的圓心角的弧度數α=x,則由面積公式可知S= r2x=8,
結合r=2可知x=4.
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2.若α=-3,則角α的終邊在(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
C
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3.(多選題)[2024甘肅白銀高一?？计谀下列結論正確的有(　　)
C.與-2 024°角終邊相同的最小正角是136°
D.若角α為銳角,則角2α為鈍角
BC
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4.已知角α=2 010°.
(1)將α改寫成θ+2kπ(k∈Z,0≤θ<2π)的形式,并指出α是第幾象限角;
(2)在區間[-5π,0)上找出與α終邊相同的角;
(3)在區間[0,5π)上找出與α終邊相同的角.
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B 級 關鍵能力提升練
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6.已知一個扇形的半徑與弧長相等,且扇形的面積為2 cm2,則該扇形的周長為(　　)
A.6 cm B.3 cm
C.12 cm D.8 cm
A
解析 設扇形的半徑為R cm,則弧長l=R cm,扇形的圓心角為1 rad.
又因為扇形的面積為2 cm2,所以 R2=2,解得R=2 cm,
故扇形的周長為6 cm.故選A.
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8.(多選題)圓的一條弦的長等于半徑,則這條弦所對的圓周角的弧度數為
(　　)
AD
解析 設該弦所對的圓周角為α,則其圓心角為2α或2π-2α,
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9.已知扇形的周長是12,面積是8,則扇形的中心角的弧度是　　　.
1或4
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C 級 學科素養創新練
10.《九章算術》是我國古代數學成就的杰出代表作,其中《方田》章給出計算弧田面積所用的經驗方式為:弧田面積= (弦×矢+矢2).弧田(如圖)由圓弧和其所對弦所圍成,公式中“弦”指圓弧所對弦長,“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差.現有圓心角為 ,半徑等于4米的弧田,按照上述經驗公式計算所得弧田面積約是(　　)
A.6平方米
B.9平方米
C.12平方米
D.15平方米
B
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