資源簡(jiǎn)介

(共22張PPT)
5.2
任意角的三角函數(shù)
第五章
5.2.3 誘導(dǎo)公式
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.利用單位圓的對(duì)稱(chēng)性及同角三角函數(shù)關(guān)系推導(dǎo)誘導(dǎo)公式.
2.掌握三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，理解“奇變偶不變，符號(hào)看象限”等的含義.
3.能運(yùn)用誘導(dǎo)公式求值.化簡(jiǎn)簡(jiǎn)單的三角函數(shù)式及證明簡(jiǎn)單的三角恒等式.
核心素養(yǎng)：直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算.
新知學(xué)習(xí)
誘導(dǎo)公式一
角α與k·2π+α（k∈Z）的三角函數(shù)間的關(guān)系
由三角函數(shù)定義可以知道：終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等.即有公式一
sin（α+2kπ）＝sin α（k∈Z），
cos（α+2kπ）＝cos α（k∈Z），
tan（α+2kπ）＝tan α（k∈Z）.
【注意】（1）誘導(dǎo)公式一的實(shí)質(zhì)是：終邊相同的角，其同名三角函數(shù)的值相等. （2）利用公式一可以把任意角的三角函數(shù)值化為0~2π范圍內(nèi)終邊相同的角的三角函數(shù)值（方法是先在0~2π的范圍內(nèi)，找出與所給角終邊相同的角，再把它寫(xiě)成公式一的形式，進(jìn)而求得結(jié)果）.
（3）由公式一可知，三角函數(shù)值有“周而復(fù)始”的變化規(guī)律.這也說(shuō)明了角與三角函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系是多（角）對(duì)一（值）的關(guān)系，即如果給定一個(gè)角，它的三角函數(shù)值只要存在就是唯一的；反過(guò)來(lái)，如果給定一個(gè)三角函數(shù)值，都有無(wú)數(shù)個(gè)角與之對(duì)應(yīng).
新知學(xué)習(xí)
誘導(dǎo)公式二
角α與-α的三角函數(shù)間的關(guān)系
如果角α的終邊與角β的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，那么α與β的三角函數(shù)值之間有什么關(guān)系？
設(shè)角α，β的終邊分別與單位圓交于點(diǎn)P，P′，則點(diǎn)P和點(diǎn)P′關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)（圖）.
根據(jù)三角函數(shù)的定義，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（cos α，sin α），點(diǎn)P′的坐標(biāo)是（cos β，sin β），
則有sin β＝-sin α，cos β＝cos α.
由同角三角函數(shù)關(guān)系得
特別地，角-α與角α的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，則有公式二　　
sin（-α）＝-sin α，cos（-α）＝cos α，tan（-α）＝-tan α.
點(diǎn)P′的坐標(biāo)是（cos α，sin -α），則有β＝-α，則α，β的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)
后邊的誘導(dǎo)公式推導(dǎo)都要用到
新知學(xué)習(xí)
誘導(dǎo)公式三
角α與π+α的三角函數(shù)間的關(guān)系
若角α的終邊與角β的終邊關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)（圖）.
同理可得，sin β＝-sin α，cos β＝-cos α，tan β＝tan α.
特別地，角π+α與角α的終邊關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)，則有公式三
sin（π+α）＝-sin α，
cos（π+α）＝-cos α，
tan（π+α）＝tan α.
新知學(xué)習(xí)
誘導(dǎo)公式四
角α與π-α的三角函數(shù)間的關(guān)系
若角α的終邊與角β的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)（圖）.
同理可得
sin β＝sin α，cos β＝-cos α，tan β＝-tan α.
特別地，角π-α與角α的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則有公式四
sin（π-α）＝sin α，
cos（π-α）＝-cos α，
tan（π-α）＝-tan α.
總結(jié)
【問(wèn)題1】公式二、公式三、公式四間的關(guān)系
【答】
【問(wèn)題2】關(guān)于“函數(shù)名不變，符號(hào)看象限”的理解.
【答】①“函數(shù)名不變”是指等式兩邊的三角函數(shù)同名；
②“符號(hào)看象限”是指把原角看成銳角時(shí)新角在原函數(shù)下的符號(hào)，由
新角所在象限確定符號(hào).如sin(α+π)，若把α看成銳角，則π+α在
第三象限，所以取負(fù)值，故sin(α+π)=-sinα
誘導(dǎo)公式一~四的應(yīng)用
【例1】利用公式求下列三角函數(shù)的值.
【解】





方法歸納
【利用誘導(dǎo)公式一~四把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化成銳角的三角函數(shù)的步驟】
任意負(fù)角的
三角函數(shù)
用公式一
或公式二
任意正角的
三角函數(shù)
0~2π的角
的三角函數(shù)
用公式三
或公式四
銳角的
三角函數(shù)
用公式一
利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)的一般思路：
【例2】化簡(jiǎn)
【解】因?yàn)?br/>




所以原式=

誘導(dǎo)公式一~四的應(yīng)用
填表：

















即時(shí)鞏固
誘導(dǎo)公式五
公式五
誘導(dǎo)公式六
總結(jié)
誘導(dǎo)公式有什么用？
公式一、二、三、四、五、六都叫作三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式.
誘導(dǎo)公式揭示了終邊具有某種對(duì)稱(chēng)關(guān)系的兩個(gè)角三角函數(shù)之間的關(guān)系.換句話說(shuō)，誘導(dǎo)公式實(shí)質(zhì)是將終邊對(duì)稱(chēng)的圖形關(guān)系“翻譯”成三角函數(shù)之間的代數(shù)關(guān)系.
誘導(dǎo)公式的橫向?qū)Ρ?br/>






誘導(dǎo)公式的橫向?qū)Ρ?br/>【1】誘導(dǎo)公式都是α的三角函數(shù)與 的三角函數(shù)之間的轉(zhuǎn)化，記憶口訣是：
奇變偶不變，符號(hào)看象限

【2】“奇變偶不變”：角α前面的是 ，如果 是 的奇數(shù)倍，那么得到的
三角函數(shù)名要發(fā)生變化，即正弦變余弦，余弦變正弦；如果 是 的偶數(shù)倍，
那么得到的三角函數(shù)名不變化

【3】“符號(hào)看象限”：將角α看成一個(gè)銳角(為了判斷符號(hào)，實(shí)際α可以不是銳角)，
此時(shí)判斷 所在的象限，并觀察原三角函數(shù)對(duì)這個(gè)角運(yùn)算得到的符號(hào)
是正還是負(fù).
【4】這些規(guī)律對(duì)任何三角函數(shù)(只要存在，有意義)都成立



【例1】證明：
【證明】




即時(shí)鞏固
【例2】已知 ，且 ，求 的值.
【分析】注意到(53°-α)+(37°+α)=90°，如果設(shè)β= 53°-α，γ= 37°+α，那
么β+γ=90°，所以可以利用誘導(dǎo)公式.


【解】設(shè)β= 53°-α，γ= 37°+α，則β+γ=90°，γ=90°-β.
所以sinγ=sin(90°-β)=cosβ
因?yàn)?270°＜α＜-90°，所以143°＜β＜323°
由 ，得143°＜β＜180°

所以

所以

即時(shí)鞏固
隨堂小測(cè)
1.已知tan α＝4，則tan(π－α)等于
A.π－4 B.4 C.－4 D.4－π
解析　tan(π－α)＝－tan α＝－4.
解析　sin 585°＝sin(360°＋225°)＝sin(180°＋45°)
3利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)：
sin(π－x)＝________，sin(π＋x)＝________.
sin x　 －sin x
5.已知600°角的終邊上有一點(diǎn)P(a，－3)，則a的值為_(kāi)_____.
解析　tan 600°＝tan(360°＋240°)＝tan(180°＋60°)
課堂小結(jié)
1.明確各誘導(dǎo)公式的作用
2.誘導(dǎo)公式的記憶
這四組誘導(dǎo)公式的記憶口訣是“函數(shù)名不變，符號(hào)看象限”.其含義是誘導(dǎo)公式兩邊的函數(shù)名稱(chēng)一致，符號(hào)則是將α看成銳角時(shí)原角所在象限的三角函數(shù)值的符號(hào)，α看成銳角，只是公式記憶的方便，實(shí)際上α可以是任意角.
3.已知角求值問(wèn)題，一般要利用誘導(dǎo)公式一和公式二，將負(fù)角化為正角，將大角化為0～2π之間的角，然后利用特殊角的三角函數(shù)求解.必須對(duì)一些特殊角的三角函數(shù)值熟記，做到“見(jiàn)角知值，見(jiàn)值知角”

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