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湘教版 數(shù)學(xué) 必修第一 冊
課 標 要 求
1.結(jié)合實例,理解百分位數(shù)的統(tǒng)計含義.
2.能夠用樣本估計百分位數(shù).
基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過
知識點　百分位數(shù)
百分位數(shù):百分位數(shù)是位于　　　　　　　　　　　　的一組數(shù)據(jù)中某一個百分位置的數(shù)值,以Pr表示,其中r是區(qū)間[1,99]上的整數(shù),一個百分位數(shù)Pr將總體或樣本的全部觀測值分為兩部分,至少有　　 　　　小于或等于它,且至少有(100-r)%的觀測值大于或等于它.當r%=50%時,Pr即對應(yīng)中位數(shù).
按從小到大的順序排列
r%的觀測值
名師點睛
1.中位數(shù)就是P50.
2.按照定義可知,Pr可能不唯一,也正因為如此,各種統(tǒng)計軟件所得出的Pr可能會有差異.
3.實際應(yīng)用中,除了中位數(shù)外,經(jīng)常使用的是P25(又稱為第一四分位數(shù))與P75 (又稱為第三四分位數(shù)).
過關(guān)自診
某班8名學(xué)生的體重(單位:kg)分別是:42,48,40,47,43,58,47,45.則這組數(shù)據(jù)的最大值是　　　　,P50是　　　　,P25是　　　　.
58
46
42.5
解析 將所給數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列是40,42,43,45,47,47,48,58.
這組數(shù)據(jù)的最大值是58.
因為這組數(shù)據(jù)共8個,處于中間位置的是第4個數(shù)和第5個數(shù),
重難探究·能力素養(yǎng)速提升
探究點一 根據(jù)實際觀測值求百分位數(shù)
【例1】 從某珍珠公司生產(chǎn)的產(chǎn)品中,任意抽取12顆珍珠,得到它們的質(zhì)量(單位:g)如下:
7.9,9.0,8.9,8.6,8.4,8.5,8.5,8.5,9.9,7.8,8.3,8.0.
(1)分別求出這組數(shù)據(jù)的P25,P75,P95.
(2)請你找出珍珠質(zhì)量較小的前15%的珍珠質(zhì)量.
(3)若用P25,P75,P95把公司生產(chǎn)的珍珠劃分為次品、合格品、優(yōu)等品和特優(yōu)品,依照這個樣本的數(shù)據(jù),給出該公司珍珠等級的劃分標準.
解 (1)將所有數(shù)據(jù)從小到大排列,得7.8,7.9,8.0,8.3,8.4,8.5,8.5,8.5,8.6,8.9,9.0,9.9,
因為共有12個數(shù)據(jù),
所以12×25%=3,12×75%=9,12×95%=11.4,
(2)因為共有12個數(shù)據(jù),所以12×15%=1.8,則P15是第2個數(shù)據(jù),為7.9.即產(chǎn)品質(zhì)量較小的前15%的產(chǎn)品有2個,它們的質(zhì)量分別為7.8,7.9.
(3)由(1)可知樣本數(shù)據(jù)的P25是8.15 g,P50是8.5 g,P95是9.9 g,所以質(zhì)量小于或等于8.15 g的珍珠為次品,質(zhì)量大于8.15 g 且小于或等于8.5 g的珍珠為合格品,質(zhì)量大于8.5 g且小于等于9.9 g的珍珠為優(yōu)等品,質(zhì)量大于9.9 g的珍珠為特優(yōu)品.
規(guī)律方法　求百分位數(shù)的一般步驟(以計算Pr為例,r是區(qū)間[1,99]上的整數(shù))
(1)排序:按照從小到大的順序排列:x1,x2,…,xn.
(2)計算:c=n×r%;
(3)求值:
分類 Pr
c不是整數(shù) 用m表示比c大的最小整數(shù),則所求的Pr是xm
c是整數(shù)
變式訓(xùn)練1
某籃球運動員在12場比賽中的得分情況如下:
15,12,20,31,25,36,31,36,44,39,37,49.
求該運動員得分的P25,P75,P90.
解 將該組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為12,15,20,25,31,31,36,36,37,39,44,49.
因為12×25%=3,12×75%=9,12×90%=10.8,
探究點二 利用頻率分布直方圖求百分位數(shù)
【例2】 某省教育廳為了了解和掌握2023年高考考生的實際答卷情況,隨機地取出了100名考生的數(shù)學(xué)成績(單位:分),將數(shù)據(jù)分成了11組,制成了頻率分布表如下:
(1)求樣本數(shù)據(jù)的P60,P80.
(2)估計2023年高考考生的數(shù)學(xué)成績的P90.
分組 頻數(shù) 頻率
[80,85) 1 0.01
[85,90) 2 0.02
[90,95) 4 0.04
[95,100) 14 0.14
[100,105) 24 0.24
[105,110) 15 0.15
[110,115) 12 0.12
[115,120) 9 0.09
[120,125) 11 0.11
[125,130) 6 0.06
[130,135] 2 0.02
合計 100 1
解 從頻率分布表得,前六組的頻率之和為0.01+0.02+0.04+0.14+0.24+0.15=0.60,
前七組的頻率之和為0.60+0.12=0.72,
前八組的頻率之和為0.72+0.09=0.81,
前九組的頻率之和為0.81+0.11=0.92.
(1)由前六組的頻率之和為0.60,得樣本數(shù)據(jù)的P60為110,樣本數(shù)據(jù)的P80一定在第八組[115,120)內(nèi),
(2)由前八組的頻率之和為0.81,前九組的頻率之和為0.92,知P90一定在第九組[120,125)內(nèi),
規(guī)律方法　根據(jù)頻率分布直方圖(表)計算樣本數(shù)據(jù)的百分位數(shù),首先要理解頻率分布直方圖中各組數(shù)據(jù)頻率的計算,其次估計百分位數(shù)在哪一組,再按比例求解.
變式訓(xùn)練2
為了了解一片經(jīng)濟林的生長情況,隨機抽測了其中60株樹木的底部周長(單位:cm),所得數(shù)據(jù)均在區(qū)間[80,130]上,其頻率分布直方圖如圖所示,試估計60株樹木的P50,P75.
解 由題意知分別落在各區(qū)間上的頻數(shù)為
在[80,90)上有60×0.15=9,
在[90,100)上有60×0.25=15,
在[100,110)上有60×0.3=18,
在[110,120)上有60×0.2=12,
在[120,130]上有60×0.1=6.
從以上數(shù)據(jù)可知P50一定落在區(qū)間[100,110)上,
學(xué)以致用·隨堂檢測促達標
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1.已知一組數(shù)據(jù)為4,5,6,7,8,8,則P40是(　　)
A.8 B.7
C.6 D.5
C
解析 因為有6位數(shù),所以6×40%=2.4,所以P40是第三個數(shù)6.故選C.
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2.(多選題)下列說法正確的是(　 　)
A.中位數(shù)就是P50
B.若一組樣本數(shù)據(jù)各不相等,則其P75>P25
C.若一組樣本數(shù)據(jù)的P10=23,則在這組數(shù)據(jù)中有10%的數(shù)據(jù)大于23
D.若一組樣本數(shù)據(jù)的P24=24,則在這組數(shù)據(jù)中至少有76%的數(shù)據(jù)大于或等于24
ABD
解析 根據(jù)百分位數(shù)的定義,可知A,B,D正確;若一組樣本數(shù)據(jù)的P10是23,則在這組數(shù)據(jù)中有10%的數(shù)據(jù)小于或等于23,因此C錯誤.
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3.對某種電子元件使用壽命跟蹤調(diào)查,所得樣本的頻率分布直方圖如圖.由圖可知,這一批電子元件中壽命的P85為(　　)
A.500 B.450
C.350 D.550
A
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解析 電子元件壽命小于500 h的百分比為
100×(0.000 5+0.001 5+0.002 5+0.004)=85%,
則這批電子元件中壽命的P85為500.故選A.
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4.求2,2,3,4,5,6,7,8,9,10的P25為　　　　;P90為　　　　.
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9.5
解析 因為數(shù)據(jù)個數(shù)為10,而且10×25%=2.5,10×90%=9,
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5.從高三抽出50名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽,由成績得到如圖的頻率分布直方圖.試利用頻率分布直方圖求這50名學(xué)生成績的P75.
解 由題意可知,前四個小矩形的面積之和為0.6,前五個小矩形的面積之和為0.84>0.75,所以P75位于第五個小矩形內(nèi).

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