資源簡介

(共54張PPT)
湘教版 數學 必修第一 冊
課 標 要 求
1.能根據y=Asin(ωx+φ)的部分圖象,確定其解析式.
2.會用三角函數解決簡單的實際問題.
3.可以利用三角函數構建刻畫事物周期變化的數學模型.
基礎落實·必備知識一遍過
知識點　應用三角函數模型解決問題的一般程序
應用三角函數模型解決問題,首先要把實際問題抽象為數學問題,通過分析它的變化趨勢,確定它的周期,從而建立起適當的三角函數模型,解決問題的一般程序如下:
(1)審題,先審清楚題目條件、要求、理解數學關系.
(2)建模,分析題目特性,選擇適當的三角函數模型.
(3)求解,對所建立的三角函數模型進行分析研究得到數學結論.
(4)還原,把數學結論還原為實際問題的解答.
過關自診
如圖是相對于平均海平面的某海灣的水面高度h(單位:米)在某天從0~24時的變化情況,則水面高度h關于時間t的函數關系式為　　　　　　.
解析 設h關于t的解析式為h=Asin(ωt+φ),
則有h(0)=0,即sin φ=0,
因此可取φ=0;
重難探究·能力素養速提升
探究點一 由y=Asin(ωx+φ)的圖象確定其解析式(或參數值)
C
規律方法　給出y=Asin(ωx+φ)的圖象的一部分,確定A,ω,φ的方法
(1)逐一定參法:先通過圖象確定A和ω,再選取“第一零點”(即“五點法”作圖中的第一個點)的數據代入“ωx+φ=0”(要注意正確判斷哪一點是“第一零點”),求得φ的值.
(2)待定系數法:通過若干特殊點代入函數式,可以求得相關待定系數A,ω,φ.但需要注意的是,要認清所選擇的點屬于五個點中的哪一點,并能正確代入解析式.
(3)圖象變換法:運用逆向思維的方法,先確定函數的基本解析式y=Asin ωx,再根據圖象平移規律確定相關的參數.
變式訓練1
已知函數f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,-π<φ<π)的部分圖象如圖所示,則函數f(x)的解析式為(　　)
B
探究點二 三角函數模型在日常生活中的應用
【例2】 已知電流I與時間t的關系為I=Asin(ωt+φ).
∴ω≥300π>942,
又ω∈N+,
∴ω的最小正整數值是943.
規律方法　例題中的函數模型已經給出,觀察圖象和利用待定系數法可以求出解析式中的未知參數,從而確定函數解析式.此類問題解題關鍵是將圖形語言轉化為符號語言,其中,讀圖、識圖、用圖是數形結合的有效途徑.
變式訓練2
心臟跳動時,血壓在增加或減少.血壓的最大值、最小值分別稱為收縮壓和舒張壓,血壓計上的讀數就是收縮壓和舒張壓,讀數120/80 mmHg為標準值.設某人的血壓滿足函數式p(t)=115+25sin 160πt,其中p(t)為血壓(單位: mmHg),t為時間(單位:min),試回答下列問題:
(1)求函數p(t)的周期;
(2)求此人每分鐘心跳的次數;
(3)求出此人的血壓在血壓計上的讀數.
(3)由圖可知此人的收縮壓為140 mmHg,舒張壓為90 mmHg.
探究點三 數據擬合三角函數模型問題
【例3】 已知某海濱浴場的海浪高度y(單位:米)是時間t(單位:時)的函數,其中0≤t≤24,記y=f(t),下表是某日各時的浪高數據:
t 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1 0.5 0.99 1.5
經長期觀測,y=f(t)的圖象可近似地看成是函數y=Acos ωt+b的圖象.
(1)根據以上數據,求其最小正周期、振幅及函數解析式;
(2)根據規定,當海浪高度大于1米時才對沖浪愛好者開放,請依據(1)的結論,判斷一天內的8:00到20:00之間,有多少時間可供沖浪者進行活動
(2)因為y>1時,才對沖浪愛好者開放,
又0≤t≤24,
所以0≤t<3或9所以在規定時間內只有6個小時沖浪愛好者可以進行活動,
即上午9:00至下午15:00.
變式探究
若將本例(2)中“大于1米”改為“大于1.25米”,結果又如何
即12k-2又0≤t≤24,
所以0≤t<2或10規律方法　處理數據擬合和預測問題的幾個步驟:
(1)根據原始數據,繪出散點圖;
(2)通過散點圖,作出“最貼近”的直線或曲線,即擬合直線或擬合曲線;
(3)根據所學函數知識,求出擬合直線或擬合曲線的函數關系式;
(4)利用函數關系式,根據條件對所給問題進行預測和控制,以便為決策和管理提供依據.
學以致用·隨堂檢測促達標
A 級 必備知識基礎練
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1.若函數f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|≤π)部分圖象如圖所示,則函數y=f(x)的解析式為(　　)
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2.在兩個彈簧上各有一個質量分別為M1和M2的小球做上下自由振動.已知它們在時間t(單位:s)離開平衡位置的位移s1(單位:cm)和s2(單位:cm)分別由
A.s1>s2 B.s1C.s1=s2 D.不能確定
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3.如圖,某港口一天6時到18時的水深變化曲線近似滿足函數y=3sin( x+φ)+k,據此函數可知,這段時間水深y(單位:m)的最大值為(　　)
A.5 B.6
C.8 D.10
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4.車流量被定義為單位時間內通過十字路口的車輛數,單位為輛/分,上班高峰期某十字路口的車流量由函數F(t)=50+4sin (0≤t≤20)給出,F(t)的單位是輛/分,t的單位是分,則下列時間段中,車流量增加的是(　　)
A.[0,5] B.[5,10]
C.[10,15] D.[15,20]
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5.如圖是彈簧振子做簡諧振動的圖象,橫軸表示振動的時間,縱軸表示振動的位移,若|φ|< ,則這個振子振動的函數解析式是　 .
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7.單擺從某點開始來回擺動,離開平衡位置的距離s(單位:cm)和時間t(單位:s)的函數關系式為s=6sin(2πt+ ).
(1)作出函數的圖象.
(2)當單擺開始擺動(t=0)時,離開平衡位置的距離是多少
(3)當單擺擺動到最右邊時,離開平衡位置的距離是多少
(4)單擺來回擺動一次需多長時間
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解 (1)利用“五點法”可作出其圖象,如圖.
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B 級 關鍵能力提升練
8.在圖中,點O為做簡諧運動的物體的平衡位置,取向右的方向為物體位移的正方向,若已知振幅為3 cm,周期為3 s,且物體向右運動到距離平衡位置最遠處時開始計時,則物體對平衡位置的位移x(單位:cm)和時間t(單位:s)之間的函數關系式為(　　)
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9.如圖,圓O的半徑為1,A是圓上的定點,P是圓上的動點,角x的始邊為射線OA,終邊為射線OP,過點P作直線OA的垂線,垂足為M,將點M到直線OP的距離表示為x的函數f(x),則y=f(x)在區間[0,π]上的圖象大致為(　　)
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12.(多選題)如圖所示是一質點做簡諧運動的圖象,則下列結論正確的是
(　 　)
A.該質點的運動周期為0.8 s
B.該質點的振幅為5 cm
C.該質點在0.1 s和0.5 s時運動速度最大
D.該質點在0.1 s和0.5 s時運動速度為零
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解析 由題干圖可知, =0.7-0.3=0.4,所以T=0.8;最小值為-5,
所以振幅為5 cm;在0.1 s和0.5 s時,質點到達運動的端點,所以速度為0.
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14.如圖為一個觀光纜車示意圖,該觀光纜車半徑為4.8 m,圓上最低點與地面距離為0.8 m,60 s轉動一圈,圖中OA所在直線與地面垂直,以OA為始邊,逆時針轉動θ角到OB,設點B與地面距離為h m.
(1)求h與θ間關系的函數解析式;
(2)設從OA開始轉動,經過t秒到達OB,求h與t間關系的函數解析式.
C 級 學科素養創新練
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解 (1)由題意可作圖如圖.過點O作地面平行線ON,
過點B作ON的垂線BM交ON于點M.
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15.為迎接夏季旅游旺季的到來,某景區單獨設置了一個專門安排旅客住宿的客棧,景區的工作人員發現為游客準備的食物有些月份剩余不少,浪費很嚴重,為了控制經營成本,減少浪費,就想適時調整投入.為此他們統計每個月入住的游客人數,發現每年各個月份來客棧入住的游客人數會發生周期性的變化,并且有以下規律:
①每年相同的月份,入住客棧的游客人數基本相同;
②入住客棧的游客人數在2月份最少,在8月份最多,相差約400人;
③2月份入住客棧的游客約為100人,隨后逐月遞增直到8月份達到最多.
(1)試用一個正弦型三角函數描述一年中入住客棧的游客人數與月份之間的關系;
(2)請問哪幾個月份要準備400份以上的食物
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解 (1)設該函數為f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,0<|φ|<π),
根據條件①,可知這個函數的周期是12;由②可知,f(2)最小,f(8)最大,且f(8)-f(2)=400,故該函數的振幅為200;
由③可知,f(x)在區間[2,8]上單調遞增,且f(2)=100,所以f(8)=500.
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解得12k+6≤x≤12k+10,k∈Z.
因為x∈N+,且1≤x≤12,所以x=6,7,8,9,10.
即只有6月份、7月份、8月份、9月份、10月份要準備400份以上的食物.

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