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5.3
三角函數的圖象與性質
第五章
5.3.2 正切函數的圖象與性質
學習目標
1.借助圖象理解正切函數在區間 內的性質.
2.能畫出y＝tan x的圖象.
3.會用正切函數的性質解決有關問題.
核心素養：數學抽象、邏輯推理、直觀想象
新知學習
正切函數的圖象與性質
【思考】根據研究正弦函數和余弦函數的經驗，你認為應該如何研究正切函數的
圖象和性質？能用不同的方法研究正切函數嗎？
【解答】應先作出正切函數的圖象，通過觀察圖象獲得對函數性質的直觀認識，
再從代數的角度對性質作出嚴格表述.
新知學習
圖1
圖2
正切函數的圖象與性質
正切函數的圖象與性質
正切函數無減區間，只有增區間，并且每個區間均為開區間，不能寫成閉區間
【問】你能證明正切函數的周期性嗎？
【答】①當k是偶數時，

②當k是奇數時，

綜上，有

由周期函數的定義可知，正切函數的周求是 是它的最小正周期.
【再問】這有什么用？
【再答】可以先研究正切函數在 之間的圖象和性質，再加以拓展.

正切函數的圖象與性質
【問】正切函數的圖象有怎樣的特征？
【答】①圖象關于原點對稱
②圖象在 軸上方的部分下凹；在 軸下方的部分上凸.
②圖象被相互平行的直線 隔開，圖象無限
接近這些直線，但永不相交。


正切函數的圖象與性質
【單調性】觀察正切曲線可知，正切函數在區間 上單調遞增；
由周期性可知，正切函數在每個區間 上都單調遞增
【問】由正切函數是奇函數，可以得到它的圖象關于原點對稱。結合圖象，還能
發現其它的對稱中心嗎？有對稱軸嗎？
【答】正切函數的圖象有無數個對稱中心，包括圖象與橫軸的交點和漸近線與
橫軸的交點。
正切函數不是軸對稱圖形，沒有對稱軸.
正切函數的圖象與性質
【1】求函數 的定義域和周期.

【解】自變量 的取值滿足條件
所以函數的定義域是
設 ，又 ，所以
即

因為 都有


所以，函數的周期為2
即時鞏固
【2】觀察正切曲線，直接寫出滿足下列條件的 的范圍.
【解】


即時鞏固
【3】求下列函數的周期.
【解】

所以函數 的周期為 .


所以函數 的周期為 .

即時鞏固
【4】若 在 內為減函數，則（ ）
【解】由題意有 ，且 ，所以


答案選擇C
即時鞏固
隨堂小測
√
A.奇函數 B.偶函數
C.既是奇函數又是偶函數 D.既不是奇函數又不是偶函數
√
√
4.將tan 1，tan 2，tan 3按大小順序排列為_ _____________.(用“<”連接)
tan 2(－∞，－1]∪[1，＋∞)
課堂小結

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