資源簡介

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湘教版 數學 必修第一 冊
課 標 要 求
1.能夠根據所給具體數據,作出頻率分布表,畫頻率分布直方圖.
2.能夠利用頻率分布直方圖估計總體分布的數字特征.
基礎落實·必備知識一遍過
知識點　用頻率分布直方圖估計總體分布
根據平均數的意義可知,樣本平均數可以表示為數據與它的頻率的乘積之和,從而在頻率分布直方圖中,樣本平均數可以用每個小矩形底邊中點的橫坐標與小矩形的面積的乘積之和近似代替.這樣我們就可近似估計樣本的平均數.
根據中位數的意義可知,在樣本中,有50%的個體小于或等于中位數,也有50%的個體大于或等于中位數.因此,在頻率分布直方圖中,中位數左邊和右邊的直方圖的面積應該相等,由此可估計樣本中位數的值.
根據眾數的意義可知,可將頻率分布直方圖中最高矩形所在區間的中點所對應的數據作為樣本眾數的估計值.
名師點睛
樣本的頻率分布直方圖與總體的關系
(1)隨機抽樣得到的樣本的頻率分布直方圖是總體分布的近似.
(2)由抽樣的隨機性可以想到,如果隨機抽取另一個樣本,所形成的樣本頻率分布直方圖會與前一個樣本的頻率分布直方圖有所不同.
過關自診
一個容量為80的樣本中數據的最大值是140,最小值是51,組距是10,則應將樣本數據分為(　　)
A.10組 B.9組
C.8組 D.7組
B
重難探究·能力素養速提升
探究點一 頻率分布直方圖的繪制
【例1】 某高校在2024年的自主招生考試成績中隨機抽取100名學生的筆試成績,按成績分組,得到的頻率分布表如下:
分數分段 頻數 頻率
[160,165) 5 0.05
[165,170) ① 0.35
[170,175) 30 ②
[175,180) 20 0.20
[180,185] 10 0.10
合計 100 1.00
(1)請先求出頻率分布表中①②處應填寫的數據,并完成如圖所示的頻率分布直方圖;
(2)為了選拔出最優秀的學生,高校決定在筆試成績高的第3,4,5組中用分層抽樣的方法抽取6名學生進入第二輪面試,求第3,4,5組每組各應抽取多少名學生進入第二輪面試.
解 (1)由題意可知,第2組的頻數為0.35×100=35,
頻率分布直方圖如圖所示.
規律方法　繪制頻率分布直方圖應注意的問題
在繪制出頻率分布表后,畫頻率分布直方圖的關鍵就是確定小矩形的高.一般地,頻率分布直方圖中兩坐標軸上的單位長度是不一致的,合理的定高方
變式訓練1
為增強市民節能環保意識,某市面向全市征召義務宣傳志愿者,現從符合條件的500名志愿者中隨機抽取100名志愿者,他們的年齡情況如下表所示:
分組(單位:歲) 頻數 頻率
[20,25) 5 0.05
[25,30) ① 0.20
[30,35) 35 ②
[35,40) 30 0.30
[40,45] 10 0.10
合計 100 1.00
(1)頻率分布表中的①②位置應填什么數據
(2)補全如圖所示的頻率分布直方圖.
解 (1)設年齡在[25,30)歲的頻數為x,年齡在[30,35)歲的頻率為y.
解得x=20,y=0.35,故①處應填20,②處應填0.35.
(方法2)由題意得5+x+35+30+10=100,
0.05+0.20+y+0.30+0.10=1,
解得x=20,y=0.35,故①處填20,②處填0.35.
(2)由頻率分布表知年齡在[25,30)歲的頻率是0.20,組距是5,
補全頻率分布直方圖如圖所示.
探究點二 頻率分布直方圖的應用
1.求頻率分布直方圖縱坐標中的參數
【例2】 某中學舉行了一次“環保知識競賽”活動,
為了了解本次競賽學生成績情況,從中抽取了部分
學生的分數(得分取正整數,滿分為100分)作為樣本
(樣本容量為n)進行統計,按照[50,60),[60,70),[70,80),
[80,90),[90,100]的分組作出如圖所示的頻率分布直
方圖,但由于不慎丟失了部分數據.已知得分在[50,60)
的有8人,在[90,100)的有2人,由此推測頻率分布直方圖中的x=(　　)
A.0.04 B.0.03
C.0.02 D.0.01
B
解析 得分在[50,60)的有8人,在[90,100)的有2人,
由頻率分布直方圖的性質可知(0.004+0.010+0.016+x+0.040)×10=1,
解得x=0.03.故選B.
規律方法　由于頻率分布直方圖中的縱坐標為 ,因此涉及縱坐標中含參數問題,應根據頻率之和為1列式求解.
2.根據頻率分布直方圖求樣本數據在某一區間內的頻率(數)
【例3】 在某次數學測驗后,將參加考試的500名學生的數學成績制成頻率分布直方圖(如圖),則在該次測驗中成績不低于100分的學生人數是
(　　)
A.210 B.205
C.200 D.195
C
解析 由頻率分布直方圖,得在該次測驗中成績不低于100分的學生的頻率為1-(0.012+0.018+0.030)×10=0.4,則在該次測驗中成績不低于100分的學生人數為500×0.4=200.故選C.
規律方法　根據頻率分布直方圖(表)求樣本數據在某一區間內的頻率就是樣本數據在該區間內的各組頻率的和,而求解相應的頻數要用頻率乘以樣本容量.
3.根據頻率分布直方圖求眾數、中位數
【例4】 對某小區100戶居民的月均用水量進行統計,得到樣本的頻率分布直方圖如圖,則估計此樣本的眾數、中位數分別為(　　)
A.2.25,2.5 B.2.25,2.02
C.2,2.5 D.2.5,2.25
B
解析 眾數是指樣本中出現頻率最高的數,在頻率分布直方圖中通常取頻率最大的組區間的組中值,所以眾數為 =2.25,中位數是頻率為0.5的分界點,由頻率分布直方圖可知前4組的頻率和為(0.08+0.16+0.30+0.44)×0.5=0.49,因此中位數出現在第5組,設中位數為x,則(x-2)×0.5=0.01,則x=2.02,故選B.
規律方法　1.眾數在樣本數據的頻率分布直方圖中,就是最高矩形的底邊中點的橫坐標.
2.中位數:中位數在頻率分布直方圖左右兩邊直方圖的面積應相等,也就是累積頻率為0.5時對應的樣本數據,求解時常借助比例法求解.
變式訓練2
某校為了解高二年級學生某次數學考試成績的分布情況,從該年級的1 120名學生中隨機抽取了100名學生的數學成績,發現都在[80,150]內,現將這100名學生的成績按照[80,90),[90,100),[100,110),[110,120),[120,130), [130,140),[140,150]分組后,得到的頻率分布直方圖如圖所示,則下列說法正確的是(　　)
A.頻率分布直方圖中a的值為0.040
B.樣本數據低于130分的頻率為0.3
C.總體的中位數(保留1位小數)估計為123.3分
D.總體分布在[90,100)的頻數一定與總體分布
在[100,110)的頻數相等
C
解析 由頻率分布直方圖得(0.005+0.010+0.010+0.015+a+0.025+0.005)×10=1,解得a=0.030,故A錯誤;
樣本數據低于130分的頻率為1-(0.025+0.005)×10=0.7,故B錯誤;
[80,120)的頻率為(0.005+0.010+0.010+0.015)×10=0.4,[120,130)的頻率為0.030×10=0.3,
故總體的中位數(保留1位小數)估計為120+ ×10≈123.3(分),故C正確;
樣本分布在[90,100)的頻數一定與樣本分布在[100,110)的頻數相等,總體分布在[90,100)的頻數不一定與總體分布在[100,110)的頻數相等,故D錯誤.
故選C.
4.根據頻率分布直方圖求方差
【例5】 從某企業生產的某種產品中抽取100件,測量這些產品的一項質量指標值,由測量表得如下頻率分布直方圖.根據頻率分布直方圖估計這種產品質量指標值的平均數及方差(同一組中的數據用該組區間的組中值作代表).
解 質量指標值的樣本平均數為
=80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08=100.
質量指標值的樣本方差為
s2=(-20)2×0.06+(-10)2×0.26+0×0.38+102×0.22+202×0.08=104.
規律方法　根據頻率分布直方圖求一組數據的方差的方法:先利用組中值乘以頻率(即每組矩形的面積)求和得 ,再將平均數減去每組的組中值平方后乘以該組的頻率求和.
學以致用·隨堂檢測促達標
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1.某地一種植物一年生長的高度如下表:
高度/cm [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60]
棵數 20 30 80 40 30
則該植物一年生長在[30,40)內的頻率是(　　)
A.0.80 B.0.65
C.0.40 D.0.25
C
解析 由頻率含義可計算其結果.
由頻率的定義得80÷(20+30+80+40+30)=0.40.
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2.(多選題)下列說法正確的是(　 　)
A.頻率分布直方圖中每個小矩形的高就是該組的頻率
B.頻率分布直方圖中各個小矩形的面積之和等于1
C.頻率分布直方圖中各個小矩形的寬一樣大
D.頻數分布直方圖中每個長方形的高就是該組的頻數
BCD
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3.[2024甘肅慶陽校考學業考試]某地發起“尋找綠色合伙人——低碳生活知識競賽”活動,選取了n人參與問卷調查,將他們的成績進行適當分組后,得到如圖所示的頻率分布直方圖,且成績落在[90,100]內的人數為10,則n=(　　)
A.60 B.80 C.100 D.120
C
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解析 由題圖可知,10×(0.006+0.012+0.02+0.032+0.02+m)=1,解得m=0.01,則成績在[90,100]內的頻率為0.1.由0.1n=10,得n=100.故選C.
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4.為了了解某地區10 000名高三男生的身體發育情況,抽查了該地區100名年齡為17~18歲的高三男生體重(單位:kg),得到頻率分布直方圖如圖.根據圖示,請你估計該地區高三男生中體重在[56.5,64.5]的學生人數是(　　)
A.40 B.400
C.4 000 D.4 400
C
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解析 依題意得,該地區高三男生中體重在[56.5,64.5]的學生人數是
10 000×(0.03+2×0.05+0.07)×2=4 000.
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5.200輛汽車通過某一段公路時的時速的頻率分布直方圖如圖所示,則汽車時速的眾數是　　　　.
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解析 由于最高矩形的底邊中點的橫坐標是65,因此眾數是65.
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6.如表所示給出了在某校500名12歲男孩中,用隨機抽樣方法得出的120人的身高(單位:cm).
身高分段 [122,126) [126,130) [130,134) [134,138) [138,142)
人數 5 8 10 22 33
身高分段 [142,146) [146,150) [150,154) [154,158]
人數 20 11 6 5
(1)列出樣本頻率分布表;
(2)畫出頻率分布直方圖.
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解 (1)樣本頻率分布表如下:
分組 頻數 頻率
[122,126) 5 0.04
[126,130) 8 0.07
[130,134) 10 0.08
[134,138) 22 0.18
[138,142) 33 0.28
[142,146) 20 0.17
[146,150) 11 0.09
[150,154) 6 0.05
[154,158] 5 0.04
合計 120 1.00
(2)其頻率分布直方圖如下:

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