資源簡介

(共71張PPT)
湘教版 數學 必修第一 冊
課 標 要 求
1.理解并掌握任意角三角函數(正弦、余弦、正切函數)的定義.
2.已知角α終邊上一點,會求角α的各三角函數值.
3.理解三角函數線的意義,能用三角函數線表示一個角的正弦、余弦和正切.
4.能利用三角函數線的定義,理解正弦、余弦、正切函數值在各象限內的符號.
5.能利用三角函數線解決一些簡單的三角函數問題.
基礎落實·必備知識一遍過
知識點一　三角函數的概念
1.概念
前
提 如圖,設α是一個任意角,在角α的終邊OM上任取
不同于原點O的點P,利用點P的坐標(x,y)定義
定
義 正弦 　　　　　　　,其中r=
余弦 　　　　　　　,其中r=
正切 　　　　　　
2.三角函數的解析式和定義域
三角函數 解析式 定義域
正弦函數 y=sin α 　　
余弦函數 y=cos α 　 　
正切函數 y=tan α
R
R
過關自診
B
2.(多選題)若角α的終邊過點(0,1),則下列說法正確的是(　　)
A.sin α=-1
B.cos α=0
C.tan α不存在
D.cos α=1
3.三角函數值的大小與點P在角α終邊上位置是否有關
提示 三角函數值是比值,是一個實數,它的大小與點P在終邊上的位置無關,只與角α的終邊位置有關,即三角函數值的大小只與角有關.
BC
知識點二　三角函數線的概念
前
提 設單位圓的圓心為直角坐標系
的原點O,角α的終邊與單位圓交
于點P,過點P作x軸的垂線,垂足
為D,過點A(1,0)作單位圓的切線
x=1,如果tan α存在,設該切線與
角α的終邊(當α為第一、四象限
角時)或其反向延長線(當α為第
二、三象限角時)相交于點T(1,y1)
定
義 正弦線 有向線段DP稱為角α的正弦線,DP=y=sin α
余弦線 有向線段OD稱為角α的余弦線,OD=x=cos α
定
義 正切線 有向線段AT稱為角α的正切線,AT= =tan α
三角函數線 正弦線、余弦線、正切線統稱為三角函數線
過關自診
1.如果角α的終邊落在坐標軸上,你能否發現其正弦線、余弦線的變化特點
提示 當角α的終邊在x軸上時,點P與點D重合,這時正弦線變成了一點,它的數量為零,而余弦線的數量OD=1或-1.
當角α的終邊在y軸上時,余弦線變成了一點,它的數量為零,而正弦線的數量DP=1或-1.
2.如何根據三角函數線確定三角函數值
提示 三角函數線與坐標軸正方向同向則三角函數為正值,反向則三角函數為負值,而三角函數的絕對值等于三角函數線的長度.
知識點三　三角函數值的符號
sin α,cos α,tan α在各個象限的符號.
角的終邊在坐標軸上時不適合,要利用定義求值
名師點睛
1.正弦值的符號取決于縱坐標y的符號,它在x軸上方為正,下方為負;余弦值的符號取決于橫坐標x的符號,在y軸右側為正,左側為負;正切值符號取決于橫、縱坐標符號,同號為正,異號為負.
2.三角函數值符號的口訣:“一全正,二正弦,三正切,四余弦”.
過關自診
在單位圓中,確定下列三角函數值的符號:
重難探究·能力素養速提升
探究點一 利用三角函數的定義求三角函數值
【例1】 (1)已知角θ的終邊上有一點P(x,3)(x≠0),且cos θ= x,
求sin θ+tan θ.
變式探究1
將本例(2)的條件“ x+y=0(x<0)”改為“y=2x”,其他條件不變,結果又如何
變式探究2
將本例(2)的條件“落在直線 x+y=0上”改為“過點P(-3a,4a)(a≠0)”,
求2sin α+cos α.
規律方法　1.已知角α的終邊在直線上時,常用的解題方法有以下兩種:
(1)在α的終邊上任選特殊點的坐標,求出點到原點的距離后利用定義求三角函數值;
(2)在α的終邊上任選一點P(x,y),P到原點的距離為r(r>0),
2.當角α的終邊上點的坐標以參數形式給出時,一定注意對字母正、負的辨別,若正、負未定,則需分類討論.
探究點二 三角函數值符號的運用
1.根據角的象限確定三角函數值的符號
【例2】 判斷下列各式的符號:
(1)sin 105°cos 230°;
解 ∵105°,230°分別為第二、第三象限角,
∴sin 105°>0,cos 230°<0.于是sin 105°cos 230°<0.
規律方法　根據確定的角判斷其相應三角函數值的符號,首先利用終邊相同的角將所給角轉化為[0,2π)內的角,判斷其所在象限后,結合三角函數特征確定符號.
2.根據三角函數值的符號確定角所在的象限
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
C
解析 由sin αtan α<0可知sin α,tan α異號,從而α為第二、第三象限角.
從而α為第三、第四象限角.綜上可知,α為第三象限角,故選C.
規律方法　根據三角函數值的符號確定角所在的象限,應分別根據三角函數值的符號確定所在象限后取交集.
3.含絕對值的三角函數值域
A.3 B.-3
C.1 D.-1
BC
規律方法　涉及三角函數的絕對值問題,求解時要根據角所在的象限,去掉絕對值號分類討論.
變式訓練1
(1)若角θ滿足sin θ<0,tan θ<0,則角θ是(　　)
A.第三象限角
B.第四象限角
C.第三象限角或第四象限角
D.第二象限角或第四象限角
B
解析 sin θ<0時,角θ可以是第三、四象限角,或終邊在y軸負半軸上;
又tan θ<0時,角θ可以是第二、四象限角,因此角θ是第四象限角.故選B.
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
C
(3)判斷下列各式的符號:
①sin 105°·cos 230°;
解 105°,230°分別為第二、第三象限角,
所以sin 105°>0,cos 230°<0,
所以sin 105°·cos 230°<0.
探究點三 利用三角函數線定義求三角函數值
【例5】 作出 的正弦線、余弦線和正切線,并利用三角函數線求出它們的正弦、余弦和正切.
規律方法　1.作正弦線、余弦線的步驟:
(1)在坐標系中,作角α的終邊與單位圓交點P;
(2)過點P作x軸的垂線,設垂足為D,得正弦線DP、余弦線OD.
2.作正切線的步驟:
過點A(1,0)作單位圓的切線,與角α的終邊或其反向延長線的交點設為T,得角的正切線AT.
變式訓練2
分別作出下列各角的正弦線、余弦線和正切線,并求出它們的正弦、余弦和正切.
(1)
(2)
探究點四 利用三角函數線比較三角函數值的大小
規律方法　利用三角函數線比較三角函數值的大小時,一般分三步:①準確作出角的終邊與單位圓的交點并作出相應的三角函數線;②比較三角函數線的長度;③確定有向線段的正負.
變式訓練3
(1)若a=sin 2,b=cos 2,則a,b的大小關系為(　　)
A.aC.a=b D.不能確定
B
解析 因為 <2<π,作出2弧度角的正弦線、余弦線如圖所示分別為DP,OD.
易知DP>0,OD<0,因此sin 2>cos 2.
(2)sin 4,cos 4,tan 4的大小關系是(　　)
A.sin 4C.cos 4D
探究點五 利用三角函數線解三角不等式
【例7】 在單位圓中畫出適合下列條件的角α的終邊的范圍,并由此寫出角α的集合.
規律方法　利用三角函數線解簡單不等式的方法
利用三角函數線求解不等式,通常采用數形結合的方法,求解關鍵是恰當地尋求點,一般來說,對于sin x≥b,cos x≥a(或sin x≤b,cos x≤a),只需作直線y=b,x=a與單位圓相交,連接原點和交點即得角的終邊所在的位置,此時再根據方向即可確定相應的x的范圍;對于tan x≥c(或tan x≤c),則取點(1,c),連接該點和原點即得角的終邊所在的位置,并反向延長,結合圖象可得.
變式訓練4
用三角函數線寫出滿足下列條件的角x的集合.
學以致用·隨堂檢測促達標
A 級 必備知識基礎練
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3.若角α的終邊經過點P(-1,-1),則(　　)
A
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4.已知點P(tan α,sin α)在第三象限,則角α的終邊在(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
D
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5.用三角函數線比較sin 50°和cos 50°的大小,正確的結果為(　　)
A.sin 50°>cos 50° B.sin 50°C.sin 50°=cos 50° D.sin 50°和cos 50°無法比較
A
解析 如圖所示,50°角的正弦線為DP,余弦線為OD,△POD中,
∠POD=50°,根據大角對大邊知,DP>OD,即sin 50°>cos 50°.故選A.
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6.已知角α的正切線是單位長度的有向線段,那么角α的終邊(　　)
A.在x軸上
B.在y軸上
C.在直線y=x上
D.在直線y=x,或y=-x上
D
解析 由題意可知,|AT|=1,
∴AT=±1.則tan α=±1,角α的終邊在直線y=±x上,故選D.
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A.正弦線 B.余弦線
C.正切線 D.不能確定
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8.(多選題)下列說法中正確的是(　　)
A.α一定時,單位圓中的正弦線一定
B.單位圓中,有相同正弦線的角相等
C.α和α+π有相同的正切線
D.具有相同正切線的兩個角終邊在同一條直線上
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9.已知角θ的頂點為坐標原點,始邊為x軸的正半軸,若P(4,3)是角θ終邊上一點,則sin θ=　　　　　　.
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10.在平面直角坐標系中,角α的頂點與原點重合,始邊與x軸的非負半軸重合,終邊過點P(- ,-1),則tan α=　　　　;cos α-sin α=　　　　　.
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B 級 關鍵能力提升練
12.在△ABC中,若sin Acos Btan C<0,則△ABC是(　　)
A.銳角三角形
B.直角三角形
C.鈍角三角形
D.銳角三角形或鈍角三角形
C
解析 因為sin A>0,所以cos B,tan C中一定有一個小于0,即B,C中一定有一個鈍角,故△ABC是鈍角三角形.
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14.已知角α的終邊經過點(3a-9,a+2),且cos α≤0,sin α>0,則實數a的取值范圍是(　　)
A.(-2,3] B.(-2,3)
C.[-2,3) D.[-2,3]
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15.(多選題)下列三角函數值的符號判斷正確的是(　 　)
A.sin 165°>0 B.cos 280°>0
C.tan 170°>0 D.tan 310°<0
ABD
解析 165°是第二象限角,因此sin 165°>0,A正確;280°是第四象限角,
因此cos 280°>0,B正確;170°是第二象限角,因此tan 170°<0,故C錯誤;
310°是第四象限角,因此tan 310°<0,D正確.
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16.已知角α的正弦線和余弦線的方向相反、長度相等,則α的終邊在(　　)
A.第一象限的角平分線上
B.第四象限的角平分線上
C.第二、第四象限的角平分線上
D.第一、第三象限的角平分線上
C
解析 若角α的終邊在直線y=-x上,則角α的正弦線、余弦線長度相同,方向相反.∴α的終邊在第二、第四象限的角平分線上,故選C.
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A.sin θ>cos θ>tan θ
B.cos θ>tan θ>sin θ
C.sin θ>tan θ>cos θ
D.tan θ>sin θ>cos θ
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解析 角θ在第一、三象限角分線的上方,
作出角θ的正弦線DP,余弦線OD,正切線AT,
由圖可知tan θ>sin θ>cos θ,選D.
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C 級 學科素養創新練
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