資源簡介

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5.3
三角函數的圖象與性質
第五章
5.3.1 正弦函數、余弦函數的圖象與性質
學習目標
1.理解正弦函數、余弦函數圖象的畫法.
2.借助圖象變換，了解函數之間的內在聯系.
3.通過三角函數圖象的三種畫法（描點法、幾何法、五點法），體會用“五點法”作圖給我們的學習帶來的好處，并會熟練地畫出一些較簡單的函數的圖象.
4.借助圖象理解正弦函數、余弦函數的性質（如：周期性、奇偶性、單調性、最值等）.
5.運用整體代換的思想，令ωx+φ＝t，借助y＝sin t，y＝cos t的性質研究函數y＝sin（ωx+φ），y＝cos（ωx+φ）的性質.
核心素養：數學抽象、直觀想象、
新知學習
正弦函數的圖象
【探究】首先我們研究 的圖像，從畫函數
開始.如圖，在直角坐標系中畫出以原點O為圓心的單位圓， O 與 軸正


半軸的交點為A(1,0)，在單位圓上講點A繞著點O旋轉 弧度到點B，根據定義有
點B的縱坐標 .由此，以 為橫坐標， 為縱坐標化點，即得到函數圖像上的點
【探究】若把 軸上 這一段分成12等份，讓 的值分別為 … ，
它們所對應的角的終邊與單位圓的交點將圓周12等分，再按剛才畫點

的方法，就可以畫出自變量取這些值時，圖像上對應函數值的點.
利用信息技術取到足夠多的點，再將這些點用光滑的曲線連起來，就可以得到
比較精確的函數 的圖像.

正弦函數的圖象
【探究】由誘導公式一 可知，每經過 個單位長度，函
數 會重復出現，所以只需將 內的函數圖像不段復制平移
即可得到 的圖像(幾何畫法).
幾何畫法的步驟：
建系畫圖
12等分圓
找橫坐標
連線得圖
找縱坐標
左右平移
正弦函數的圖象
五點畫圖法
【問題】在確定正弦函數的圖像形狀時，有哪些關鍵的點？
【答】觀察圖像可知，處于函數連接處和轉折處的五個點起關鍵作用.

在非精確作圖時，一般選取這五個點快速畫出正弦函數的圖像來解決問題.
五點畫圖法
【三種作圖法的比較】
描點法
幾何法
五點法
列表→描點→連線
利用單位圓在[0，2π]上取足夠多的點連線
描最高點最低點,圖像和坐標軸的三個交點
只能取近似值，誤差較大
較為精確，但步驟繁瑣
實用，高效
余弦函數的圖象
【分析】對于函數 ，由誘導公式 ，得到

，而函數 的圖像可以通過正弦

函數 的圖像向左平移 個單位長度得到.所以，將正弦函數的圖像向
左平移 個單位長度，就得到余弦函數的圖像，如圖.

余弦函數 的圖像叫做余弦曲線，它和正弦曲線有相同形狀
“波浪起伏”的連續光滑曲線.


【1】畫出函數的簡圖：

【解】如圖：
即時鞏固
【2】畫出函數的簡圖：
【解】如圖：

即時鞏固
【3】思考函數 和函數 的關系,并畫出函數 的圖像.
【解】
把函數 圖像在 軸下方的部分翻折到 軸上方，加上原來上方的部分就可以得到函數 的圖像(藍色部分)，如圖.
即時鞏固
總結
【平移】
【對稱】
左加右減，
上加下減.
新知學習
正弦函數、余弦函數的性質
【導學1】一般的函數圖像都有哪些性質可以研究？
【解答】周期性、單調性、奇偶性、最值(極值)等等
【1】周期性：觀察正弦函數的圖像，可以發現，x在圖像上，橫坐標每隔2π個單位
長度，就會出現縱坐標相同的點，這就是正弦函數值具有的“周而復始”的變化規律.實際上，這一點既可以從定義中看出，也能從誘導公式中得到反映.即自變量x 的值加上2π的整數倍時所對應的函數值，與x所對應的函數值相等.數學上用周期性來定量地刻畫這種“周而復始”的規律.
【導學2】正弦函數 和余弦函數 的定義域和值域是什么？
【解答】定義域都是R，值域都是[-1，1]
周期函數的周期不止一個.例如2π，4π，6π以及-2π，-4π，-6π等.都是正弦
函數的周期.
如果在周期函數f（x）的所有周期中存在一個最小的正數，那么這個最小正數
就叫做f（x）的最小正周期.
根據上述定義，有如下結論：
【1】正弦函數是周期函數，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的的周期，最小正周期是2π
【2】余弦函數是周期函數，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的的周期，最小正周期是2π
周期性
【周期函數的理解】
（1）不是所有的函數都是周期函數.如y＝x，x2等都不是周期函數.
（2）一個周期函數的周期不只一個，若有最小正周期，則最小正周期只有一個.本書所涉及的周期，如果沒有特殊說明，均指最小正周期.
（3）若T是函數f（x）的一個周期，則kT（k∈N*）也是函數f（x）的周期.
（4）周期函數的定義域一定是無限集.
（5）不是所有的周期函數都存在最小正周期.如：常函數f（x）＝C（C為常數），x∈R是周期函數，但沒有最小正周期.當x為定義域內的任何值時，函數值都是C，即對于函數f（x）的定義域內的每個值x，T為任意不為零的常數，都有f（x+T）＝C，因此f（x）是周期函數.由于T可以是任意不為零的常數，所以f（x）沒有最小正周期.
周期性
思 考
求下列函數的周期：
【解】
即時鞏固
值域與最值
奇偶性
【探究】觀察正弦曲線和余弦曲線，可以看到正弦曲線關于原點O對稱，余弦曲線
關于y軸對稱.所以正弦函數是奇函數，余弦函數是偶函數.
【注意】①判斷函數的奇偶性時，一定要先判斷函數的定義域是否關于原點對稱，
只要定義域不關于原點對稱，那么這個函數肯定不具備奇偶性.
②由奇偶性我們知道正弦曲線關于原點(0,0)對稱，余弦曲線關于y軸(x=0)
對稱.
③正弦曲線和余弦曲線即是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形.
下列函數中，哪些是奇函數？哪些是偶函數？
【解】(1)奇函數
(2)偶函數
(3)奇函數
(4)奇函數
即時鞏固
單調性
【探究】由于正弦函數是周期函數，我們可以先在它的一個周期的區間里如
討論它的單調性，再利用它的周期性，將單調性擴展到整個定義域.
如圖可以看到：當 由 增大到
時，曲線逐漸上升， 的值由1減小
到-1. 的值變化情況如圖所示：
這也就是說，正弦函數 在區間 上單調遞增，在區間
上單調遞減.
單調性
正弦函數在每一個閉區間 上都單調遞增，其值從-1增
大到1；在每一個閉區間 上都單調遞減，其值從1減小到-1.
由上述結果結合正弦函數的周期性我們可以知道：
單調性
余弦函數在每一個閉區間 上都單調遞增，其值從-1增大到1；
在每一個閉區間 上都單調遞減，其值從1減小到-1.
同樣的道理結合余弦函數的周期性我們可以知道：
最大值與最小值
【整理】從上述對正弦函數、余弦函數的單調性的討論中容易得到：
①正弦函數當且僅當 時取得最大值1，
當且僅當 時取得最小值-1；
②余弦函數當且僅當 時取得最大值1，
當且僅當 時取得最小值-1；
【拓展】①正弦、余弦函數圖像上最大值處一般稱為波峰，最小值處稱為波谷.
②正弦函數和余弦函數都不是定義域上的單調函數.
③正弦函數和余弦函數的圖像既是軸對稱圖形也是中心對稱圖形.
R
R
[-1，1]
[-1，1]
最小正周期為2π
最小正周期為2π
奇函數
偶函數
【正弦函數和余弦函數的性質對比】
隨堂小測
1.用“五點法”作y＝2sin 2x的圖象時，首先描出的五個點的橫坐標是
3.設函數f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω>0)，則f(x)的奇偶性
A.與ω有關，且與φ有關 B.與ω有關，但與φ無關
C.與ω無關，且與φ無關 D.與ω無關，但與φ有關
解析　因為當φ＝kπ，k∈Z時，函數f(x)＝cos(ωx＋φ)＝±cos ωx，為偶函數；
所以f(x)的奇偶性與ω無關，但與φ有關.
＝±sin ωx，為奇函數.
解析　由y＝sin x在[0,2π]上的圖象作關于x軸的對稱圖形，應為D項.
2.下列圖象中，y＝－sin x在[0,2π]上的圖象是
A.最小正周期為π的奇函數 B.最小正周期為π的偶函數
∴f (x)＝－cos 2x.
又f(－x)＝－cos(－2x)＝－cos 2x＝f(x)，
∴f(x)是最小正周期為π的偶函數.
±π
6.函數y＝cos x在區間[－π，a]上為增函數，則a的取值范圍是________.
(－π，0]
解析　因為y＝cos x在[－π，0]上是增函數，在[0，π]上是減函數，所以只有－π故a∈(－π，0].
5.
課堂小結
1.對“五點法”畫正弦函數圖象的理解
(1)與前面學習函數圖象的畫法類似，在用描點法探究函數圖象特征的前提下，若要求精度不高，只要描出函數圖象的“關鍵點”，就可以根據函數圖象的變化趨勢畫出函數圖象的草圖.
(2)正弦型函數圖象的關鍵點是函數圖象中最高點、最低點以及與x軸的交點.
2.作函數y＝asin x＋b的圖象的步驟：
3.用“五點法”畫的正弦型函數在一個周期[0，2π]內的圖象，如果要畫出在其他區間上的圖象，可依據圖象的變化趨勢和周期性畫出.
4.求函數的最小正周期的常用方法：
(1)定義法，即觀察出周期，再用定義來驗證；也可由函數所具有的某些性質推出使f(x＋T)＝f(x)成立的T.
(2)圖象法，即作出y＝f(x)的圖象，觀察圖象可求出T，如y＝|sin x|.
(3)結論法，一般地，函數y＝Asin(ωx＋φ)(其中A、ω、φ為常數，A≠0，ω>0，x∈R)的周期T＝ .
5.判斷函數的奇偶性，必須堅持“定義域優先”的原則，準確求函數定義域和將式子合理變形是解決此類問題的關鍵.如果定義域關于原點對稱，再看f(－x)與f(x)的關系，從而判斷奇偶性.
6.求函數y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的單調區間的方法
7.比較三角函數值的大小，先利用誘導公式把問題轉化為同一單調區間上的同名三角函數值的大小比較，再利用單調性作出判斷.
8.求三角函數值域或最值的常用方法
將y表示成以sin x(或cos x)為元的一次或二次等復合函數，再利用換元或配方或利用函數的單調性等來確定y的范圍.

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